গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ৮০০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৮০০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২^৫ × ৫^২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে। এখানে ২ এর ঘাত ৫ (বিজোড়)।

তাই ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৮০০ × ২ = ১৬০০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে  ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৪ : ৭ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
এখানে ক্রয়মূল্য ৪ টাকা হলে বিরকয়মূল্য ৭টাকা।
∴ লাভ = (৭ - ৪) টাকা 
= ৩ টাকা 

∴ শতকরা লাভ হবে = (লাভ × ১০০)/ক্রয়মূল্য
= (৩ × ১০০)/৪
= ৩ × ২৫
= ৭৫ টাকা

∴ শতকরা ৭৫ টাকা লাভ হবে।

প্রশ্ন: যদি ২০ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক করতে পারে ৩০ দিনে তবে ঐ একই কাজ ৪০ দিনে করতে অতিরিক্ত কত জন লোক লাগবে?

সমাধান:
২০ জন লোক অর্ধেক কাজ করে = ৩০ দিনে
∴ ২০ জন লোক সম্পূর্ণ কাজটি করতে = (৩০ × ২) দিন 
= ৬০ দিন 

এখন, 
৬০ দিনে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারে = ২০ জন লোক 
∴ ১ দিনে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারে = (২০ × ৬০) জন লোক 
∴ ৪০ দিনে সম্পূর্ণ কাজটি করতে পারে =  (২০ × ৬০)/৪০ জন লোক 
= ৩০ জন লোক 

∴ অতিরিক্ত লোক লাগবে = (৩০ - ২০) জন 
= ১০ জন। 

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= x² × 4/x²
= 4

বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য = a√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
একটি বর্গক্ষেত্রের একবাহু অপরটির একবাহুর চারগুন।
অপর বর্গক্ষেত্রের একবাহু = 4a
অপর বর্গক্ষেত্রের কর্নের দৈর্ঘ্য= 4a√2
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত = 4:1

০.৩×০.৩ = ০.০৯
∴ √০.০৯
= √(০.৩×০.৩)
= √(০.৩)^২
= ০.৩

• ইলেকট্রিক বেল বা বৈদ্যুতিক ঘণ্টায় বিদ্যুৎ শক্তি শব্দ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়। 

• ইলেকট্রিক বেল (Electric Bell): 
- বৈদ্যুতিক ঘণ্টা হচ্ছে এমন একটি যন্ত্র, যা বিদ্যুৎ শক্তিকে শব্দ শক্তিতে রূপান্তরিত করে।

• কার্যপ্রণালী:
- বৈদ্যুতিক সংকেত প্রবাহিত হলে ইলেক্ট্রোম্যাগনেট সক্রিয় হয়। 
- ইলেক্ট্রোম্যাগনেট একটি হাতুড়িকে আকর্ষণ করে। 
- হাতুড়ি ঘণ্টার উপর আঘাত করে শব্দ সৃষ্টি করে। 
- স্প্রিংয়ের সাহায্যে হাতুড়ি ফিরে আসে এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্ত হয়। 

• শক্তি রূপান্তরের ক্রম:
বিদ্যুৎ শক্তি → চৌম্বক শক্তি → যান্ত্রিক শক্তি → শব্দ শক্তি

তথ্যসূত্র:
- University of Cambridge. (2020). GCSE Physics: Electromagnetic Devices.

প্রশ্ন: (x²)³ কে x³ দ্বারা গুণ করলে কত হবে?

সমাধান:
(x²)³ × x³
= x⁶ × x³
= x^{6 + 3}
= x⁹

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। এদের উচ্চতার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h₁ = (1/3)πr²h
বা, h₁ = h/3
বা, h₁/h = 1/3
বা, h₁ : h = 1 : 3

প্রশ্ন: মাতা ও দুই কন্যার বর্তমান গড় বয়স ২০ বছর। ২ বছর পর দুই কন্যার গড় বয়স ১২ বছর হলে মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও দুই কন্যার বর্তমান গড় বয়স = ২০ বছর
∴ তাদের মোট বয়স = (২০ × ৩) = ৬০ বছর

২ বছর পর,
দুই কন্যার বয়সের গড় = ১২ বছর
দুই কন্যার মোট বয়স = ১২ × ২ = ২৪ বছর

অর্থাৎ দুই কন্যার বর্তমান বয়স = ২৪ - (২ + ২) = ২৪ - ৪ = ২০ বছর

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ২০ = ৪০ বছর

সুতরাং, মাতার বর্তমান বয়স ৪০ বছর।

প্রশ্ন: log_x1/9 = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x1/9 = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/9
⇒ x^{- 2} = (1/3)²
⇒ x^{- 2} = 3^{- 2}
⇒ x = 3

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ ‍x - 1/x = 0

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2 × 0
= 0

প্রশ্ন: x + y = 5; xy = 4 হলে,  x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ (x - y)² + 4xy = 25
⇒ (x - y)² + 4.4=25
⇒ (x - y)² = 25 - 16
⇒ (x - y)²= 9
⇒ (x - y) = √9
∴ (x - y) = 3

এখন,
x + y = 5 ................ (1)
x - y = 3 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (4)⁵ + (1)⁵
= 1024 +1
 = 1025

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

সমাধান:
রেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
- রেখা একমাত্রিক এবং উভয়দিকে সীমাহীন।
- রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।
প্রকারভেদ: রেখা দুই প্রকার। যথা: সরলরেখা এবং বক্ররেখা।

প্রশ্নমতে,
2P = (I + P)
বা, 2P = (Pnr + P)
বা, 2P = P(nr + 1)
বা, 2 = (10 × r + 1)
বা, 2 - 1 = 10 × r
বা, r = 1/10 = 10%

দেয়া আছে, x = 3y এবং
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

ধরি,
রিনির বয়স a
∴ ৪৮ঃa = a:১২
বা, ৪৮/a = a /১২
বা, a² = ৫৭৬
∴ a = ২৪

প্রশ্ন: 3x + 3/x​ = 6 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
3x + 3/x​ = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)³ = 2³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
⇒ x³ + 1/x³​ + 3 × (x + 1/x) = 8
⇒ x³ + 1/x³ + 3 × 2 = 8 [প্রাপ্ত (x + 1/x) = 2]
⇒ x³ + 1/x³ + 6 = 8
⇒ x³ + 1/x³ = 8 - 6
∴ x³ + 1/x³ = 2

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ X ৪) টাকা =১৮ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ +১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল (১০০/১১৮) X ৮২৬ টাকা
= ৭০০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_aa = 1?

সমাধান:
log_⁡aa = 1 এই লগারিদমিক অভিব্যক্তিটির মান 1 হয় তখনই যখন ভিত্তি (base) এবং লঘুগুণনীয় (argument) একই হয় এবং উভয়েই ধনাত্মক, এবং ভিত্তি a ≠ 1 হয়।

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী:
log⁡_aa = x
⇒ a^x = a

এখানে a^x = a হবে তখনই যখন x = 1। অর্থাৎ:
log⁡_aa = 1 যদি a > 0 এবং a ≠ 1

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪

89×89 + 87×87 - 2×89×87
= (89)² + (87)² - 2×89×87
= (89 - 87)²
= 2² = 4

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √32
= √(16 × 2)
= 4√2 মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
= √2 × 4√2 মিটার 
= 8 মিটার 

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3
ধরি, n তম পদ = 3645

ধরি,
n তম পদ = 3645
⇒ ar^{n - 1} = 3645
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 3645 হবে।

²ⁿc_r = ²ⁿc_2n-r
∴ ²ⁿc_r = ²ⁿc_r+4
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+4
বা, 2n - r = r + 4
বা, 2n = 2r + 4
∴ n = r + 2

এখানে ১ কুড়ি = ২০টি এবং দেড় ডজন = ১৮ টি।
অর্থাৎ, ১৮ টির দামে লাভ হয় ২ টি ।
শতকরা লাভ হবে = (২/১৮)×১০০ = ১১.১১%

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ = ৬০°

প্রশ্ন: যদি x² - x - 12 এবং x² - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

এবং
২য় রাশি,
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

∴ গ.সা.গু = x - 4

প্রশ্নমতে, 
x - a = x - 4
∴ a = 4

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২। ৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৫ : ২

ধরি,
মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৫ক ও ২ক
৩ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৭ : ৩

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৩) : (২ক + ৩) = ৭ : ৩
⇒ (৫ক + ৩)/(২ক + ৩) = ৭/৩
⇒ ৩(৫ক + ৩) = ৭(২ক + ৩)
⇒ ১৫ক + ৯ = ১৪ক + ২১
⇒ ১৫ক - ১৪ক = ২১ - ৯
∴ ক = ১২

∴ মাতার বর্তমান বয়স = ৫ × ১২ = ৬০ বছর

প্রশ্ন: ঢাকা ও চট্টগ্রামের দূরত্ব ৩০০ কি.মি. এবং ঢাকা হতে সকাল ৭ টান ছেড়ে দিয়ে বিকাল ৩ টায় চট্টগ্রাম পৌছে। বাসটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৩০০ কিলোমিটার
ঢাকা থেকে ছাড়ে সকাল ৭:০০ টায়
এবং চট্টগ্রাম পৌঁছায় বিকাল ৩:০০ টায় 

∴ মোট সময় = ৮ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়   
= ৩০০/৮
= ৭৫/২ ; [৪ দ্বারা ভাগ করে পাই]
= ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: যদি x² - √7x + 1 = 0 হয়, তবে  {5x + (5/x)} =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √7x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √7x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ 5{x + (1/x)} = 5√7
∴ 5x + (5/x)} = 5√7