গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে, বেঞ্চে ৬ জন করে বসানো হলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। যদি ৫ জন করে বসানো হয়, ৬ জনকে দাঁড়াতে হবে। শ্রেণির মোট ছাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক 

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন 

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬ 

প্রশ্নমতে, 
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮ 

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬ 
= ৯৬ জন

প্রশ্ন: x + 2y - 7 = 0 এবং 3x - y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y - 7 = 0 এবং 3x - y + 1 = 0

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ y = mx + c (যেখানে m = ঢাল)

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল, 
x + 2y - 7 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = - x + 7
y = (- 1/2)x + (7/2)

সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল m₁ = - 1/2

দ্বিতীয় রেখার ঢাল,
3x - y + 1 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = 3x + 1
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = 3

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂ = (- 1/2) × (3) = - 3/2

ধরি চালকের গতিবেগ = x কিমি/ঘন্টা
আমরা জানি সময় = দূরত্ব/বেগ
শর্তমতে,
১০৮/x - ১০৮/(x + ৩) = ৩
বা, x^২ +৩x - ১০৮ = ০
বা, x^২ + ১২x - ৯x -১০৮ =০
∴ x = -১২, ৯

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারে সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়।  
ফলে সৈন্যদের সংখ্যা ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।

এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু।
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু 
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০ (যা বর্গাকার সংখ্যা নয়)

১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
এটিকে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৯, ১২ ও ১৫ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদের সংখ্যা হবে  
= (২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) × ৫ জন  
= ৯০০ জন

∴ সৈন্যের সংখ্যা = ৯০০ জন।

এখানে জোড়ের অনুকূল ফলাফল = ৩ টি
মোট ফলাফল = ৬ টি
জোড় আসার সম্ভাবনা = ৩/৬ = ১/২

log₂64= log₂2⁶=6

আমরা জানি, সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(a+b)
= 2(8 + 6)
= 28 সে.মি.

একটি কর্ণ d = 24 মিটার
কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h মিটার
∴ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh 
⇒ dh = 120
⇒ h = 120/24 = 5
∴কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 5 মিটার

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৭০% এর সাথে ৩৩ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক এর ৭০%) + ৩৩ = ক
⇒ (ক × ৭০/১০০) + ৩৩ = ক
⇒ (৭ক/১০) + ৩৩ = ক
⇒ (৭ক + ৩৩০)/১০ = ক
⇒ ৭ক + ৩৩০ = ১০ক
⇒ ৩৩০ = ১০ক - ৭ক
⇒ ৩ক = ৩৩০
⇒ ক = ৩৩০/৩
∴ ক = ১১০ 

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১২ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে চাকা দুটির পরিধির অর্থাৎ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু এর সমান।
 ∴ ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু = ২০

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব ২০ মিটার
∴ ১২ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব (১২ × ২০) মিটার = ২৪০ মিটার

প্রশ্ন: ৬% হার মুনাফায় ১০,০০০ টাকায় ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ১০,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% = ৬/১০০ = ৩/৫০
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ১০,০০০ × (১ + ৩/৫০)^২
= ১০,০০০ × (৫৩/৫০)^২
= ১০,০০০ × (৫৩/৫০) × (৫৩/৫০)
= ১০,০০০ × (২,৮০৯/২,৫০০)
= ১০,০০০ × ১.১২৩৬
= ১১,২৩৬ টাকা

x² + y² = ৩১৩
বা, (x² + y²)² = (৩১৩)²
বা, (x² - y²)² + ৪x²y² = (৩১৩)²
বা, (x² - y²)² + ৪(১৫৬)² = (৩১৩)²
বা, (x - y)² + ৯৭৩৪৪ = ৯৭৯৬৯
বা, (x - y)² = ৯৭৯৬৯ - ৯৭৩৪৪ = ৬২৫
∴ x - y = ২৫

⁵C₄ × ³C₁ = 15
⁵C₅ × ³C₀ = 1
∴ মোট কমিটি গঠন সংখ্যা = (15 + 1) = 16 উপায়ে

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখানে, ৬তম পদ ৫২।
সুতরাং a + (৬-১)×১০= ৫২
বা, a + ৫০= ৫২
বা, a = ২
সুতরাং, ১৬ তম পদ = ২ + (১৬-১)×১০
= ২ + ১৫০
= ১৫২

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 3} = 81 হয়, তবে 4^{x + 2} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 3} = 81
⇒ 3^{x + 3} = 3⁴
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 - 3
∴ x = 1

∴ 4^{x + 2} = 4^{1 +2}
= 4³
= 64

2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 8.2^x
= 2³.2^x
= 2^3+x
= 2^x+3

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53° হলে এটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53°

∴ অপর কোণটি, ∠B = 180° - (37° + 53°)
= 180° - 90°
= 90°

এখানে, ∠B কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১০% লাভে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১১০)/১০০ = ৫৫০ টাকা
১০% কমে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = (৫০০× ৯০)/১০০ = ৪৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ = (৫৫০ - ৪৫০) টাকা।
= ১০০ টাকা।

প্রশ্ন: 2a + b = 5 এবং 3a + b = 8 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + b = 5 ......... (1)
3a + b = 8 ....... (2)

(1) নং - (2) নং ⇒
2a + b - 3a - b = 5 - 8
⇒ - a = - 3
∴ a = 3

(1) নং এ a এর মান বসিয়ে,
2 × 3 + b = 5
⇒ 6 + b = 5
⇒ b = 5 - 6
∴ b = - 1

∴ (a, b) = (3, -1)

প্রশ্ন: 2a² + 7ab - 15b² রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
2a² + 7ab - 15b²
= 2a² + 10ab - 3ab - 15b²
= 2a(a + 5b) - 3b(a + 5b)
= (a + 5b)(2a - 3b)

প্রশ্ন: 8 + 13 + 18 +.......... ধারাটির n তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে১ম পদ a = 8
সাধারণ অন্তর d = (13 - 8) = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
= 8 + (n - 1)5
= 8 + 5n - 5
= 5n + 3

প্রশ্ন: কোনো অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√২ সে.মি. হলে অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (যেখানে √২ = ১.৪১)

সমাধান:
অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√২ সে.মি.

∴ অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল = ২a^২(১ + √২) বর্গসে.মি. 
= ২ × (৪√২)^২ × (১ + √২)
= ২ × (১৬ × ২) × (১ + √২) 
= ৬৪(১ + √২)
= ৬৪(১ + ১.৪১)
= ৬৪ × ২.৪১
= ১৫৪.২৪ বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩০ মিটার ও ২০ মিটার। বাগানের চারপাশে ৩ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ১৫০ টাকা হয়।

সমাধান:
দেয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২০ মিটার

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৩০ × ২০ = ৬০০ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাসহ মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ + ৩ + ৩ = ৩৬ মিটার
রাস্তাসহ মোট প্রস্থ = ২০ + ৩ + ৩ = ২৬ মিটার

∴ রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = ৩৬ × ২৬ = ৯৩৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৯৩৬ - ৬০০ = ৩৩৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ৩৩৬ বর্গমিটারে মোট ব্যয় = ৩৩৬ × ১৫০ টাকা
= ৫০৪০০ টাকা

∴ রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ = ৫০৪০০ টাকা

২৫% বৃদ্ধিতে দাম = ১০০+২৫ = ১২৫টাকা।
১২৫ টাকায় চিনি খাওয়া কমে = ১২৫-১০০ = ২৫ টাকা
১০০ ’’ ’’ ’’ ’’ = (২৫×১০০)/১২৫ = ২০ টাকা
অর্থাৎ, শতকরা ২০% কমিয়েছিল

30 জন ছাত্রের মোট বয়স = (30×9) = 270 বছর
শিক্ষক সহ 31 জনের মোট বয়স = (31×10) = 310 বছর
∴ শিক্ষকের বয়স (310-270) = 40 বছর

ধরি, সংখ্যাটি  560 থেকে x কম
এবং 380 থেকে 3.5x বেশি 
প্রশ্নমতে,
560 - x = 380 + 3.5x
বা, 4.5x = 560 - 380
বা, x = 180/4.5 
বা, x = 40 
∴ সংখ্যাটি = 560 - 40 = 520

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা 60 জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা। মোট ভাড়া আদায় 2240 টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 60 - x জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = 20 টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = 20 × 3 = 60 টাকা

প্রশ্নমতে,
20x + 60(60 - x) = 2240
⇒ 20x + 3600 - 60x = 2240
⇒ 3600 - 40x = 2240
⇒ 40x = 3600 - 2240
⇒ 40x = 1360
⇒ x = 34

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 34 জন