গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 200 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 120 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে, 100 জন ভলিবল খেলা পছন্দ করে এবং 80 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন ছাত্র কোন খেলাই পছন্দ করে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 জন
ভলিবল পছন্দ করে = 100 জন
উভয় খেলা পছন্দ করে = 80 জন

∴ শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 - 80 = 40 জন
∴ শুধু ভলিবল পছন্দ করে = 100 - 80 = 20 জন

∴  অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে = 40 + 20 + 80 = 140 জন

∴ কোন খেলাই পছন্দ করে না = 200 - 140 = 60 জন

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৬৩ লিটার রস আছে। কমলা ও লেবুর অনুপাত ৫ : ৪। লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৬৩ লিটার। কমলা ও লেবুর রসের অনুপাত = ৫ : ৪

অনুপাতের যোগফল = (৫ + ৪) = ৯

সুতরাং, কমলার রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৫/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৫)/৯ = ৩৫ লিটার

এবং, লেবুর রসের পরিমাণ = (৬৩ এর ৪/৯ অংশ)
= (৬৩ × ৪)/৯ = ২৮ লিটার

এখন, লেবুর রস ১৮ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (২৮ - ১৮) = ১০ লিটার।

কমলার রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ৩৫ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে, = ৩৫ : ১০ = ৭ : ২

প্রশ্ন: ৭২০ এর ৬.৫% কত?

সমাধান: 
৭২০ এর ৬.৫% 
= ৭২০ এর ৬.৫/১০০
= ৭২০ এর ৬৫/(১০০ × ১০) 
= ৪৬.৮ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
0.25, √36, √50, (√81)/9.

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q​ আকারে লেখা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: 1/2, 3, 0.25, √36, (√81)/9.

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যা p/q আকারে লেখা যায় না এবং যাদের দশমিকের পর অসীম সংখ্যক অঙ্ক থাকে এবং কোনো অঙ্ক বা অঙ্কসমষ্টির পুনরাবৃত্তি ঘটে না সেগুলোকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
উদাহরণ: √2, √3, √50, π.

এখানে,
0.25 = 25/100 = 1/4, যা একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা।
√36 = √(6²) = 6, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2, যা ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না।
এবং,
(√81)/9 = √(9²)/9 = 9/9 = 1, যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

∴ 0.25, √36, (√81)/9 মূলদ সংখ্যা এবং √50 অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (0, 0) এবং (x₂, y₂) = (3, 3)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂​ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1

আমরা জানি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ ​= m(x - x₁​)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0)     ; [(x_1​, y₁​) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x

অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0

প্রশ্নঃ রহিম, করিম ও মিরাজের আয়ের অনুপাত যথাক্রমে ১২ : ১৫ : ২০। যদি মিরাজের আয় ১৯০০ টাকা হয়, তবে রহিম ও করিমের আয় কত?

সমাধানঃ
মিরাজের ২০ অংশ = ১৯০০ টাকা
মিরাজের ১ অংশ = ১৯০০ ÷ ২০
= ৯৫ টাকা

তাহলে,
রহিমের ১২ অংশ = ৯৫ × ১২
= ১১৪০ টাকা
করিমের ১৫ অংশ = ৯৫ × ১৫
= ১৪২৫

∴ রহিমের আয় ১১৪০ ও করিমের আয় ১৪২৫। 

প্রশ্ন: ১২, ১৮ এবং ৩০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২ এবং ৩ সাধারণ গুণনীয়ক

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ৩ = ৬

প্রশ্ন: ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৫ টি ২ টাকার নোট = ৫ × ২ = ১০ টাকা
১০ টি ৩ টাকার নোট = ১০ × ৩ = ৩০ টাকা

 ∴ মোট টাকা = ১০ + ৩০ = ৪০ টাকা

আবার,
১০ টি ১০ টাকার নোট = ১০ × ১০ = ১০০ টাকা

∴ (৫ টি ২ টাকার নোট + ১০ টি ৩ টাকার নোট)/১০ টি ১০ টাকার নোট
= ৪০/১০০
= ২/৫ অংশ

∴ ৫ টি ২ টাকার নোট এবং ১০ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ১০ টি ১০ টাকার নোটের ২/৫ অংশ।

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ, r = 12 সে.মি.
তাহলে, ব্যাস = 2r = (12 × 2) = 24 [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান]
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (24)²
= 576/2
= 288 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = 288 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
a - (- b) - (- c) - (- d) 
= a + b + c + d 
= 1 + 1 + 2 + 2 
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে,
শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ৫ক = ৪ + ১২
⇒ ক = ১৬

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৬ টি।

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
20 +(n-1)5 = 140
n = 25

প্রশ্ন: সাকিনের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা এবং ব্যয় ৬৪০০ টাকা। তার মাসিক ব্যয় মাসিক আয়ের শতকরা কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাকিনের মাসিক আয় ৮০০০ টাকা
এবং ব্যয় ৬৪০০ টাকা

∴ সাকিনের মাসিক ব্যয় মাসিক আয়ের শতকরা = (৬৪০০ × ১০০)/৮০০০
= ৬৪০/৮
= ৮০%

ধরি, সংখ্যাটি ক 
∴ ক এর ২৫% = ১৩০
⇒ ক = ৫২০
এখন
৫২০ এর ১২০% হল = (৫২০ × ১২০)/১০০= ৬২৪

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী বাংলায় এবং ৬৫% শিক্ষার্থী গণিতে পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ করেছে = ৭৫%
গণিতে পাশ করেছে = ৬৫%
​উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

শুধুমাত্র বাংলায় পাশ করেছে = (৭৫ - ৬০)% = ১৫%
শুধুমাত্র গণিতে পাশ করেছে = (৬৫ - ৬০)% = ৫%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (শুধুমাত্র বাংলায় পাশ + শুধুমাত্র গণিতে পাশ + উভয় বিষয়ে পাশ) 
​= (১৫ + ৫ + ৬০)% = ৮০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী - কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে)
​ = (১০০ - ৮০)% = ২০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ২০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

(১/৩ × ৬)/(৪/৬ × ১২/২) + ৩/৪
= ২/৪ + ৩/৪
= (২+৩) / ৪
= ১(১/৪)

মনেকরি,
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = a/৪ টাকা
আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = a/৫ টাকা
∴ ক্ষতি = a/৪ - a/৫
= (৫a - ৪a)/২০
= a/২০
∴ ক্ষতির হার = (a × ৪ × ১০০)/(২০ × a)
= ২০%

প্রশ্ন: সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [যেখানে 0 < θ < π/2]

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
বা, sinθ = √2 - cosθ
বা, sin²θ = (√2 - cosθ)²
বা, 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
বা, 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
বা, 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 =0
বা, (√2cosθ - 1)² = 0
বা, √2cosθ - 1 = 0
বা, √2cosθ = 1
বা, cosθ = 1/√2
বা, cosθ = cos(π/4)
∴ θ = π/4

a = 1/2,
r = 1/√2 ÷ 1/2
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n তম পদ = ar^n-1 = 16
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 16
বা, (2^1/2)^{(n - 1)} = 32
বা, 2^{(n - 1)/2} = 2⁵
বা, (n - 1)/2 = 5
বা, n - 1 = 10
∴ n = 11

• একটি বাক্সের পক্ষে একাধিক চিঠি গ্রহণ করা সম্ভব।
• সুতরাং n হবে বাক্সের সংখ্যা এবং r হবে চিঠির সংখ্যা।
• সুতরাং নির্ণেয় উপায় = n^r = 3⁵ = 243

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩^৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ৫৫৫, ৬৬৬, ৭৭৭ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

প্রশ্ন: log5 + log25 + log125 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log5 + log25 + log125 + .............. + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5¹ + log5² + log5³ + ............... + log5¹⁰
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 + ............... + 10 log5
= log5 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}   [∵ 1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n + 1)/2]
= log5 (10 × 11/2)
= log5 (110/2)
= log5 (55)
= 55 log5

∴ প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো 55 log5

প্রশ্ন: x² - 3x + 2 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৮০ বার ঘোরে। ৫ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ১৮০ বার
৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে (১৮০ × ৫)/৬০ বার
= ১৫ বার 

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০ ডিগ্রি
গাড়ির চাকা ১৫ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০ × ১৫) ডিগ্রি
= ৫৪০০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: যদি কোনো মূলধন সরল সুদে ৩ বছরে ৬৮০০ টাকা এবং ৫ বছরে ৮০০০ টাকা হয়, তবে সুদের হার নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে,
আসল + ৫ বছরের সুদ = ৮০০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৮০০ টাকা
∴ ২ বছরের সুদ = (৮০০০ - ৬৮০০) টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ ৩ বছরের সুদ = (১২০০ × ৩)/২ টাকা
= ১৮০০ টাকা

∴ আসল = (৬৮০০ - ১৮০০) টাকা
= ৫০০০ টাকা

৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = ১৮০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৮০০/(৫০০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৩)
= ১২%

প্রশ্ন: কোনো একটি সংখ্যার ৪০ শতাংশ হলো ৭২। তাহলে সেই সংখ্যার ৭৫ শতাংশ কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক এর ৪০% = ৭২ 
⇒ ক × (৪০/১০০) = ৭২ 
⇒ ক = (৭২ × ১০)/৪ 
⇒ ক = ১৮ × ১০
∴ ক = ১৮০ 

আবার, 
১৮০ এর ৭৫ শতাংশ = ১৮০ × (৭৫/১০০) 
= ১৮ × (১৫/২) 
= ৯ × ১৫ 
= ১৩৫ 

অতএব, সেই সংখ্যার ৭৫ শতাংশ হলো ১৩৫। 

প্রশ্ন: a = 3 এবং b = - 2 হলে, 4a - 5b + 2a + 3b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 3 এবং b = - 2

প্রদত্ত রাশি, 
= 4a - 5b + 2a + 3b
= (4a + 2a) + (- 5b + 3b)
= 6a - 2b
= 6(3) - 2(- 2)
= 18 + 4
= 22

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r
∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r⁴ = (1/5)⁴
⇒ r = 1/5
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

প্রশ্ন: 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
6টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁶C₃ = 20

4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁴C₂ = 6

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 20 × 6 = 120

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 120 × 120
= 14,400

প্রশ্ন: (√5 + 1)x + 4 = 4√5 হলে, x এর মান কত?
 
সমাধান: 
(√5 + 1)x + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)x = 4√5 - 4
⇒ x = 4(√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/(√5 + 1)(√5 - 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{(√5)² - 1²}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{5 - 1}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/4
⇒ x = (√5 - 1)(√5 - 1)
⇒ x = (√5 - 1)²
⇒ x = (√5)² - 2√ 5 + 1²
⇒ x = 5 - 2√5 + 1
∴ x = 6 - 2√5

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২টি নীল কলম, ১৮টি কালো কলম এবং ১০টি লাল কলম আছে। দৈবভাবে একটি কলম তোলা হলে কলমটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট কলম সংখ্যা = ১২ + ১৮ + ১০ = ৪০

কালো কলমের সংখ্যা = ১৮
∴ কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৪০ = ৯/২০

∴ কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৯/২০)
= (২০ - ৯)/২০
= ১১/২০

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৬ টি।
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ মোট ঘটনা সংখ্যা, n(S) = 6

এখন, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলো হলো: 1, 2
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 2

∴ সম্ভাবনা, P(A) = (অনুকূল ঘটনা সংখ্যা)/(মোট ঘটনা সংখ্যা)
= n(A)/n(S)
= 2/6
= 1/3