গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৮১০ টাকায় বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা 
= ৯০ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮১০)/৯০ টাকা 
= ৯০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 40° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
বৃহত্তর কোণ = (x + 40)°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

প্রশ্নমতে,
x + (x + 40) = 90
বা, 2x + 40 = 90
বা, 2x = 90 - 40
বা, 2x = 50
বা, x = 50/2
∴ x = 25
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো 25°।

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনে করি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা।

১০% কমলে চিনির মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা।

বর্তমান মূল্য ৯০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা।
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৯০ টাকা।
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/৯০
=

∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = [(১০০০/৯) - ১০০]%
= (১০০/৯)%
=

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি টাকায় ২ টি এবং টাকায় ৪ টি করে সমান সংখ্যক লেবু ক্রয় করে টাকায় ৩ টি করে লেবু বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
টাকায় ২ টি করে ২ টাকায় ব্যক্তিটি ৪ টি লেবু ক্রয় করলো
টাকায় ৪ টি করে ১ টাকায় আরো ৪ টি লেবু ক্রয় করলো
৮ টি লেবু ক্রয় করলো ৩ টাকায়
∴ ১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৩/৮ টাকা

৩ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= (৩/৮) - (১/৩)
= (৯ - ৮)/২৪
= ১/২৪ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতির হার = {(ক্ষতি/ক্রয়মূল্য) × ১০০}%
= {(১/২৪)/(৩/৮) × ১০০}%
= (১ × ৮ × ১০০)/(২৪ × ৩)%
= (১০০/৯)%
= ১১.১১% (প্রায়)

∴ ঐ ব্যক্তির শতকরা ১১.১১% ক্ষতি হলো।

প্রশ্ন: ২১, ২৩, ২৭, ৭, ১১, ১২, ৭, ৮, ১৪ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ও মধ্যক যথাক্রমে-

সমাধান:
প্রচূরক = সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত উপাত্ত = ৭ যা দুইবার রয়েছে।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই: ৭, ৭, ৮, ১১, ১২, ১৪, ২১, ২৩, ২৭
এখানে উপাত্তের সংখ্যা n = ৯, যা একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ম পদ

∴ ৫ম পদ হলো ১২

-5 < x-3 <5
বা, -5 + 7 < x - 3 + 7 < 5 + 7
বা, 2 < x + 4 < 12
সুতরাং, a = 2, b = 12

এখানে A = π/3 = 60° ও B = π/3 = 60°
সুতরাং sin(A+B) = sin(60°+60°) = sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = √3/2.

প্রশ্ন: {q ∈ N এবং q² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 16 = 0
⇒ q² = 16
⇒ q = √16
∴ q = ± 4

কিন্তু q স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ q = 4

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 49 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 49 + 2 × 49
= 22 × 7 + 98
= 154 + 98
= 252 সে.মি.

অশিক্ষিত = ৭/২৫
∴ শিক্ষিত = ১ - ৭/২৫
= (২৫ - ৭)/২৫
= ১৮/২৫
∴ শিক্ষিতের শতকরা হার = (১৮/২৫) × ১০০
= ৭২%

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৪৮
∴ x = (৪৮×৭)/৩ = ১১২

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে x³ + ( 1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + (1/x) = 4

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x{x + (1/x)}
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ মিটার

ধরি, বাকি দুটি কোণ x ও 9x
প্রশ্নমতে,
x + 9x + 80 = 180
বা, 10x = 180 - 80
বা, 10x = 100
বা, x = 10
যেহেতু অপর কোণদ্বয়ের একটি কোণ = ৯×১০ = ৯০ ডিগ্রি। সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১০ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১০/২ = ৫ সেমি
উচ্চতা, h = ১২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৫)^২ × ১২
= π × ২৫ × ১২
= ৩০০π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৩০০π ঘন সেমি।

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস টানা হলে তাসটি রাজা (King) হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা (মোট তাস) = ৫২ টি
মোট রাজা (King) এর অনুকূল ঘটনা = ৪ টি (প্রতিটি রঙের 1টি করে)
∴ তাসটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনার সংখ্যা
= ৪/৫২ 
= ১/১৩  

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 0, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[log₃(log₂a)] = 0
⇒ log₃(log₂a) = 2⁰
⇒ log₃(log₂a) = 1
⇒ log₂a = 3¹
⇒ log₂a = 3
⇒ a = 2³
∴ a = 8

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ৮০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে কিছু পথ অতিক্রম করে এবং বাকি পথ ৪০ কি.মি./ঘণ্টা বেগে অতিক্রম করে। মোট ৪ ঘণ্টায় ২৪০ কিমি অতিক্রম করে। তাহলে প্রথম অংশের দূরত্ব কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৮০ কি.মি বেগে যায় = ক কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - ক) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(ক/৮০) + (২৪০ - ক)/৪০ = ৪ 
⇒ {ক + ২(২৪০ - ক)}/৮০ = ৪
⇒ (ক + ৪৮০ - ২ক)/৮০ = ৪
⇒ (৪৮০ - ক)/৮০ = ৪
⇒ ৪৮০ - ক = ৩২০  
⇒ - ক = ৩২০ - ৪৮০ 
⇒ - ক = - ১৬০  
∴ ক = ১৬০

∴ সে ৮০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১৬০ কি.মি গিয়েছিল।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ৫ মিটার হলে চৌবাচ্চার পানি ধারণ ক্ষমতা হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৪ মিটার
চৌবাচ্চার প্রস্থ ২ মিটার
চৌবাচ্চার উচ্চতা ৫ মিটার

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা ঘনএ
= ৪ × ২ × ৫ ঘন মিটার
= ৪০ ঘন মিটার

১ ঘন মিটার = ১০০০ লিটার
⇒ ৪০ ঘন মিটার = ৪০ × ১০০০ = ৪০০০০ লিটার

১ লিটার পানির ওজন = ১ কেজি
⇒ ৪০০০০ লিটার পানির ওজন = (৪০০০০ × ১) কেজি
= ৪০০০০ কেজি

প্রশ্ন: x³ - x - 24 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

ধরি, f(x) = x³ - x - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24 = 27 - 27 = 0

∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি,
 x³ - x - 24 
= x³ - 3x² + 3x² - 9x + 8x - 24
= x²(x - 3) + 3x(x - 3) + 8(x - 3)
= (x - 3)(x² + 3x + 8)

মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র 2 ই জোড় সংখ্যা
∴ A = {2}

প্রশ্ন: 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
DINAJPUR শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে কোনো বর্ণ পুনরাবৃত্তি নাই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320

আবার, 
RAJSHAHI শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8 টি 
এখানে 'A' বর্ণটি 2 বার এবং 'H' বর্ণটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা =  8!/(2! × 2!) = 40320/(2 × 2) = 40320/4 = 10080

∴ 'DINAJPUR' এর বিন্যাস সংখ্যা 'RAJSHAHI' এর বিন্যাস সংখ্যার = 40320/10080 = 4 গুণ

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত 2 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. হলে রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 2a এবং 3a
প্রশ্নমতে,
(1/2) × 2a × 3a = 75
⇒ 3a² = 75
⇒ a² = 75/3
⇒ a² = 25
⇒ a = 5

∴  রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য= (2 × 5) = 10 সে.মি.  এবং (3 × 5) = 15 সে.মি. 

অর্থাৎ রম্বসের ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য = 10 সে.মি. 

3.2ⁿ - 4.2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2².2^(n-2)
= 3.2ⁿ - 2^(2+n-2)
= 3.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (3-1)
= 2ⁿ × 2
= 2⁽ⁿ⁺¹⁾

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
কালো বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
হলুদ বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

√(২৭/৪৮)
= √(৯/১৬)
= ৩/৪
যা একটি মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (7, 21) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (0, 0)
এবং (x₂, y₂) = (7, 21)

আমরা জানি,
সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (21 - 0)/(7 - 0)
= 21/7
= 3
সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 3।