গাণিতিক যুক্তি

x² - √2x + 1 = 0
বা, x² + 1 = √2x
বা, (x² + 1)/x = √2
বা, x + 1/x = √2

∴ x⁵ + 1/x⁵ 
= (x³ + 1/x³)(x² + 1/x²) - (x + 1/x)
= {(x + 1/x)³ - 3x.1/x(x + 1/x)}{(x + 1/x)² - 2x.1/x} - (x + 1/x)
= (2√2 - 3√2)(2 - 2) - √2
= - √2

f(x) = 4x² + 11x + 6 = 0
এখানে,
f(-2) = 4.4 + 11(-2) + 6
= 16 - 22 + 6
= 0
∴ x = -2

2/x= 3; y = 12
x = 2/3
(3 + y)/(x - 4) = (3 + 12)/(2/3 - 4)
= -( 15 × 3)/10 = - 4.5

প্রশ্ন: log_4​16 - log_4​2 এর মান কত?

সমাধান: 
বেস চেঞ্জ ফর্মুলার সাহায্যে, 
log₄16
= log16/log4
= log 2⁴/log2²
= 4log2/2log2
= 4/2
= 2 

আবার, 
log₄2
= log2/log4
= log2/log2²
= log2/2log2
= 1/2

তাহলে, 
log₄16 - log₄2 = 2 - (1/2)
= (4 - 1)/2
= 3/2

প্রশ্ন: একটি শহরে ৬,০০০ জন বাসিন্দা আছে। এদের মধ্যে ৬৫% ব্যবসার সাথে জড়িত। শহরে কতজন বাসিন্দা ব্যবসার সাথে জড়িত নয়?

সমাধান:
মোট বাসিন্দা = ৬,০০০ জন  
ব্যবসার সাথে জড়িত = ৬৫%  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত আছে = ৬,০০০ এর ৬৫%  
= ৬,০০০ × (৬৫/১০০)  
= ৩,৯০০ জন  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত নয় = ৬,০০০ − ৩,৯০০  
= ২,১০০ জন

০.০১ × ০.০০১০ × ০.০০০৫ × ০.০০০০২
= ১/১০০ × ১/১০০০ × ৫/১০০০০ × ১/১০০০০০
= ১০/১০০০০০০০০০০০০০০
= ০.০০০০০০০০০০০০১

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৪ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১১ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে।
অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা ভিতর থেকে একবিন্দুতে স্পর্শ করছে।

দেওয়া আছে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৪ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ (R) = ১১ সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, 
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
∴ ৪ = ১১ - r
⇒ r = ১১ - ৪
⇒ r = ৭ সেমি

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.

ধরি, আসল = ৮ টাকা
তাহলে, মুনাফা = ৩ টাকা
সুতরাং, মুনাফা-আসল = ১১ টাকা
এখন,
মুনাফা-আসল ১১ টাকা হলে মুনাফা = ৩ টাকা
∴ মুনাফা-আসল ৫৫০০ টাকা হলে মুনাফা = (৩×৫৫০০)/১১ টাকা
= ১৫০০ টাকা
তাহলে আসল = ৫৫০০ - ১৫০০ = ৪০০০ টাকা।
মুনাফার হার = (১৫০০×১০০) / (৪০০০×৩) = ১২.৫%

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. হয়, তবে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π sq. cm.

প্রশ্ন: ১৫ ফুট দৈর্ঘ্য ও ১২ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট একটি কার্পেট দ্বারা একটি মেঝের ৬০% মোড়ানো যায়। মেঝেটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য ১৫ ফুট ও প্রস্থ ১২ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল (১৫ × ১২) বর্গফুট
= ১৮০ বর্গফুট 

∴ ৬০% সমান ১৮০ বর্গফুট 
∴ ১% সমান (১৮০/৬০) বর্গফুট
∴ ১০০% সমান {(১৮০ × ১০০)/৬০}  বর্গফুট
= ৩০০ বর্গফুট 

10⁴⁰ – 10³⁹
10.10³⁹ – 10³⁹
10³⁹(10-1)
9×10³⁹

প্রশ্ন: log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000) = কত?

সমাধান:
log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000)
= log₁₀(10) + log₁₀(10²) + log₁₀(10³) + log₁₀(10⁴)
= log₁₀(10) + 2 × log₁₀(10) + 3 × log₁₀(10) + 4 × log₁₀(10)
= 1 + 2 + 3 + 4 [যেহেতু, log_aa = 1]
= 10

এখানে,
A = {2},
B = {-1, 1, 2}
∴ A - B = ∅

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)²
বা, বাহু² = (৪ × ৫০)/√৩ = ১১৫.৪৭
বা, বাহু = ১০.৭৫ সেমি 

-x এর যোগাত্মক বিপরীত রাশি x.

আবার  x এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি 1/x.

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ৪ : ৫। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
১ম বৃত্তের, ব্যাস, = ৪
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = ২
১ম বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π২^২ 
= ৪π

২য় বৃত্তের, ব্যাস, r = ৫
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂ = ৫/২
২য় বৃত্তের, ক্ষেত্রফল = π(৫/২)^২
= ২৫/৪

∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, ৪π : ২৫π/৪
= ৪ : ২৫/৪
= ১৬ : ২৫

প্রশ্ন: f(x) = √(9 - x²) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?

সমাধান:
ধরি, y = f(x) = √(9 - x²)

রেঞ্জ বের করার জন্য আমাদের দেখতে হবে y-এর সম্ভাব্য মানগুলো কী কী হতে পারে।

1. বর্গমূলের (√) ভেতরে থাকা রাশি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই ডোমেন নির্ণয়ের জন্য,
9 - x² ≥ 0
⇒ x² ≤ 9
⇒ - 3 ≤ x ≤ 3 (এটি হলো ডোমেন)

2. যেহেতু y = √(9 - x²), এবং বর্গমূলের ফলাফল কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই y ≥ 0 হবে।

3. এখন x-এর সীমার মধ্যে y-এর মানগুলো লক্ষ্য করি:
যখন x = 0, তখন y = √(9 - 0) = 3 (এটি সর্বোচ্চ মান)
যখন x = 3 বা - 3, তখন y = √(9 - 9) = 0 (এটি সর্বনিম্ন মান)

অতএব, y-এর মান 0 থেকে শুরু করে 3 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে।

∴ রেঞ্জ = [0, 3]

প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৪ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৫ মিটার। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ৯৬ বার বেশি ঘুরবে।

সমাধান:
সামনের চাকা ও পিছনের চাকার লসাগু = (৪ × ৫) = ২০
২০ মিটার অতিক্রম করলে চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরে

∴ ৯৬ বার বেশি ঘুরতে চাকাটির পথ অতিক্রম করতে হবে = (৯৬ × ২০) মিটার
= ১৯২০ মিটার 
= (১৯২০/১০০০) কিলোমিটার
= ১.৯২ কিলোমিটার

তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৩ × ১৭ = ৫১
পিতা এবং তিন ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = ৪ × ২৬ = ১০৪
সুতরাং, পিতার বয়স = ১০৪ - ৫১ = ৫৩ বছর

প্রশ্ন: একজন ডিম বিক্রেতা প্রতি ডজন ডিম ৪৮ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি হালি ডিম ২৪ টাকা দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ ডজন ডিমের ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
১ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা

আমরা জানি,
১ ডজন = ১২ টি
এবং ১ হালি = ৪ টি

এখন, ১২ টি ডিমের ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
∴ ১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = (৪৮/১২) = ৪ টাকা

আবার, ৪ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য ২৪ টাকা
∴ ১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = (২৪/৪) = ৬ টাকা

∴ লাভ = (৬ - ৪) টাকা = ২ টাকা

তাহলে,
৪ টাকায় লাভ হয় ২ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (২/৪) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (২/৪) × ১০০ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ শতকরা ৫০% লাভ হয়।

প্রশ্ন: তিনজন মেয়ে একটি বৃত্তাকার মাঠের চারিদিক বরাবর একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দৌড়ানো শুরু করল এবং প্রত্যেকে একটি পাক যথাক্রমে 24 সেকেন্ড, 36 সেকেন্ড এবং 48 সেকেন্ড পূর্ণ করে। কত সময় পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে?

সমাধান:

প্রথম মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 24 সেকেন্ডে
দ্বিতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 36 সেকেন্ডে
তৃতীয় মেয়ে এক পাক সম্পন্ন করে = 48 সেকেন্ডে

24, 36 এবং 48 এর ল.সা.গু (LCM) বের করতে হবে। 

প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3

LCM (ল.সা.গু) = সর্বোচ্চ ঘাতসহ সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল

LCM(ল.সা.গু) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

অতএব, 144 সেকেন্ড বা 2 মিনিট 24 সেকেন্ড পর তারা একই স্থানে মিলিত হবে।