গাণিতিক যুক্তি

√.49 + √.0049
= 0.7 + 0.07
= 0.77

4x-7 < 2x+13
⇒ 4x-7-2x+7 < 2x+13-2x+7
⇒ 2x < 20
∴ x < 10

প্রশ্ন: (1/2) ​+ (1/4)​ + (1/8) ​+................. ধারাটির 7 তম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ সূত্র,
a_n​ = a × r^n-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)^7-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)⁶
⇒ a₇ = (1/2)⁷
⇒ a₇ = 1/128
 
∴ 7 তম পদ 1/128

= m - [m - {m - (-1)}]
= m - [m - {m + 1}]
= m - [m - m - 1]
= m - [-1]
= m + 1

প্রশ্ন: ৭২ টাকায় ৮ টি কলম বিক্রয় করায় ২৫% ক্ষতি হলো। প্রতি ডজন কলমের ক্রয়মূল্য কত ছিলো?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ২৫) = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য    ১০০/৭৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০/৭৫) × ৭২ টাকা
= ৯৬ টাকা

৮ টি কলমের ক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা
১ টি কলমের ক্রয়মূল্য   ৯৬/৮ টাকা
১২ টি কলমের ক্রয়মূল্য  (৯৬/৮) × ১২ টাকা
= ১৪৪ টাকা

সাদা বল = 4টি
কালো বল = 5টি
মোট বল = 9টি
∴ 3টি বল একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা
= ⁴c₃/ ⁹c₃ + ⁵c₃/⁹c₃
= 4/84 + 10/84
= 14/84
= 1/6

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7 ......... (1)

যেখানে,
(1) এর সাথে p ≤ 3x - 2 ≤ q তুলনা করে পাই, 
∴ p = - 17 এবং q = 7

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৯ মাসে ২০,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ২০,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০
সময়, n = ৯ মাস = ৯/১২ = ৩/৪ বছর

সুদ, I = Pnr
= ২০,০০০ × (৩/৪) × (৮/১০০)
= ১,২০,০০০/১০০
= ১,২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে 120 বার ঘোরে। 4 সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 মিনিট = 60 সেকেন্ড

60 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120 বার
∴ 1 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 120/60 বার = 2 বার
∴ 4 সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = 2 × 4 বার
= 8 বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি 1 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360°
∴ চাকাটি 8 বার ঘুরলে অতিক্রম করে = 360° × 8 = 2880°

অতএব, 4 সেকেন্ডে চাকাটি 2880° ঘুরবে।

৬, ৮, ১০ ও ১২ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ৫ = ১২০
সুতরাং নির্ণেয় বর্গ সংখ্যাটি = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ২ × ২ × ৫ × ৫
= ৩৬০০

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৯ টাকা। কলমটির মূল্য ১৮ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৫ টাকা কম হলে, কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হবে। বইটির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
বইয়ের মূল্য = ৯৯ - x টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৮ = ২ × {(৯৯ - x) - ১৫}
⇒ x + ১৮ = ২ × (৮৪ - x)
⇒ x + ১৮ = ১৬৮ - ২x
⇒ x + ২x + ১৮ = ১৬৮
⇒ ৩x + ১৮ = ১৬৮
⇒ ৩x = ১৫০
⇒ x = ৫০

∴ কলমের মূল্য = ৫০ টাকা
∴ বইয়ের মূল্য = ৯৯ - ৫০ = ৪৯ টাকা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ৮ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ৮ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ৮) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ৮) টাকা 
= ২৫ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২৫ টাকা ।

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার মধ্যে দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার তিনগুণ এবং প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় 55 হলে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = x
∴ প্রথম সংখ্যাটি = x/2
এবং
তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3

দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = 55 
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = 55 × 3 = 165

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x/3) = 165
⇒ (6x + 3x + 2x)/6 = 165
⇒ 11x = 165 × 6
⇒ x = (165 × 6)/11
∴ x = 90

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3 = 90/3 = 30

প্রশ্ন: 1, 3, 5, 7,.....অনুক্রমটির 15 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
1, 3, 5, 7, ...
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ ১৫তম পদ = 1 + (15 - 1) × 2
= 1 + 14 × 2
= 1 + 28
= 29

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৩ ∶ ২

∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৩/(৩+২) X ৪০ = ২৪ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ২/(৩+২) X ৪০ = ১৬ লিটার।

নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ২ ∶ ৩
= (২ X ১২) ∶ (৩ X ১২)
= ২৪ ∶ ৩৬

∴ অকটেন মিশাতে হবে = ৩৬ - ১৬ = ২০ লিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪৮ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৪
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (১২)^২
= ১২ × ১২
= ১৪৪ বর্গ মিটার
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ মিটার।

x/y = 1/2; ∴ y = 2x………….(1)
আবার, x + 2y = 10
বা, x + 2.2x = 10
বা, 5x = 10
∴ x = 2 (1)নং থেকে পাই y = 2.2 = 4

প্রশ্ন: |5x - 7| ≤ 8 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|5x - 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ 5x - 7 ≤ 8
⇒ - 8 + 7 ≤ 5x - 7 + 7 ≤ 8 + 7
⇒ - 1 ≤ 5x ≤ 15
⇒ - 1/5 ≤ 5x / 5 ≤ 15/5
⇒ - 1/5 ≤ x ≤ 3

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করলে পাই, [-1/5, 3]।
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা -1/5 থেকে 3 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

সঠিক উত্তর: খ) [- 1/5, 3]

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ২ক = ১৮০°
⇒ ৯ক = ১৮০°
∴ ক = ২০°

∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক = ২ × ২০° = ৪০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯টি

ব্যাসার্ধ r = 3,
∴ উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল 2πrh = 100
বা, πrh = 50
∴ আয়তন πr²h = (πrh)r
= 50 × 3
= 150 ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ = log₃ (3√3)
= log₃ (3.3^1/2)
= log₃3^{1 + (1/2)}
= log₃3^3/2
= (3/2) log₃3
= 3/2 × 1  [∴ log_aa = 1] 
= 3/2

ধরি, মোট ভোটার সংখ্যা ক জন
নির্বাচিত ব্যক্তি ভোট পাই ক × ৮৪% টি
পরাজিত ব্যক্তি ভোট পাই ক × ১৬% টি
প্রশ্নমতে,
বা, ক × ৮৪% - ক × ১৬% = ৪৭৬
বা, ৬৮ক = ৪৭৬ × ১০০
বা, ক = (৪৭৬ × ১০০)/৬৮
বা, ক = ৭০০
∴মোট ভোটার সংখ্যা ৭০০ জন।

৮৪০ এর ৭.৫%
= ৮৪০ × ৭.৫/১০০
= ৮.৪ × ৭.৫
= ৬৩

দেওয়া আছে,
4^{x + 1} = 32
⇒ 2^{2(x + 1)} = 2⁵
⇒ (2x + 2) = 5
⇒ 2x = 5 - 2
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

প্রশ্ন: 35 - 2x - x²এর একটি উৎপাদক (7 + x) হলে অপর উৎপাদক কত?

সমাধান:
35 - 2x - x²
= 35 - 7x + 5x - x²
= 7(5 - x) + x(5 - x)
= (5 - x)(7 + x)

প্রশ্ন:

সমাধান: