৪,৫০১.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 18 একক হলে উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a এবং
ক্ষেত্রফল = (a/2)2 × √3
শর্তমতে,
3a = 18
বা, a = 6
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (6/2)2 × √3
= 9√3 বর্গ একক
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
গাণিতিক যুক্তি
গাণিতিক যুক্তি
PrepBank · পাতা ৪৬ / ৪৭৫ · ৪,৫০১–৪,৬০০ / ৪৭,৮৩৩
৪,৫০২.
একজন দোকানদারের কাছে থাকা আপেলের ৫% নষ্ট হয়ে গেল। সে অবশিষ্ট আপেলের ৯৩% বিক্রয় করার পরও তার নিকট ২৬৬টি আপেল আছে। তার কাছে মোট কতটি আপেল ছিলো?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ একজন দোকানদারের কাছে থাকা আপেলের ৫% নষ্ট হয়ে গেল। সে অবশিষ্ট আপেলের ৯৩% বিক্রয় করার পরও তার নিকট ২৬৬ টি আপেল আছে। তার কাছে মোট কতটি আপেল ছিলো?
সমাধানঃ
মনেকরি
মোট আপেল = ক টি
ভালো আপেল = ক - ক এর ৫%
= ক - ৫ক/১০০
= ৯৫ক/১০০
= ১৯ক/২০
প্রশ্নমতে
(১৯ক/২০) এর (১০০ - ৯৩)% = ২৬৬
(১৯ক/২০) এর ৭% = ২৬৬
(১৯ক/২০) এর ৭/১০০ = ২৬৬
ক = (২৬৬ × ২০ × ১০০)/(৭ × ১৯)
ক = ৪০০০
সমাধানঃ
মনেকরি
মোট আপেল = ক টি
ভালো আপেল = ক - ক এর ৫%
= ক - ৫ক/১০০
= ৯৫ক/১০০
= ১৯ক/২০
প্রশ্নমতে
(১৯ক/২০) এর (১০০ - ৯৩)% = ২৬৬
(১৯ক/২০) এর ৭% = ২৬৬
(১৯ক/২০) এর ৭/১০০ = ২৬৬
ক = (২৬৬ × ২০ × ১০০)/(৭ × ১৯)
ক = ৪০০০
৪,৫০৩.
a2 - 4a - 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 4a - 1 = 0 হলে a - (1/a) এর মান কত?
সমাধান:
a2 - 4a - 1 = 0
⇒ a - 4 - (1/a) = 0 [a দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]
∴ a - (1/a) = 4
সমাধান:
a2 - 4a - 1 = 0
⇒ a - 4 - (1/a) = 0 [a দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে]
∴ a - (1/a) = 4
৪,৫০৪.
থলিতে ৪টি লাল, ৫টি সবুজ ও ৬টি নীল কলম আছে। ঐ থলি হতে একটি কলম নেওয়া হলে উহা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: থলিতে ৪টি লাল, ৫টি সবুজ ও ৬টি নীল কলম আছে। ঐ থলি হতে একটি কলম নেওয়া হলে উহা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
থলিতে মোট কলম আছে ৪ + ৫ + ৬ টি = ১৫টি
সবুজ কলম আছে ৫টি
∴ কলমটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা ৫/১৫ = ১/৩
সমাধান:
থলিতে মোট কলম আছে ৪ + ৫ + ৬ টি = ১৫টি
সবুজ কলম আছে ৫টি
∴ কলমটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা ৫/১৫ = ১/৩
৪,৫০৫.
চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা যাওয়ার ৫টি পথ আছে। আবার ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার ৪টি পথ আছে। একজন লোক চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে কত উপায়ে রাজশাহী যেতে পারবে?
ব্যাখ্যা
চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে রাজশাহী যাওয়ার উপায়,
৫ × ৪ = ২০ উপায়।
৪,৫০৬.
৬০ ফুট দীর্ঘ এবং ৫০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের বাহিরের চর্তুদিকে ৩ ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬০ ফুট দীর্ঘ এবং ৫০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের বাহিরের চর্তুদিকে ৩ ফুট চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ ফুট
বাগানের প্রস্থ = ৫০ ফুট
রাস্তার প্রস্থ = ৩ ফুট
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬০ × ৫০ = ৩০০০ বর্গ ফুট
আবার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ৫০ + ৩ + ৩ = ৫৬ ফুট
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬৬ × ৫৬ = ৩৬৯৬ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল − বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৩৬৯৬ - ৩০০০ = ৬৯৬ বর্গ ফুট
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ ফুট
বাগানের প্রস্থ = ৫০ ফুট
রাস্তার প্রস্থ = ৩ ফুট
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬০ × ৫০ = ৩০০০ বর্গ ফুট
আবার
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬০ + ৩ + ৩ = ৬৬ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ৫০ + ৩ + ৩ = ৫৬ ফুট
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৬৬ × ৫৬ = ৩৬৯৬ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল − বাগানের ক্ষেত্রফল
= ৩৬৯৬ - ৩০০০ = ৬৯৬ বর্গ ফুট
৪,৫০৭.
ঝন্টু ও তার বাবার বয়সের সমষ্টি বর্তমানে ৪০ বছর। ঝন্টুর বাবা তার চাইতে ২৮ বছরের বড়। ১৩ বছর পর তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঝন্টু ও তার বাবার বয়সের সমষ্টি বর্তমানে ৪০ বছর। ঝন্টুর বাবা তার চাইতে ২৮ বছরের বড়। ১৩ বছর পর তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
ঝন্টুর বর্তমান বয়স = ক বছর
ঝন্টুর বাবার বর্তমান বয়স = ক + ২৮ বছর
প্রশ্নমতে
ক + ক + ২৮ = ৪০
২ক + ২৮ = ৪০
২ক = ৪০ - ২৮
২ক = ১২
ক = ৬
ঝন্টুর বর্তমান বয়স = ৬ বছর
ঝন্টুর বাবার বর্তমান বয়স = ৬ + ২৮ বছর = ৩৪ বছর
১৩ বছর পর ঝন্টুর বয়স = ৬ + ১৩ = ১৯ বছর
১৩ বছর পর বাবার বয়স = ৩৪ + ১৩ = ৪৭ বছর
১৩ বছর পর তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি = (১৯ + ৪৭) বছর
= ৬৬ বছর
৪,৫০৮.
52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা = 52
মোট টেক্কার অনুকূল ঘটনা = 4
∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
সমাধান:
এখানে,
মোট ঘটনার সংখ্যা = 52
মোট টেক্কার অনুকূল ঘটনা = 4
∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
৪,৫০৯.
৬০ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত ২: ১। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ :৩ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬০ লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত ২: ১। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি ১ :৩ হবে?
সমাধান:
৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং, কমলার রস আছে (৬০ - ৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:৩ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×৩) = ১২০ লিটার।
সুতরাং, কমলার রস মিশাতে হবে (১২০ - ২০) = ১০০ লিটার।
সমাধান:
৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং, কমলার রস আছে (৬০ - ৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:৩ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×৩) = ১২০ লিটার।
সুতরাং, কমলার রস মিশাতে হবে (১২০ - ২০) = ১০০ লিটার।
৪,৫১০.
১ ট্রিলিয়ন = ?
ব্যাখ্যা
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
১০০০ বিলিয়ন = ১ ট্রিলিয়ন
অর্থাৎ, ১০০০০০ কোটি = ১ ট্রিলিয়ন
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
১০০০ বিলিয়ন = ১ ট্রিলিয়ন
অর্থাৎ, ১০০০০০ কোটি = ১ ট্রিলিয়ন
৪,৫১১.
5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?
সমাধান:
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 5 = 5
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 250
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 5 + (n - 1) × 5 = 250
বা, 5(n - 1) = 250 - 5
বা, 5(n - 1) = 245
বা, n - 1 = 245/5
বা, n - 1 = 49
∴ n = 49 + 1 = 50
সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
S50 = (50/2){(2 × 5) + (50 - 1) × 5}
= 25{10 + (49 × 5)}
= 25{10 + 245}
= 25 × 255
= 6375
৪,৫১২.
ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ঢাকা হতে একটি ট্রেন সকাল ৮ টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ২ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি.। ঢাকা হতে একটি ট্রেন সকাল ৮ টায় ছেড়ে গিয়ে দুপুর ২ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?
সমাধান:
ট্রেনটি যেতে মোট সময় লাগে ৬ ঘন্টা।
৬ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কি.মি.
১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩০০/৬) কি.মি.
= ৫০ কি.মি.
সমাধান:
ট্রেনটি যেতে মোট সময় লাগে ৬ ঘন্টা।
৬ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কি.মি.
১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩০০/৬) কি.মি.
= ৫০ কি.মি.
৪,৫১৩.
১০০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা এবং ১২০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা একত্রে ১৫৬০ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা এবং ১২০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা একত্রে ১৫৬০ টাকা হলে, মুনাফার হার কত?
সমাধান:
১০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা = (১০০০ × ৩) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা
১২০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা = (১২০০ × ৪) বা ৪৮০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা
এখন,
(৩০০০ + ৪৮০০) = ৭৮০০ টাকা
৭৮০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১৫৬০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১৫৬০/৭৮০০ টাকা।
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = (১৫৬০ × ১০০)/৭৮০০ টাকা।
= ২০ টাকা
∴ মুনাফার হার ২০%
সমাধান:
১০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা = (১০০০ × ৩) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা
১২০০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা = (১২০০ × ৪) বা ৪৮০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা
এখন,
(৩০০০ + ৪৮০০) = ৭৮০০ টাকা
৭৮০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১৫৬০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১৫৬০/৭৮০০ টাকা।
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = (১৫৬০ × ১০০)/৭৮০০ টাকা।
= ২০ টাকা
∴ মুনাফার হার ২০%
৪,৫১৪.
৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮। যদি এদের মধ্যে একটি সংখ্যাকে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়, তবে সংখ্যা ছয়টির মধ্যে কোন সংখ্যাকে ৪ দিয়ে গুণ করা হয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮। যদি এদের মধ্যে একটি সংখ্যাকে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়, তবে সংখ্যা ছয়টির মধ্যে কোন সংখ্যাকে ৪ দিয়ে গুণ করা হয়েছে?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮
∴ ৬টি সংখ্যার সমষ্টি ৬.৮ × ৬ = ৪০.৮
x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৪০.৮ - x
x কে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৯.৮ × ৬ = ৫৮.৮
∴ ৪x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৫৮.৮ - ৪x
শর্তমতে,
৪০.৮ - x = ৫৮.৮ - ৪x
বা, ৩x = ৫৮.৮ - ৪০.৮
বা, ৩x = ১৮
∴ x = ৬
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
৬টি সংখ্যার গড় ৬.৮
∴ ৬টি সংখ্যার সমষ্টি ৬.৮ × ৬ = ৪০.৮
x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৪০.৮ - x
x কে ৪ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাগুলির গড় বৃদ্ধি পেয়ে ৯.৮ হয়
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৯.৮ × ৬ = ৫৮.৮
∴ ৪x বাদে বাকি সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৫৮.৮ - ৪x
শর্তমতে,
৪০.৮ - x = ৫৮.৮ - ৪x
বা, ৩x = ৫৮.৮ - ৪০.৮
বা, ৩x = ১৮
∴ x = ৬
৪,৫১৫.
পলকের ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পলকের ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?
সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/5
P(E ∩ S) = 1/4
P(E ∪ S) = 7/10
P(S) = ?
আমরা জানি ,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 7/10 = (3/5) + P(S) - (1/4)
⇒ (7/10) - (3/5) + (1/4) = P(S)
⇒ (14 - 12 + 5)/20 = P(S)
∴ P(S) = 7/20
সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/5
P(E ∩ S) = 1/4
P(E ∪ S) = 7/10
P(S) = ?
আমরা জানি ,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 7/10 = (3/5) + P(S) - (1/4)
⇒ (7/10) - (3/5) + (1/4) = P(S)
⇒ (14 - 12 + 5)/20 = P(S)
∴ P(S) = 7/20
৪,৫১৬.
A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = 0.4, B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = k, A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা P(A ∪ B) = 0.7। k এর মান কত হলে A ও B দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = 0.4, B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = k, A অথবা B ঘটার সম্ভাবনা P(A ∪ B) = 0.7। k এর মান কত হলে A ও B দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হবে?
সমাধান:
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা: কোন পরীক্ষণে ঘটনা গুলিকে তখনই পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হবে যখস সম্ভাব্য একটি ঘটনা ঘটলে অন্যগুলি ঘটবে না। আবার দুই বা ততোধিক ঘটনার যদি কোন সাধারণ বিন্দু না থাকে তাহলে উহাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে।
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
⇒ 0.7 = 0.4 + k
⇒ k = 0.7 - 0.4
∴ k = 0.3
সমাধান:
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা: কোন পরীক্ষণে ঘটনা গুলিকে তখনই পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলা হবে যখস সম্ভাব্য একটি ঘটনা ঘটলে অন্যগুলি ঘটবে না। আবার দুই বা ততোধিক ঘটনার যদি কোন সাধারণ বিন্দু না থাকে তাহলে উহাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে।
পরস্পর বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
⇒ 0.7 = 0.4 + k
⇒ k = 0.7 - 0.4
∴ k = 0.3
৪,৫১৭.
৯.৫% হারে সরল মুনাফায় ৬০০ টাকার ২ বছরের মুনাফা-আসলে কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯.৫% হারে সরল মুনাফায় ৬০০ টাকার ২ বছরের মুনাফা-আসলে কত হবে?
সমাধান:
মুনাফার হার, r = ৯.৫% = ৯.৫/১০০ = ৯৫/১০০০
আসল, p = ৬০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৬০০ × ২ × (৯৫/১০০০)
= ১১৪ টাকা
মুনাফা-আসলে = (৬০০ + ১১৪) টাকা
= ৭১৪ টাকা
সমাধান:
মুনাফার হার, r = ৯.৫% = ৯.৫/১০০ = ৯৫/১০০০
আসল, p = ৬০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৬০০ × ২ × (৯৫/১০০০)
= ১১৪ টাকা
মুনাফা-আসলে = (৬০০ + ১১৪) টাকা
= ৭১৪ টাকা
৪,৫১৮.
9a2 + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
সমাধান:
9a2 + 18a - 40
= 9a2 + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)
∴ একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে (3a + 10).
সমাধান:
9a2 + 18a - 40
= 9a2 + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)
∴ একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে (3a + 10).
৪,৫১৯.
কুমিল্লা থেকে রংপুরের দূরত্ব 400 কি.মি.। কুমিল্লা হতে একটি বাস সকাল 8 টায় ছেড়ে বিকাল 4 টায় রংপুর পৌঁছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কুমিল্লা থেকে রংপুরের দূরত্ব 400 কি.মি.। কুমিল্লা হতে একটি বাস সকাল 8 টায় ছেড়ে বিকাল 4 টায় রংপুর পৌঁছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত ছিল?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুমিল্লা থেকে রংপুরের দূরত্ব 400 কি.মি.
বাসটি সকাল 8 টায় ছেড়ে বিকাল 4 টায় পৌঁছে।
∴ মোট সময় = 8 ঘণ্টা
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= 400/8 কি.মি./ঘণ্টা
= 50 কি.মি./ঘণ্টা
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কুমিল্লা থেকে রংপুরের দূরত্ব 400 কি.মি.
বাসটি সকাল 8 টায় ছেড়ে বিকাল 4 টায় পৌঁছে।
∴ মোট সময় = 8 ঘণ্টা
∴ বাসটির গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= 400/8 কি.মি./ঘণ্টা
= 50 কি.মি./ঘণ্টা
৪,৫২০.
আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী জুন মাসে ঢাকা শহরে ১৮ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
যেহেতু জুন মাস ৩০ দিন এবং জুন মাসে ১৮ দিন বৃষ্টি হয়েছে।
তাহলে যেকোনো একটি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৩০
= ৩/৫
অতএব ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৫.
৪,৫২১.
(x - y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x, y) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x, y) কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y, 3) = (0, x + 2y)
x - y = 0...........(1)
x + 2y = 3..........(2)
(2) - (1) ⇒
x + 2y - (x - y) = 3 - 0
বা, x + 2y - x + y = 3
বা, 3y = 3
∴ y = 1
(1)⇒
x - y = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( 1, 1)
সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y, 3) = (0, x + 2y)
x - y = 0...........(1)
x + 2y = 3..........(2)
(2) - (1) ⇒
x + 2y - (x - y) = 3 - 0
বা, x + 2y - x + y = 3
বা, 3y = 3
∴ y = 1
(1)⇒
x - y = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = ( 1, 1)
৪,৫২২.
2x এর 50% কত?
ব্যাখ্যা
2x এর 50% = 2x × 50/100 = x
৪,৫২৩.
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যার যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যার যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৩১ টি
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৭ টি
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০ = ৭ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৫ এর গুণিতক = ৭ + ৭ = ১৪ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ১৪/৩১
সমাধান:
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৩১ টি
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৭ টি
২০ থেকে ৫০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫, ৫০ = ৭ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৫ এর গুণিতক = ৭ + ৭ = ১৪ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ১৪/৩১
৪,৫২৪.
CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
সমাধান:
CONIC শব্দটিতে 5টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60
সমাধান:
CONIC শব্দটিতে 5টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি C বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60
৪,৫২৫.
০.০০০৪ এর বর্গমূল কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.০০০৪ এর বর্গমূল কোনটি?
সমাধান:
০.০০০৪ এর বর্গমূল = √০.০০০৪
= √(৪/১০০০০)
= √৪/ √১০০০০
= ২/১০০
= ০.০২
সমাধান:
০.০০০৪ এর বর্গমূল = √০.০০০৪
= √(৪/১০০০০)
= √৪/ √১০০০০
= ২/১০০
= ০.০২
৪,৫২৬.
৩.০০০১০ + (৫ X ১০-৩) = কত?
ব্যাখ্যা
৩.০০০১০ + (৫ X ১০-৩)
= ৩.০০০১০ + (৫/১০০০)
= ৩.০০০১০ + ০.০০৫
= ৩.০০৫১০
৪,৫২৭.
কোন পরীক্ষায় ৪০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ২৫% গণিতে এবং ১৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৪০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ২৫% গণিতে এবং ১৫% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (৪০ - ১৫)%
= ২৫%
শুধু গণিতে ফেল করে = (২৫ - ১৫)%
= ১০%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (২৫ + ১০ + ১৫)%
= ৫০%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ৫০)%
= ৫০%
সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (৪০ - ১৫)%
= ২৫%
শুধু গণিতে ফেল করে = (২৫ - ১৫)%
= ১০%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (২৫ + ১০ + ১৫)%
= ৫০%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ৫০)%
= ৫০%
৪,৫২৮.
logx3 = 2 হলে, x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logx3 = 2 হলে, x = কত?
সমাধান:
logx3 = 2
⇒ x2 = 3 [∵ logam = n হলে, an = m]
⇒ x2 = (√3)2
∴ x = √3
সমাধান:
logx3 = 2
⇒ x2 = 3 [∵ logam = n হলে, an = m]
⇒ x2 = (√3)2
∴ x = √3
৪,৫২৯.
দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে কী কোণ উৎপন্ন করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে কী কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।
এখানে,
AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করার ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ ও ∠PQD কোণদ্বয় পরস্পর একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ ও∠CQP কোণদ্বয়ও একান্তর কোণ।
অপরদিকে,
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।
এখানে,
AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করার ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ ও ∠PQD কোণদ্বয় পরস্পর একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ ও∠CQP কোণদ্বয়ও একান্তর কোণ।
অপরদিকে,
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
৪,৫৩০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.
সুতরাং,
(x + 2)2 = x2 + (x - 2)2
বা, x2 + 4x + 4 = x2 + x2 - 4x + 4
বা, x2 - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0 অথবা x - 8 = 0
যা অসম্ভব। ∴ x = 8
∴ ভূমি 8 সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
ভূমি = x = সে.মি.
লম্ব = x - 2 সে.মি.
অতিভুজ = x + 2 সে.মি.
সুতরাং,
(x + 2)2 = x2 + (x - 2)2
বা, x2 + 4x + 4 = x2 + x2 - 4x + 4
বা, x2 - 8x = 0
বা, x(x - 8) = 0
হয় x = 0 অথবা x - 8 = 0
যা অসম্ভব। ∴ x = 8
∴ ভূমি 8 সে.মি.
৪,৫৩১.
12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.
৪,৫৩২.
কত?
৪,৫৩৩.
৭৭ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৭০%?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭৭ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৭০%?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক এর ৭০% = ৭৭
⇒ ক × (৭০/১০০) = ৭৭
⇒ ক × ৭০ = ৭৭ × ১০০
⇒ ক = (৭৭ × ১০০)/৭০
∴ ক = ১১০
∴ সংখ্যাটি = ১১০
৪,৫৩৪.
g(x) = x2 + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: g(x) = x2 + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:
সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = x2 + x - 6
আবার,
g(x) = 0
এখন,
x2 + x - 6 = 0
⇒ x2 + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3
৪,৫৩৫.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?
সমাধান:
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A1 = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 5 = 60 বর্গএকক
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সূত্র:
d = √(L2 + W2)
= √(122 + 52)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 বর্গএকক
নতুন দৈর্ঘ্য = কর্ণ = 13 একক, প্রস্থ = 5 একক
A2 = 13 × 5 = 65 বর্গএকক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A2 - A1 = 65 - 60 = 5 একক
শতকরা বৃদ্ধি = 5/60 × 100% = 8.33%
∴ শতকরা বৃদ্ধি = 8.33%
৪,৫৩৬.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান অপর দুই কোণের সমষ্টির সমান হলে, অপর দুই কোণের সমষ্টির অর্ধেক কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
বা, 90° + 2 কোণ = 180°
বা, 2 কোণ = 180° - 90°
বা, 2 কোণ = 90°
বা, কোণ = 90°/2
∴ কোণ = 45°
৪,৫৩৭.
চিত্রে ABC সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৭√৩ বর্গ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল √৩/৪ a২ = ২৭√৩
বা, a২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.
বা, a২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.
৪,৫৩৮.
5(x + 3) - 2x = 2x + 12 হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5(x + 3) - 2x = 2x + 12 হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
5(x + 3) - 2x = 2x + 12
বা, 5x + 15 - 2x = 2x + 12
বা, 3x + 15 = 2x + 12
বা, 3x - 2x = 12 - 15
∴ x = - 3
৪,৫৩৯.
৭ + ১৩ + ১৯ + ২৫ + ……….ধারাটির ১৫ তম পদ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ + ১৩ + ১৯ + ২৫ + ……….ধারাটির ১৫ তম পদ কোনটি?
সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৭ = ৬
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ + (১৫ - ১) × ৬
= ৭ + ১৪ × ৬
= ৯১
সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৭ = ৬
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ + (১৫ - ১) × ৬
= ৭ + ১৪ × ৬
= ৯১
৪,৫৪০.
১৩০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩০ মিটার দীর্ঘ একটি দড়িকে ৩ : ৪ : ৬ অনুপাতে ভাগ করলে মাঝের টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
ধরি, টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে = ৩ক, ৪ক, ৬ক
প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক + ৬ক = ১৩০
বা, ১৩ক = ১৩০
∴ ক = ১০
∴ মাঝের টুকরার দৈর্ঘ্য = ৪ক
= ৪ × ১০ = ৪০ মিটার
৪,৫৪১.
৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?
সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০
∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০
৪,৫৪২.
একটি থলিতে 6 টি নীল বল, ৪ টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলিতে 6 টি নীল বল, ৪ টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/(6 + 8 + 10)
= 8/ 24
= 1/3
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (1/3)}
= (3 - 1)/3
= 2/3
সমাধান:
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/(6 + 8 + 10)
= 8/ 24
= 1/3
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (1/3)}
= (3 - 1)/3
= 2/3
৪,৫৪৩.
একটি পণ্য বিক্রয় করে পাইকারি বিক্রেতা ২০% এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভ করে। যদি দ্রব্যটির খুচরা বিক্রয় মূল্য ৫৭৬ টাকা হয়, তবে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পণ্য বিক্রয় করে পাইকারি বিক্রেতা ২০% এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভ করে। যদি দ্রব্যটির খুচরা বিক্রয় মূল্য ৫৭৬ টাকা হয়, তবে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
খুচরা বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৭৬)/১২০ টাকা
= ৪৮০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য
পাইকারি বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪৮০)/১২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
সমাধান:
খুচরা বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৭৬)/১২০ টাকা
= ৪৮০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য
পাইকারি বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪৮০)/১২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
৪,৫৪৪.
দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৯। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪২০ কি.মি. যায়, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৯। যদি প্রথম ট্রেনটি ৬ ঘণ্টায় ৪২০ কি.মি. যায়, তাহলে দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত?
সমাধান:
গতিবেগের অনুপাত = ৭ : ৯
ধরি,
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = ৭ ক
দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ ক
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময় = ৪২০ ÷ ৬ = ৭০ কি.মি./ঘণ্টা
∴ ৭ ক = ৭০
∴ ক = ১০
∴ দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = ৯ × ১০ = ৯০ কি.মি./ঘণ্টা
৪,৫৪৫.
7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
৪,৫৪৬.
১৫ + ১৯ + ২৩ + ২৭ + ............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ + ১৯ + ২৩ + ২৭ + ............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?
সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৯ - ১৫) = ৪
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫
∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৪
= ১৫ + (২৪ × ৪)
= ১৫ + ৯৬
= ১১১
৪,৫৪৭.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y, y ≠ 0
১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
বা, x + 7 = 2y
বা, x - 2y = - 7 ---------- (1)
২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
বা, x = y - 2
বা, x - y = - 2 ---------- (2)
(1) - (2) হতে পাই,
x - 2y = - 7
x - y = - 2
- y = - 5
∴ y = 5
y এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
বা, x = - 2 + 5
∴ x = 3
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 3/5
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y, y ≠ 0
১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
বা, x + 7 = 2y
বা, x - 2y = - 7 ---------- (1)
২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
বা, x = y - 2
বা, x - y = - 2 ---------- (2)
(1) - (2) হতে পাই,
x - 2y = - 7
x - y = - 2
- y = - 5
∴ y = 5
y এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
বা, x = - 2 + 5
∴ x = 3
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 3/5
৪,৫৪৮.
শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ৪৫০ টাকার ১৭ বছরের সুদ ৪৫৯ টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে ৪৫০ টাকার ১৭ বছরের সুদ ৪৫৯ টাকা হবে?
সমাধান:
ধরি,
আসল, P = ৪৫০ টাকা
সুদ, I = ৪৫৯ টাকা
সময়, n = ১৭ বছর
সুদের হার = r
আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ r = I/(Pn)
= ৪৫৯/(৪৫০ × ১৭)
= (৪৫৯/৭৬৫০) × ১০০ %
= ৬%
সমাধান:
ধরি,
আসল, P = ৪৫০ টাকা
সুদ, I = ৪৫৯ টাকা
সময়, n = ১৭ বছর
সুদের হার = r
আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ r = I/(Pn)
= ৪৫৯/(৪৫০ × ১৭)
= (৪৫৯/৭৬৫০) × ১০০ %
= ৬%
৪,৫৪৯.
x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3 রাশিত্রয়ের গ.সা.গু -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3 রাশিত্রয়ের গ.সা.গু -
সমাধান:
১ম রাশি = x2 - y2 = (x + y)(x - y)
২য় রাশি = x2 + xy + y2
৩য় রাশি = x3 - y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)
রাশিত্রয়ের গ.সা.গু = 1
সমাধান:
১ম রাশি = x2 - y2 = (x + y)(x - y)
২য় রাশি = x2 + xy + y2
৩য় রাশি = x3 - y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)
রাশিত্রয়ের গ.সা.গু = 1
৪,৫৫০.
১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ ১১০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১১০)°
= ৭০° ।
৪,৫৫১.
৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ৩ × ৪র্থ সংখ্যা = ৯ × ৪
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (৯ × ৪)/৩
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ১২
সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ৩ × ৪র্থ সংখ্যা = ৯ × ৪
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (৯ × ৪)/৩
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ১২
৪,৫৫২.
কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে 3 যোগ করলে 3 এর বর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে 3 যোগ করলে 3 এর বর্গ হবে?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
√x + 3 = 32
⇒ √x = 9 - 3
⇒ (√x)2 = 62
∴ x = 36
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
√x + 3 = 32
⇒ √x = 9 - 3
⇒ (√x)2 = 62
∴ x = 36
৪,৫৫৩.
ভাজক ১০, ভাগফল ১০ ও ভাগশেষ ১ হলে ভাজ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ভাজক ১০, ভাগফল ১০ ও ভাগশেষ ১ হলে ভাজ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (১০ × ১০) + ১
= ১০১
সমাধান:
আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (১০ × ১০) + ১
= ১০১
৪,৫৫৪.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
৪,৫৫৫.
13 + 23 + 33 ........ + n3 ধারাটির যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1) / 2}2
৪,৫৫৬.
সাতটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম চারটি সংখ্যার যোগফল ৪২ হলে, শেষ চারটি সংখ্যার গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাতটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম চারটি সংখ্যার যোগফল ৪২ হলে, শেষ চারটি সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
ধরি প্রথম চারটি সংখ্যার মধ্যে ১ম সংখ্যা = ক
∴ ২য় সংখ্যা = ক + ১
∴ ৩য় সংখ্যা = ক + ২
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ক + ৩
প্রথম চারটির যোগফল = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ৪ক + ৬
প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬ = ৪২
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৯
অর্থাৎ প্রথম চারটি সংখ্যা: ৯, ১০, ১১, ১২
যেহেতু সংখ্যা ক্রমিক, সাতটি সংখ্যা হবে: ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫
∴ শেষ চারটি সংখ্যা = ১২, ১৩, ১৪, ১৫
∴ শেষ চারটির গড় = (১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫)/৪ = ১৩.৫
৪,৫৫৭.
৯ + ৩৬ + ৮১ + ১৪৪ + ... + ৯০০ = কত?
ব্যাখ্যা
৯ + ৩৬ + ৮১ + ১৪৪ + ... + ৯০০
= ৩২ + ৬২ + ৯২ + ১২২ + … + ৩০২
= ৩২(১২ + ২২ +৩২ + … + ১০২)
= ৯ × {১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)}
= ৯ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৩৪৬৫
৪,৫৫৮.
যদি log10x + log10(x - 9) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log10x + log10(x - 9) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
log10x + log10(x - 9) = 1
⇒ log10x + log10(x - 9) = log1010 ; [logaa = 1]
⇒ log10{x(x - 9)} = log1010
⇒ x2 - 9x = 10
⇒ x2 - 9x - 10 = 0
⇒ x2 - 10x + x - 10 = 0
⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0
⇒ (x - 10)(x + 1) = 0
হয়, x - 10 = 0
∴ x = 10
অথবা,
x + 1 = 0
∴ x = - 1 ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয়]
সুতরাং, x এর মান 10
৪,৫৫৯.
একটি সমিতিতে যতজন সদস্য আছে প্রত্যেকে তত ১৫.০০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৩৫ টাকা হলো। সদস্য সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমিতিতে যতজন সদস্য আছে প্রত্যেকে তত ১৫.০০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৩৫ টাকা হলো। সদস্য সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনেকরি
সমিতিতে সদস্য সংখ্যা = ক জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = ১৫ক টাকা
প্রশ্নমতে
১৫ক × ক = ৭৩৫
বা, ১৫ক২ = ৭৩৫
বা, ক২ = ৭৩৫/১৫
বা, ক২ = ৪৯
বা, ক২ = ৭২
ক = ৭
সমাধান:
মনেকরি
সমিতিতে সদস্য সংখ্যা = ক জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = ১৫ক টাকা
প্রশ্নমতে
১৫ক × ক = ৭৩৫
বা, ১৫ক২ = ৭৩৫
বা, ক২ = ৭৩৫/১৫
বা, ক২ = ৪৯
বা, ক২ = ৭২
ক = ৭
৪,৫৬০.
পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর। পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর। পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর
∴ পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ২) বছর
= ৭০ বছর
আবার,
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর
∴ পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (২৯ × ৩) বছর
= ৮৭ বছর
∴ পুত্রের বয়স = (৮৭ - ৭০) বছর
= ১৭ বছর
সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও মাতার গড় বয়স ৩৫ বছর
∴ পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = (৩৫ × ২) বছর
= ৭০ বছর
আবার,
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ২৯ বছর
∴ পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (২৯ × ৩) বছর
= ৮৭ বছর
∴ পুত্রের বয়স = (৮৭ - ৭০) বছর
= ১৭ বছর
৪,৫৬১.
স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৬ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কত জন কোনোটিই খেলে না?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৬ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কত জন কোনোটিই খেলে না?
সমাধান:
শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
এক বা উভয় খেলা খেলে = ১১ + ৯ + ৭ = ২৭ জন
কোনটিই খেলে না = (৩২ - ২৭) জন
= ৫ জন
সমাধান:
শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
এক বা উভয় খেলা খেলে = ১১ + ৯ + ৭ = ২৭ জন
কোনটিই খেলে না = (৩২ - ২৭) জন
= ৫ জন
৪,৫৬২.
একটি হাতঘড়ি ১৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। হাতঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি হাতঘড়ি ১৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। হাতঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
১৫% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১৫) = ৮৫ টাকা
১০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৮৫) = ২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩০০০)/২৫ টাকা
= ১২০০০ টাকা
সমাধান:
১৫% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১৫) = ৮৫ টাকা
১০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৮৫) = ২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩০০০)/২৫ টাকা
= ১২০০০ টাকা
৪,৫৬৩.
দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি খুলে দেয়ার ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেয়াতে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে আরো ৬ মিনিট লাগল। প্রত্যেক নল দ্বারা পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?
ব্যাখ্যা
দুটি নল একত্রে,
৮ মিনিটে পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা
৪মিনিটে পূর্ণ করে = (৪/৮ X ১) অংশ
= ১/২ অংশ
চৌবাচ্চাটির (১-১/২) অংশ খালি থাকে।
দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১/২ অংশ পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে
১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় = (৬ X ২) = ১২ মিনিটেে
আবার দ্বিতীয় নল দ্বারা,
৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/২ অংশ
৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ X ৪/২ X ৬ = ১/৩ অংশ
প্রথম নল দ্বারা ৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২-১/৩) অংশ
= (৩-২)/৬
= ১/৬ অংশ
প্রথম নল দ্বারা ১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ৪ মিনিটে
প্রথম নল দ্বারা ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (৪ X ৬) মিনিটে
= ২৪ মিনিটে
৪,৫৬৪.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫০০৫, ৫০২৯ এবং ৫০৫৩ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে??
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫০০৫, ৫০২৯ এবং ৫০৫৩ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?
সমাধান:
এখানে,
৫০২৯ - ৫০০৫ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০২৯ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০০৫ = ৪৮
তাহলে বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু.
২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু = ২৪
[২৪ দ্বারা উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করলে প্রতিবার একই (১৩) ভাগশেষ থাকবে]
সমাধান:
এখানে,
৫০২৯ - ৫০০৫ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০২৯ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০০৫ = ৪৮
তাহলে বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু.
২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু = ২৪
[২৪ দ্বারা উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করলে প্রতিবার একই (১৩) ভাগশেষ থাকবে]
৪,৫৬৫.
শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা হবে?
সমাধান:
আসল, P= ৩০০০ টাকা
বছর, n = ৫
সুদ, I = ১৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ?
আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/pn
বা, r = ( ১৫০০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
বা, r = ১০%
সমাধান:
আসল, P= ৩০০০ টাকা
বছর, n = ৫
সুদ, I = ১৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ?
আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/pn
বা, r = ( ১৫০০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
বা, r = ১০%
৪,৫৬৬.
যদি a = 7 হলে, a3 + 6a2 + 12a + 1 এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a = 7 হলে, a3 + 6a2 + 12a + 1 এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 7
প্রদত্ত রাশি,
a3 + 6a2 + 12a + 1
= a3 + 3⋅a2⋅2 + 3⋅a⋅22 + 23 - 7
= (a + 2)3 - 7
= (7 + 2)3 - 7
= 93 - 7
= 729 - 7
= 722
৪,৫৬৭.
দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৪৭ এবং তাদের অন্তর ৭ হলে সংখ্যা দুইটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৪৭ এবং তাদের অন্তর ৭ হলে সংখ্যা দুইটি কত?
সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x + y = 47 ........... (i)
x - y = 7 ............. (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2x = 54
⇒ x = 54/2
∴ x = 27
x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
27 + y = 47
⇒ y = 47 - 27
∴ y = 20
∴ সংখ্যা দুইটির একটি 27 অপরটি 20
সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x + y = 47 ........... (i)
x - y = 7 ............. (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2x = 54
⇒ x = 54/2
∴ x = 27
x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
27 + y = 47
⇒ y = 47 - 27
∴ y = 20
∴ সংখ্যা দুইটির একটি 27 অপরটি 20
৪,৫৬৮.
একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৭২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৭২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৭২°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৭২° = ৮°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৮°
= ৪৫ টি
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৭২°
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১৭২° = ৮°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৮°
= ৪৫ টি
৪,৫৬৯.
একটি শার্ট এবং প্যান্টের ক্রয়মূল্যের অনুপাত 3 : 7। তাদের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 1 : 4। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে প্যান্টের ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শার্ট এবং প্যান্টের ক্রয়মূল্যের অনুপাত 3 : 7। তাদের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত 1 : 4। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে প্যান্টের ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
শার্টের ক্রয়মূল্যে = 3a টাকা
এবং শার্টের বিক্রয়মূল্য = b টাকা
আবার,
প্যান্টের ক্রয়মূল্যে = 7a টাকা
প্যান্টের বিক্রয়মূল্যে = 4b টাকা
প্রশ্নমতে,
3a - b = 7a - 4b
⇒ 7a - 3a = 4b - b
∴ b = (4a/3)
সুতরাং, 7a : 4b = 7a : 4(4a/3) = 21 : 16
সমাধান:
ধরি,
শার্টের ক্রয়মূল্যে = 3a টাকা
এবং শার্টের বিক্রয়মূল্য = b টাকা
আবার,
প্যান্টের ক্রয়মূল্যে = 7a টাকা
প্যান্টের বিক্রয়মূল্যে = 4b টাকা
প্রশ্নমতে,
3a - b = 7a - 4b
⇒ 7a - 3a = 4b - b
∴ b = (4a/3)
সুতরাং, 7a : 4b = 7a : 4(4a/3) = 21 : 16
৪,৫৭০.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)2 - (b)2}
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)2 - (b)2}
= 8/4 {√4(5)2 - (8)2}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।
সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)2 - (b)2}
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)2 - (b)2}
= 8/4 {√4(5)2 - (8)2}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।
৪,৫৭১.
একজন দোকানদার প্রতি ডজন কলম ৬০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৩ ডজন ২১৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি ডজন কলম ৬০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৩ ডজন ২১৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধান:
১ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য ৬০ টাকা
∴ ৩ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য = ৬০ × ৩ টাকা = ১৮০ টাকা।
দেওয়া আছে,
৩ ডজন কলমের বিক্রয়মূল্য = ২১৬ টাকা
যেহেতু কলমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।
∴ লাভ = (২১৬ - ১৮০) টাকা = ৩৬ টাকা।
এখন, ১৮০ টাকায় লাভ হয় = ৩৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৩৬/১৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩৬ × ১০০)/১৮০ টাকা
= ২০ টাকা।
অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২০%
৪,৫৭২.
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৬, ১০, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৬, ১০, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
সমাধান:
৬, ১০, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৬০
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
এখন,
১০০০ ÷ ৬০ = ভাগফল ১৬, ভাগশেষ ৪০
এখানে,
ভাজ্য = ১০০০
ভাজক = ৬০
ভাগফল = ১৬
ভাগশেষ = ৪০
অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০
সমাধান:
৬, ১০, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৬০
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
এখন,
১০০০ ÷ ৬০ = ভাগফল ১৬, ভাগশেষ ৪০
এখানে,
ভাজ্য = ১০০০
ভাজক = ৬০
ভাগফল = ১৬
ভাগশেষ = ৪০
অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০
৪,৫৭৩.
একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
সমাধান:
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন
∴ 8 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 8C2
= 8!/{2!(8! - 2!)
= 8!/(2! · 6!)
= 28
সমাধান:
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন
∴ 8 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 8C2
= 8!/{2!(8! - 2!)
= 8!/(2! · 6!)
= 28
৪,৫৭৪.
a + b = 6 এবং a - b = 4 হয়, তবে (a2 + b2) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6 এবং a - b = 4 হয়, তবে (a2 + b2) = কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, (a2 + b2) = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
= {(6)2 + (4)2}/2
= (36 + 16)/2
= 52/2
= 26
∴ (a2 + b2) = 26 ।
সমাধান:
আমরা জানি,
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, (a2 + b2) = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
= {(6)2 + (4)2}/2
= (36 + 16)/2
= 52/2
= 26
∴ (a2 + b2) = 26 ।
৪,৫৭৫.
একটি সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি কত?
সমাধান:
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০°
= ৫৪০°
= ৫৪০°/৯০°
= ৬ সমকোণ
সমাধান:
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০°
= ৫৪০°
= ৫৪০°/৯০°
= ৬ সমকোণ
৪,৫৭৬.
বার্ষিক ৬% মুনাফায় কত বছরে ১০০০০ টাকার মুনাফা ৪২০০ টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক ৬% মুনাফায় কত বছরে ১০০০০ টাকার মুনাফা ৪২০০ টাকা হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফার হার, r = ৬%
মুনাফা, I = ৪২০০ টাকা
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
আমরা জানি
I = Pnr
n = I/Pr
= ৪২০০/{১০০০০ × (৬/১০০)}
= ৭
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফার হার, r = ৬%
মুনাফা, I = ৪২০০ টাকা
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
আমরা জানি
I = Pnr
n = I/Pr
= ৪২০০/{১০০০০ × (৬/১০০)}
= ৭
৪,৫৭৭.
একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্বা হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি, ডকের উচ্চতা = ক ফুট
নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = ১২ ফুট
নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য = (২ক + ৩) ফুট
প্রশ্নানুসারে,
(২ক + ৩)২ = ক২ + ১২২
৪ক২ + ১২ক + ৯ = ক২ + ১৪৪
৩ক২ + ১২ক - ১৩৫ = ০
৩(ক২ + ৪ক - ৪৫) = ০
ক২ + ৪ক - ৪৫ = ০
ক২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = ০
ক(ক + ৯) -৫(ক + ৯) = ০
(ক + ৯)(ক - ৫) = ০
∴ ক = ৫; কিন্তু ক এর মান -৯ গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ সঠিক উত্তর: ৫ ফুট
নৌকা থেকে ডকের দূরত্ব = ১২ ফুট
নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য = (২ক + ৩) ফুট
প্রশ্নানুসারে,
(২ক + ৩)২ = ক২ + ১২২
৪ক২ + ১২ক + ৯ = ক২ + ১৪৪
৩ক২ + ১২ক - ১৩৫ = ০
৩(ক২ + ৪ক - ৪৫) = ০
ক২ + ৪ক - ৪৫ = ০
ক২ + ৯ক - ৫ক - ৪৫ = ০
ক(ক + ৯) -৫(ক + ৯) = ০
(ক + ৯)(ক - ৫) = ০
∴ ক = ৫; কিন্তু ক এর মান -৯ গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ সঠিক উত্তর: ৫ ফুট
৪,৫৭৮.
১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি
সমাধান:
১০২৪ = ১ × ১০২৪
= ২ × ৫১২
= ৪ × ২৫৬
= ৮ × ১২৮
= ১৬ × ৬৪
= ৩২ × ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি
৪,৫৭৯.
(x2 + y2)3 = 8 হলে (x+y)2 + (x-y)2 = কত?
ব্যাখ্যা
(x2 + y2)3 = 8
বা, x2+y2 = 2
বা, 2(x2+y2) = 4
∴ (x+y)2 + (x-y)2 = 4
বা, x2+y2 = 2
বা, 2(x2+y2) = 4
∴ (x+y)2 + (x-y)2 = 4
৪,৫৮০.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -
সমাধান:
ধরি,
P(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20
এখানে,
P(-1) = 3(-1)3 + 2(-1)2 - 21. (-1) - 20
= -3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0
∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
সমাধান:
ধরি,
P(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20
এখানে,
P(-1) = 3(-1)3 + 2(-1)2 - 21. (-1) - 20
= -3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0
∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
৪,৫৮১.
দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল.সা.গু 180 হলে সংখ্যা দুটির পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং তাদের ল.সা.গু 180 হলে সংখ্যা দুটির পার্থক্য কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = 3a এবং 4a
এদের ল.সা.গু = 12a
প্রশ্নমতে,
12a = 180
বা, a = 180/12
∴ a = 15
∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 3 × 15 = 45, এবং 4 × 15 = 60
∴ সংখ্যা দুটির পার্থক্য = 60 - 45 = 15
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = 3a এবং 4a
এদের ল.সা.গু = 12a
প্রশ্নমতে,
12a = 180
বা, a = 180/12
∴ a = 15
∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে 3 × 15 = 45, এবং 4 × 15 = 60
∴ সংখ্যা দুটির পার্থক্য = 60 - 45 = 15
৪,৫৮২.
কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ২০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ২০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ
১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ২০,০০০ টাকা
∴১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (২০,০০০ × ৮) টাকা = ১৬০,০০০ টাকা
সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ
১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ২০,০০০ টাকা
∴১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (২০,০০০ × ৮) টাকা = ১৬০,০০০ টাকা
৪,৫৮৩.
বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 5 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ মি. এবং দৈর্ঘ্য 5 মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ মি.
সুতরাং প্রস্থ = 60/5 = 12 মি.
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(122 + 52) = √169 = 13
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13/2 = 6.5 মি.
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 60 বর্গ মি.
সুতরাং প্রস্থ = 60/5 = 12 মি.
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = √(122 + 52) = √169 = 13
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 13/2 = 6.5 মি.
৪,৫৮৪.
1 + 2 + 3 +...............+ 68 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ............ + 68 = কত?
সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1
পদসংখ্যা, n = 68
∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (68/2){2 × 1 + (68 - 1) × 1}
= 34 × (2 + 67)
= (34 × 69)
= 2346
সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1
পদসংখ্যা, n = 68
∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (68/2){2 × 1 + (68 - 1) × 1}
= 34 × (2 + 67)
= (34 × 69)
= 2346
৪,৫৮৫.
শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল সুদে ৬৪০ টাকার ২ বছর ৬ মাসের সুদ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল সুদে ৬৪০ টাকার ২ বছর ৬ মাসের সুদ কত?
সমাধান:
২ বছর ৬ মাস = (২ × ১২)মাস + ৬ মাস = (২৪ + ৬)মাস = ৩০ মাস
১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ = ৫ টাকা
১ টাকার ১ মাসের সুদ = ৫/(১০০ × ১২) টাকা
৬৪০ টাকার ৩০ মাসের সুদ = (৬৪০ × ৫ × ৩০)/(১০০ × ১২) টাকা
= ৮০ টাকা
সমাধান:
২ বছর ৬ মাস = (২ × ১২)মাস + ৬ মাস = (২৪ + ৬)মাস = ৩০ মাস
১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ = ৫ টাকা
১ টাকার ১ মাসের সুদ = ৫/(১০০ × ১২) টাকা
৬৪০ টাকার ৩০ মাসের সুদ = (৬৪০ × ৫ × ৩০)/(১০০ × ১২) টাকা
= ৮০ টাকা
৪,৫৮৬.
ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ΔABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
= (1/2) × 12 সে.মি.
= 6 সে.মি.
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
= (1/2) × 12 সে.মি.
= 6 সে.মি.
৪,৫৮৭.
একজন ফল বিক্রেতা কিছু তরমুজ ক্রয় করলেন। পরিবহনের সময় ২০% তরমুজ নষ্ট হয়ে গেল এবং ১০% তরমুজ সে নিজের পরিবারের জন্য রাখলো। মোটের উপর ৪০% লাভ করতে হলে তাকে অবশিষ্ট তরমুজ শতকরা কত লাভে বিক্রয় করতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ফল বিক্রেতা কিছু তরমুজ ক্রয় করলেন। পরিবহনের সময় ২০% তরমুজ নষ্ট হয়ে গেল এবং ১০% তরমুজ সে নিজের পরিবারের জন্য রাখলো। মোটের উপর ৪০% লাভ করতে হলে তাকে অবশিষ্ট তরমুজ শতকরা কত লাভে বিক্রয় করতে হবে?
সমাধান:
মনে করি,
তরমুজ ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ অবশিষ্ট তরমুজ মূল্য = ১০০ - (২০ + ১০)} = ১০০ - ৩০ = ৭০ টাকা
৪০% লাভে তরমুজের বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ৪০) = ১৪০ টাকা
∴ লাভ করতে হবে= (১৪০ - ৭০) = ৭০ টাকা
এখন,
৭০ টাকায় লাভ করতে হবে = ৭০ টাকা
১ টাকায় লাভ করতে হবে = ৭০/৭০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ করতে হবে = (৭০ × ১০০)/৭০ টাকা
= ১০০ টাকা
সমাধান:
মনে করি,
তরমুজ ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ অবশিষ্ট তরমুজ মূল্য = ১০০ - (২০ + ১০)} = ১০০ - ৩০ = ৭০ টাকা
৪০% লাভে তরমুজের বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ৪০) = ১৪০ টাকা
∴ লাভ করতে হবে= (১৪০ - ৭০) = ৭০ টাকা
এখন,
৭০ টাকায় লাভ করতে হবে = ৭০ টাকা
১ টাকায় লাভ করতে হবে = ৭০/৭০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ করতে হবে = (৭০ × ১০০)/৭০ টাকা
= ১০০ টাকা
৪,৫৮৮.
কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে 100 কম হলে সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে 100 কম হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি 'x'
শর্তমতে,
2x/3 = x - 100
বা, x - 2x/3 = 100
বা, (3x - 2x)/3 = 100
বা, x/3 = 100
∴ x = 300
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি 'x'
শর্তমতে,
2x/3 = x - 100
বা, x - 2x/3 = 100
বা, (3x - 2x)/3 = 100
বা, x/3 = 100
∴ x = 300
৪,৫৮৯.
যশোর থেকে খুলনা যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১০০ কি.মি./ঘণ্টা এবং খুলনা থেকে যশোর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ১৫০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যশোর থেকে খুলনা যাওয়ার সময় একটি ট্রেনের গতিবেগ ছিল ১০০ কি.মি./ঘণ্টা এবং খুলনা থেকে যশোর ফিরে আসার সময় এর গতিবেগ ছিল ১৫০ কি.মি./ঘণ্টা। পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পুরো যাত্রার গড় গতিবেগ = ২ × x × y/(x + y)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/(১০০ + ১৫০)
= (২ × ১০০ × ১৫০)/২৫০
= ১২০ কি.মি./ঘণ্টা
৪,৫৯০.
নিচের কোনটি সত্য? যেখানে প্রতীকগুলো প্রচলিত অর্থ বহন করে।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সত্য? যেখানে প্রতীকগুলো প্রচলিত অর্থ বহন করে।
সমাধান:
এখানে,
C = চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূল
P = সরল মুনাফা বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় আসল বা মূলধন বা আমানত বা ব্যাংকে গচ্ছিত সম্পদ বা অর্থ।
n = সময়
r = শতকরা মুনাফার হার
I = মুনাফা বা সুদ
A = সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, মুনাফা-আসল
আমরা জানি,
মুনাফা-আসল, A = P(1 + nr)
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূল, C = P(1 + r)n
মুনাফা, I =A - P
মুনাফা, I = Pnr
সমাধান:
এখানে,
C = চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূল
P = সরল মুনাফা বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় আসল বা মূলধন বা আমানত বা ব্যাংকে গচ্ছিত সম্পদ বা অর্থ।
n = সময়
r = শতকরা মুনাফার হার
I = মুনাফা বা সুদ
A = সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, মুনাফা-আসল
আমরা জানি,
মুনাফা-আসল, A = P(1 + nr)
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূল, C = P(1 + r)n
মুনাফা, I =A - P
মুনাফা, I = Pnr
৪,৫৯১.
১০০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?
সমাধান:
এসিড : পানি = ৩ : ২
মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [১০০ × (৩/৫)] = ৬০ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [১০০ × (২/৫)] = ৪০ লিটার
ধরি,
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে ২ : ৩
প্রশ্নমতে,
৬০ : (৪০ + x) = ২ : ৩
বা, ৬০/(৪০ + x) = ২/৩
বা, ১৮০ = ৮০ + ২x
বা, ২x = ১০০
∴ x = ৫০
সমাধান:
এসিড : পানি = ৩ : ২
মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [১০০ × (৩/৫)] = ৬০ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [১০০ × (২/৫)] = ৪০ লিটার
ধরি,
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে ২ : ৩
প্রশ্নমতে,
৬০ : (৪০ + x) = ২ : ৩
বা, ৬০/(৪০ + x) = ২/৩
বা, ১৮০ = ৮০ + ২x
বা, ২x = ১০০
∴ x = ৫০
৪,৫৯২.
বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে কতগুলো স্পর্শক আঁকা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে ২টি স্পর্শক আঁকা সম্ভব।
এখানে
P বহিঃস্থ বিন্দু।
PA ও PB দুটি স্পর্শক
এখানে
P বহিঃস্থ বিন্দু।
PA ও PB দুটি স্পর্শক
৪,৫৯৩.
ক : খ = ৬ : ৭ এবং খ : গ = ১৪ : ৯ হলে ক : গ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক : খ = ৬ : ৭ এবং খ : গ = ১৪ : ৯ হলে ক : গ = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৬ : ৭
খ : গ = ১৪ : ৯
প্রথম অনুপাত থেকে, ক/খ = ৬/৭
দ্বিতীয় অনুপাত থেকে, খ/গ = ১৪/৯
এখন,
ক/গ = (ক/খ) × (খ/গ)
= (৬/৭) × (১৪/৯)
= ৮৪/৬৩
= ৪/৩
∴ ক : গ = ৪ : ৩
৪,৫৯৪.
(0.09)2 ÷ 0.027 × (0.3)6 = (0.3)x হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (0.09)2 ÷ 0.027 × (0.3)6 = (0.3)x হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
(0.09)2 ÷ 0.027 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ {(0.3)2}2 ÷ (0.3)3 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ (0.3)4 ÷ (0.3)3 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ (0.3) 4 - 3 + 6 = (0.3)x
⇒ (0.3)7 = (0.3)x
∴ x = 7
সমাধান:
(0.09)2 ÷ 0.027 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ {(0.3)2}2 ÷ (0.3)3 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ (0.3)4 ÷ (0.3)3 × (0.3)6 = (0.3)x
⇒ (0.3) 4 - 3 + 6 = (0.3)x
⇒ (0.3)7 = (0.3)x
∴ x = 7
৪,৫৯৫.
একটি 17 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি 17 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?
সমাধান:
ধরি, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের x মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = 17 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = 8 মিটার
দেয়ালের উচ্চতা, AB = x
যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে,
∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)2 + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)2 = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)2
⇒ x2 + 82 = 172
⇒ x2 + 64 = 289
⇒ x2 = 289 - 64
⇒ x2 = 225
⇒ x = √225
⇒ x = 15
∴ মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 15 মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।
৪,৫৯৬.
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?
সমাধান:
নির্বাচন করতে হবে,
৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন
৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ২ জন
এখন,
পুরুষ নির্বাচন,
৫C২ = (৫ × ৪)/(২ × ১) = ২০/২ = ১০টি উপায়
মহিলা নির্বাচন,
৪C২ = (৪ × ৩)/(২ × ১) = ১২/২ = ৬টি উপায়
∴ মোট উপায় = ১০ × ৬ = ৬০
সুতরাং, কমিটিটি ৬০ উপায়ে গঠন করা সম্ভব।
৪,৫৯৭.
কোন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 13 সে.মি. এবং পরিসীমা 30 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটি a ও b এবং অতিভুজ c = 13 সে.মি.
পরিসীমা a+b+13 = 30 বা, a+b = 17
আবার, a² + b² = 13²
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, (17)² - 2ab = 169
বা, 2ab = 289-169
বা, ab = 120/2
∴ ab = 60
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ½ × ab = ½ × 60 = 30 বর্গ সে.মি.
৪,৫৯৮.
৭০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
৭০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫ × ৭
= (২ × ২) × (৫ × ৫) × ৭
এখানে
৭ জোড়া বিহীন
৭০০ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
সমাধান:
৭০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫ × ৭
= (২ × ২) × (৫ × ৫) × ৭
এখানে
৭ জোড়া বিহীন
৭০০ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
৪,৫৯৯.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
(1/a + 1) ÷ (1 - 1/a2) = (1/a + 1) ÷ (1 + 1/a)(1 - 1/a)
= 1 ÷ (1 - 1/a)
= {1 - (1/a)}- 1
= {(a - 1)/a}- 1
= a/(a - 1)
সমাধান:
(1/a + 1) ÷ (1 - 1/a2) = (1/a + 1) ÷ (1 + 1/a)(1 - 1/a)
= 1 ÷ (1 - 1/a)
= {1 - (1/a)}- 1
= {(a - 1)/a}- 1
= a/(a - 1)
৪,৬০০.
একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৫০। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ১৫ টাকা এবং মোট ভাড়া ১২০০ টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন
প্রশ্নমতে, 15(50-x) + 30x = 1200
বা, 750 - 15x + 30x = 1200
বা, 15x = 450
বা, x = 30
প্রশ্নমতে, 15(50-x) + 30x = 1200
বা, 750 - 15x + 30x = 1200
বা, 15x = 450
বা, x = 30