গাণিতিক যুক্তি

ধরি, ববি ও কবির কাছে যথাক্রমে ৭x ও ৯x টি আপেল আছে।
প্রশ্নমতে,
৭x+২১ : ৯x-২১ = ৭ঃ৬
⇒ (৭x+২১)/(৯x-২১) = ৭/৬
⇒ ৪২x + ১২৬ = ৬৩x - ১৪৭
⇒ ২১x = ২৭৩
∴ x = ১৩
∴ কবির কাছে ববি অপেক্ষা বেশি আছে = (৯x-৭x) টি
                                                           = ২x টি
                                                           = (২×১৩) ”
                                                           = ২৬ টি

ধরি,
অতিক্রান্ত দূরত্ব = x মাইল
স্রোতের অনুকুলে যেতে সময় লাগে t ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে 2t ঘন্টা
নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = x/t
নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = x/2t
________________________
2 স্রোতের বেগ = x/2t
স্রোতের বেগ x/t = 16 মাইল/ঘন্টা
নৌকার বেগ = 16-4 = 12 মাইল/ঘন্টা

প্রশ্ন: তেলভর্তি একটি পাত্রের ওজন ১৮ কেজি। পাত্রের এক-তৃতীয়াংশ তেলভর্তি হলে তার ওজন ৮ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ তেলের ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১৮ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/৩ = ৮ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/৩) = ১৮ - ৮
বা, y - y/৩ = ১০
বা, (৩y - y)/৩ = ১০
বা, ২y/৩ = ১০
বা, y = ১০ × ৩/২
বা, y = ১৫ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ১৫ = ১৮
বা, x = ১৮ - ১৫
বা, x = ৩ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৩ কেজি

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির ৩ গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = ক সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = ৩ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১২৮
⇒ (১/২) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = ১২৮
⇒ (১/২) × ক × (ক + ৩ক) = ১২৮
⇒ ৪ক^২/২ = ১২৮
⇒ ২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪ = ৮^২ 
⇒ ক = ৮

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: x³ - 6x² + ax - 16 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 4 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + ax - 16।
যেহেতু (x - 4) রাশিটি একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 4 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(4) এর মান নির্ণয় করি,
f(4) = (4)³ - 6(4)² + a(4) - 16
= 64 - 6(16) + 4a - 16
= 64 - 96 + 4a - 16
= - 32 + 4a - 16
= 4a - 48

শর্তমতে,
f(4) = 0
⇒ 4a - 48 = 0
⇒ 4a = 48
∴ a = 12

প্রদত্ত ধারাটি,
log11 + log121 + log1331 + ......
= log11 + log11² + log11³ + ......
= 1 log11 + 2 log11 + 3 log11 + ......
= (1 + 2 + 3 + 4 + ........) log11
এখন,
1 + 2 + 3 + 4 + ........ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি = 12(12 + 1)/2
= 6 × 13
= 78
সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log11.

প্রশ্ন: একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7। সম্পূরক কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
একটি কোণ এবং তার সম্পূরক কোণের অনুপাত 3 : 7।
ধরি,

কোণটি = 3k ডিগ্রি
সম্পূরক কোণ = 7k ডিগ্রি

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুসারে দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
⇒ 3k + 7k = 180°
⇒ 10k = 180°
∴ k = 18°

সুতরাং, সম্পূরক কোণ = 7k = 7 ×  18° = 126°

অতএব, সম্পূরক কোণটি 126°।

এখানে,
আসল p = ১৫০০০ টাকা,
সুদের হার r = ১০%
সময় n = ২ বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল c = p(১ + r)ⁿ
= ১৫০০০ × (১ + ১০/১০০)²
= ১৫০০০ × (১১০/১০০)²
= ১৫০০০ × (১১০ × ১১০)/(১০০ × ১০০)
= ১৮১৫০ টাকা
∴ সুদ = ১৮১৫০ - ১৫০০০
= ৩১৫০ টাকা

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BOF = 120°
CGF = θ 

যেহেতু, AB ΙΙ CD এবং EF এদের ছেদক,
∴ ∠BOF ও ∠EGC পরস্পর একান্তর কোণ। 
অর্থাৎ ∠BOF = ∠EGC = 120°

আবার,
∠EGC ও ∠DGF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। 
∴ ∠EGC = ∠DGF = 120°

এখন,
∠DGF + ∠CGF = 180°
⇒ 120° + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 120°
⇒ θ = 60°

আমরা জানি,
θ কোণের পূরক কোণ = 90° - θ 
= 90° - 60° = 30°

প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি পাত্রের ওজন ২৪ কেজি। পাত্রের অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ১৪ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি, খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ২৪ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ১৪ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ২৪ - ১৪
বা, y - y/২ = ১০
বা, (২y - y)/২ = ১০
বা, y/২ = ১০
বা, y = ১০ × ২
বা, y = ২০ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ২০ = ২৪
বা, x = ২৪ - ২০
বা, x = ৪ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৪ কেজি

|x−2| < 5
⇒ - 5 < x - 2 < 5
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
⇒ - 3 < x < 7
যেহেতু, x এর মান -3 এর থেকে বড় তাই পূর্ণ সংখ্যায় x এর সর্বনিম্ন মান হবে -2.

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী প্রতি হালি লেবু ৪০ টাকায় ক্রয় করে প্রতি ৩ হালি ১৩৫ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ হালি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা
এবং 
৩ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১৩৫ টাকা
∴ ১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১৩৫/৩ = ৪৫  টাকা

∴ প্রতি হালিতে লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৪৫ - ৪০
= ৫ টাকা

∴ ৪০ টাকায় লাভ হয় = ৫ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৫/৪০ = ১/৮ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৮ = ১২.৫ টাকা 

সুতরাং, শতকরা লাভ হয় ১২.৫% ।

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5 এবং x - y = 3

আমরা জানি, 
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (5/2)² - (3/2)²
= (25/4) - (9/4)
= (25 - 9)/4
= 16/4
∴ xy = 4

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১
⇒ ২ক + ১ = ৪১
⇒ ২ক = ৪১ - ১
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

একটি মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা বিন্দু
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
সর্বাধিক বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/৮

অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২) 
=  √(৮^২ + ৬^২)
= √(৬৪ + ৩৬)
= ১০

ঘরের বিস্তার x মি. হলে, দৈর্ঘ্য = 2x মি.
∴ ক্ষেত্রফল = (x × 2x) = 2x² বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, 2x² = 512
=> x² = 256
∴ x = 16
∴ দৈর্ঘ্য = 32 মি.
ঘরটির পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৩২ + ১৬) মি.
= ৯৬ মি.

প্রশ্ন: যদি (x + 2) বহুপদী 4x³ - 3x² + 2a + 6 এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
যদি (x + 2) উৎপাদক হয়, তাহলে x = - 2 হলে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
অর্থাৎ,
4x³ - 3x² + 2a + 6 = 0
⇒ 4(- 2)³ - 3( -2)² + 2a + 6 = 0 [ x = - 2 ]
⇒ 4(- 8) - 3(4) + 2a + 6 = 0
⇒ - 32 - 12 + 2a + 6 = 0 
⇒ - 38 + 2a = 0
⇒ 2a = 38
⇒ a = 19

প্রশ্ন: কতজন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে যাতে প্রত্যেকে সমান সংখ্যক কলা ও আপেল পায়?

সমাধান:
এখানে, ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় ছাত্রের সংখ্যা।
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
১৪০ = ২ × ২ × ৫ × ৭

∴ ১১২ ও ১৪০ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৭ = ২৮

∴ ২৮ জন ছাত্রকে ১১২ টি কলা ও ১৪০ টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: যদি a - b = 7 এবং ab = 60 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 7 এবং ab = 60

আমরা জানি, 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (7)² + 2 × 60
= 49 + 120
 = 169

প্রশ্ন: 4p + 6 ≥ 2p - 8 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
4p + 6 ≥ 2p - 8
⇒ 4p - 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p ≥ - 8 - 6
⇒ 2p ≥ - 14
⇒ p ≥ - 7

প্রশ্ন: |3x - 6| < 9 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 6| < 9
⇒ - 9 < 3x - 6 < 9
⇒ - 9 + 6 < 3x < 9 + 6
⇒ - 3 < 3x < 15
⇒ - 1 < x < 5

প্রশ্ন: U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান: 
যেকোনো সেটের সাথে সার্বিক সেটের সম্মিলন সবসময় সার্বিক সেট হয়। 
∴ A ∪ U = U

এবং যেকোনো সেটের সাথে সার্বিক সেটের ছেদ সবসময় সেই সেট হয়। 
∴ A ∩ U = A

∴ সঠিক উত্তর খ) A ∪ U = U, A ∩ U = A

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ...... + 972 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12 ÷ 4 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 972
⇒ ar^{n - 1} = 972
⇒ 4 × 3^{n - 1} = 972
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 4 × (3⁶ - 1)/(3 - 1)
= 4 × (729 - 1)/2
= 4 × 364
= 1456

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1456

প্রশ্নঃ একটি ছাত্রাবাসে ৬০ জন ছাত্রের জন্য ২৫ দিনের খাবার মজুত আছে। ৫ দিন পর আরও ২০ জন ছাত্র ভর্তি হলে অবশিষ্ট খাবার কতদিন চলবে?

সমাধানঃ
প্রথম ৫ দিনে ৬০ জন ছাত্র ৫ দিনের খাবার খায়।
বাকি থাকে (২৫ − ৫)=২০ দিনের খাবার।
১ জনের খাবার = ৬০ × ২০ = ১২০০ দিন।
মোট ছাত্র = ৬০ + ২০ = ৮০ জন।

অতএব, ৮০ জনের জন্য খাবার চলবে = ১২০০ ÷ ৮০ = ১৫ দিন।

প্রশ্ন: যে পরিমাণ খাদ্যে ৪০০ জন লোকের ৩০ সপ্তাহ চলে। ঐ পরিমাণ খাদ্যে কতজন লোকের ১২ সপ্তাহ চলবে?

সমাধান:
৩০ সপ্তাহ খাদ্য চলে ৪০০ জন লোকের
১ সপ্তাহ খাদ্য চলে (৪০০ × ৩০)
∴ ১২ সপ্তাহ খাদ্য চলে (৪০০ × ৩০)/১২ জন লোকের
= ১০০০ জন লোকের

প্রশ্ন: ১ - ০.০৯৯৯ = ? 

সমাধান:
১ - ০.০৯৯৯
= ০.৯০০১

মনে করি, মূলদ্বয় α ও 1/α
∴ প্রদত্ত সমীকরণকে উৎপাদকের মূল সমীকরণ এর সাথে তুলনা করি
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = P/3
বা,  α × 1/α = P/3
বা, 1 = p/3
∴ p = 3