গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 

সমাধান:
'ABSCISSA' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8টি
যার মধ্যে A আছে 2 বার, S আছে 3 বার এবং অন্য বর্ণগুলো আছে একবার করে। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'ABSCISSA' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

(x²)³ × x³
x⁶× x³
x⁹

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির 1001 তম পদ কোনটি?

সমাধান: 
ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদসংখ্যা, n = 1001

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 1 + (1001 - 1) × 3
= 1 + 3000
= 3001

∴ ধারাটির 1001 তম পদ 3001

এখানে,
৯১ এর উৎপাদক = ১, ৭, ১৩, ৯১
৮৭ এর উৎপাদক = ১, ৩, ২৯, ৮৭
৫১ এর উৎপাদক = ১, ৩, ১৭,৫১
৫৯ এর উৎপাদক = ১, ৫৯
∴ ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে এর পরিধি কত?

সমাধান : 
বৃত্তের ব্যাস = 26 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ  r = 26/2 = 13সে.মি. 
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি.
= 2 × π × 13
= 26π সে.মি
= 26 × 3.1416 সে.মি.
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3 টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 18 টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁸C₃
= 18!​/3!(18 - 3)!
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 ​× 15!)/(3 × 2 × 15!)
= 816

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 816 টি।

ধরি, সংখ্যাটি = ক
∴ শর্তমতে, ক এর ৩/৪ অংশ এর ১/৫ অংশ = ৬০
বা, (ক × ৩ × ১)/৪ × ৫ = ৬০
বা, ৩ক / ২০ = ৬০
বা, ক = (৬০ × ২০)/৩
বা, ক = ৪০০
∴ সংখ্যাটি ৪০০

এখানে,
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের সমষ্টি = ৩ + ৪ = ৭
∴ ১৫৪ ÷ ৭
= ২২
সুতরাং সংখ্যাটিকে ৩ : ৪ অনুপাতে বিভক্ত করা যায়

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

x মৌলিক সংখ্যা।
y, x দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ল.সা.গু. = xy.

প্রশ্ন: স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য হলো- 

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট = {1, 2, 3, 4, …}

∴ ক্ষুদ্রতম সদস্য = 1

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
=(x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: যদি a - 3b = 4 হয়, তবে a³ - 27b³ - 36ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - 3b = 4

এখন,
a³ - 27b³ - 36ab
= a³ - (3b)³ - 36ab
= (a - 3b)³ + 3 . a . 3b(a - 3b) - 36ab
= 4³ + (9ab × 4) - 36ab
= 64 + 36ab - 36ab
= 64

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত? 

সমাধান:
রেখার ঢাল m বের করতে রেখাকে y = mx + c আকারে আনতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
3x - 4y = 12
⇒ - 4y = -3x + 12 [উভয় পাশে ৪ দিয়ে ভাগ করে:]
⇒ y = 3/4x - 3

এখান থেকে ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4 

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

আবার, 
২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা

∴ লাভ = (১/২) - (১/৩) 
= (৩ - ২)/৬
= ১/৬ টাকা

∴ ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩)/৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩ × ১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা

∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ...........(i)
a² + ab + b² = 3 ...............(ii)

এখন,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒  (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3  [সমীকরণ (ii) থেকে মান বসিয়ে]
 ⇒ a² - ab + b² = 3/3
⇒ a² - ab + b² = 1 ........ (iii)

এখন, সমীকরণ (ii) এবং (iii) যোগ করে পাই,
(a² + ab + b²) + (a² - ab + b²) = 3 + 1
⇒ 2a² + 2b² = 4
⇒ 2(a² + b²) = 4
⇒ a² + b² = 4/2
⇒ a² + b² = 2

∴ a² + b² এর মান হলো 2

স্ত্রী আর ছেলে পায় = (২৪ + ৪৪)% = ৬৮%
মেয়ে পায় = (১০০ - ৬৮)% = ৩২%
৩২% = ৩,৫২,০০০ টাকা
∴ ১০০% = (৩,৫২,০০০×১০০)/৩২
= ১১,০০,০০০/-

ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০ - (৫৫ + ৩৫) = ৯০°।
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।

অপু ৬ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/৬ অংশ কাজ

দীপু ৮ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/৮ অংশ কাজ

নিপু ১২ দিনে করে ১ অংশ কাজ
∴ সে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ

অর্থাৎ তারা একত্রে ১ দিনে করে = ১/৬ + ১/৮ + ১/১২ অংশ কাজ।
= (৪ + ৩ + ২)/২৪ অংশ কাজ।
= ৯/২৪ অংশ কাজ।

সুতরাং তারা একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারবে = (১ x ২৪)/৯ দিনে।
= ৮/৩ দিনে।
= ২(২/৩) দিনে।

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ৮ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ জন বছর। ৪ জন শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৫ বছর। নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
৮ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স = ১৪ বছর
∴ তাদের মোট বয়স =৮ × ১৪ = ১১২ বছর

৪ শিক্ষার্থী নতুন আসায় মোট শিক্ষার্থী = ৮ + ৪ জন
= ১২ জন

নতুন গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ১২ জনের মোট বয়স = ১২ × ১৫ = ১৮০ বছর

∴ নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ১৮০ - ১১২ বছর
= ৬৮ বছর

∴ নতুন ৪ শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ৬৮ বছর

প্রশ্ন: যদি x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হলে x = 1 হবে।
f(1) = 0

ধরি,
f(x) = x³ + kx + 6

∴ f(1) = 1³ + k × 1 + 6
⇒ 1 + k + 6 = 0
⇒ k + 7 = 0

যেহেতু f(1) = 0
⇒ k = - 7

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা ৪ টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে ৩ টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = ৪×৩ = ১২

ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মি.
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২x মি.
পরিসীমা = ২( ২x + x) মি.

 সুতরাং,
২( ২x + x) = ৬০
বা, ২( ৩x) = ৬০
বা, ৬x = ৬০
বা, x = ১০
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১০ মি.
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০ মি.
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২০ × ১০ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২৪° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°, বৃহত্তর কোণ = ক + ২৪°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০° এবং অপর দুই কোণের সমষ্টি ৯০° হয়।
প্রশ্নমতে,
∴ ক + (ক + ২৪°) = ৯০°
∴ ২ক = ৯০° - ২৪°
∴ ২ক = ৬৬°
∴ ক = ৬৬°/২ = ৩৩°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩৩°

প্রশ্ন: ৫% সরল মুনাফা হারে কত বছরে ১০০০ টাকার মুনাফা ২০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ? 
আসল, P = ১০০০ টাকা 
মুনাফা, I = ২০০ টাকা 

আমরা জানি, 
I = Pnr 
∴ n = I/Pr 
= ২০০/{১০০০ × (১/২০)} 
= ২০০/৫০ 
= ৪ বছর ।