গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৩৩ / ৪৭৫ · ৩,২০১–৩,৩০০ / ৪৭,৮৩৩

৩,২০১.

15x - x² - 56 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
7 < x < 8
খ
x < 8 অথবা x > 7
গ
x > 8 অথবা x < 7
ঘ
x > 8 এবং x < 7

ব্যাখ্যা

15x - x² - 56 > 0
⇒ - x² + 15x - 56 > 0
⇒ - (x² - 15x + 56) > 0
⇒ x² - 15x + 56 < 0
⇒ x² - 8x - 7x + 56 < 0
⇒ x(x - 8) - 7(x - 8) < 0
⇒ (x - 8)(x - 7) < 0
(x - 8)(x - 7) < 0 সত্য হবে যদি x - 8 < 0 ⇒ x < 8 এবং x - 7 > 0 ⇒ x > 7 অর্থাৎ 7 < x < 8 হয়।

৩,২০২.

যদি ক এবং খ জোড় সংখ্যা ও গ বিজোড় সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারবে না ?

ক
কখ
খ
কগ
গ
গ/ক
ঘ
গখ/ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ক এবং খ জোড় সংখ্যা ও গ বিজোড় সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারবে না ?

সমাধান:
ধরি,
ক = ২, খ = ৪ এবং গ = ৩

এখন,
ক) তে আছে, ক × খ = ২ × ৪ = ৮ হবে ।
খ) তে আছে, ক × গ = ২ × ৩ = ৬ হবে ।
ঘ) তে আছে, গখ/ক = (৩ × ৪)/২ = ৬ হবে ।

কিন্তু,
গ) তে আছে, গ/ক = ৩/২ হবে না।(কারণ বিজোড় সংখ্যা জোড় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যা হয় না)
তাই জোড় হতে পারবে না।

সঠিক উত্তর - গ) গ/ক

৩,২০৩.

12a² + 7a - 10 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(3a + 4)(3a - 2)
খ
(4a + 5)(3a - 2)
গ
(3a + 4)(2a - 2)
ঘ
(4a - 5)(a + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12a² + 7a - 10 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
12a² + 7a - 10
= 12a² + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)

৩,২০৪.

x+y = 12 এবং x-y = 2 হলে xy = ?

ক
ক) 35
খ
খ) 140
গ
গ) 70
ঘ
ঘ) 144

ব্যাখ্যা

x+y+x-y = 12+2
বা, 2x = 14
বা, X = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

৩,২০৫.

একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

ক
৩ গুণ
খ
৫ গুণ
গ
৭ গুণ
ঘ
৯ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক

∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ

৩,২০৬.

একটি বাক্সে ৬টি সাদা বল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। তিনটি বল একসাথে বের করার সময়, তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১০
খ
১/২০
গ
১/৩০
ঘ
১/১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৬টি সাদা বল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। তিনটি বল একসাথে বের করার সময়, তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = ১০টি
প্রথম বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা,
P(প্রথম বল কালো ) = ৪/১০

দ্বিতীয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু প্রথমটি কালো বের হয়েছে)
P(দ্বিতীয় কালো বল) = ৩/৯

তৃতীয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু দ্বিতীয় কালো বের হয়েছে)
P(তৃতীয় কালো বল) = ২/৮

সুতরাং, তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা,
P(তিনটি কালো বল) = (৪/১০) × (৩/৯) × (২/৮)
= ২৪/৭২০
= ১/৩০

∴তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ১/৩০

৩,২০৭.

যদি x = √9 + √8 হয়, তাহলে (x³ + 1/x³) এর মান কত?

ক
176
খ
184
গ
190
ঘ
198

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √9 + √8 হয়, তাহলে (x³ + 1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √9 + √8
⇒ 1/x = 1/(√9 + √8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/(√9 - √8)(√9 + √8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/{(√9)² - (√8)²}
⇒ 1/x = (√9 - √8)/(9 - 8)
⇒ 1/x = (√9 - √8)/1
∴ 1/x = (√9 - √8)

এখন,
x + (1/x) = √9 + √8 + √9 - √8
= 2√9
= 2 × 3
= 6

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = {x + (1/x)}³ - 3 . x . (1/x){x + (1/x)}
= 6³ - (3 × 6)
= 216 - 18
= 198

৩,২০৮.

একটি থলেতে সবুজ বল ১৬টি, লাল বল ১২টি এবং কালো বল ২০টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৪
খ
খ) ১/৩
গ
গ) ২/৩
ঘ
ঘ) ৩/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে সবুজ বল ১৬টি, লাল বল ১২টি এবং কালো বল ২০টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলো। বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সবুজ বল = ১৬টি
লাল বল = ১২টি
কালো বল = ২০টি
মোট বল =(১৬ + ১২ + ২০)টি = ৪৮টি

সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১৬/৪৮ = ১/৩

সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৩ = (৩ - ১)/৩ = ২/৩

৩,২০৯.

একটি বৃত্তের ব্যাস 1/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
π/4 বর্গ একক
খ
16 বর্গ একক
গ
π/16 বর্গ একক
ঘ
π/8 বর্গ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 1/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তটির ব্যাস d =1/2 একক
ব্যাসার্ধ, r = d/2=1/4 একক

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π(1/4)²
= π × (1/1 6)
= π/16

অতএব, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল হবে π/16 বর্গ একক ।

৩,২১০.

প্রতি বর্গমিটার ৯.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬৬৫ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
১৮ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
১৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বর্গমিটার ৯.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৬৬৫ টাকা। রুমটির প্রস্থ ৫ মিটার হলে দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (৬৬৫/৯.৫) বর্গমিটার
= ৭০ বর্গমিটার

আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, দৈর্ঘ্য × ৫ = ৭০
বা, দৈর্ঘ্য = ৭০/৫
∴ দৈর্ঘ্য = ১৪ মিটার

৩,২১১.

1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

ক
324
খ
360
গ
364
ঘ
396

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 3/1 = 3
পদসংখ্যা, n = 6 টি

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

৩,২১২.

এক প্যাকেট তাস থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নেয়া হলে, তাসটি লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/52
খ
খ) 1/26
গ
গ) 1/13
ঘ
ঘ) 2/13

ব্যাখ্যা

মোট তাস = 52টি
লাল টেক্কা = 2টি
∴ সম্ভাবনা = 2/52
= 1/26

৩,২১৩.

নিচের কোনটি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হতে পারে?

ক
- ১.৫
খ
৩/২
গ
২
ঘ
৪/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হতে পারে?

সমাধান:
কোন ঘটনা অবশ্যই ঘটলে তার মান হবে = ১
অবশ্যই না ঘটলে তার মান হবে = ০
অন্যথায় যেকোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে ০ থেকে ১ এর মধ্য যেকোনো সংখ্যা।

উল্লিখিত অপশন সমূহের মধ্য ০ ও ১ এর মধ্যবর্তী মান আছে একটি ।
তাই শুধুমাত্র ৪/৫ একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হতে পারে।

৩,২১৪.

1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

ক
secA
খ
tanA
গ
sinA
ঘ
cosecA

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

সমাধান:
tanA√(1 - sin²A)
= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA

অতএব,
1/{tanA√(1 - sin²A)}
= 1/sinA
= cosecA

৩,২১৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৩ সে.মি. হলে এর অর্ধ পরিসীমা কত সে.মি.?

ক
৮ সে.মি.
খ
১০ সে.মি.
গ
৭ সে.মি.
ঘ
১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৩ সে.মি. হলে এর অর্ধ পরিসীমা কত সে.মি.?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সি.মি. এবং ৩ সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২( ৪ + ৩) সে.মি.
= ১৪ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের অর্ধ পরিসীমা = ১৪/২ সে.মি.
= ৭ সে.মি.

৩,২১৬.

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 7√2 সে.মি.
খ
খ) 8√2 সে.মি.
গ
গ) 14√2 সে.মি.
ঘ
ঘ) 16√2 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল 165 বর্গ সে.মি. বৃদ্ধি পায়। ঐ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = x² সে.মি

প্রশ্নমতে
(x + 5)2 - x2 = 165
x2 + 2.x.5 + 52 - x2 = 165
10x + 25 = 165
10x = 165 - 25
10x = 140
x = 14

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 14√2 সে.মি.

৩,২১৭.

কিছু টাকা ৮ বছরে সরল মুনাফায় ৩ গুণ হয়েছে। বার্ষিক মুনাফার হার কত?

ক
১৮%
খ
২০%
গ
২৪%
ঘ
২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কিছু টাকা ৮ বছরে সরল মুনাফায় ৩ গুণ হয়েছে। বার্ষিক মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল ১০০ টাকা
১০০ টাকায় মুনাফা আসল ৩ গুণ = (১০০ × ৩) টাকা
= ৩০০ টাকা।

∴ মুনাফা = (৩০০ - ১০০) = ২০০ টাকা।

১০০ টাকার ৮ বছরের মুনাফা ২০০ টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ২০০/৮ টাকা
= ২৫ টাকা

∴ মুনাফার হার ২৫%

৩,২১৮.

নিহাল সাহেবের বেতন ২০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ৫% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল?

ক
২৫%
খ
২০%
গ
১৮%
ঘ
১৬%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিহাল সাহেবের বেতন ২০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ৫% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল?

সমাধান:
ধরি,
নিহালের মূল বেতন = ১০০ টাকা
১০% কমানোর পর বেতন = ১০০ - ১০০ এর ২০%
= ১০০ - ১০০ এর ২০/১০০
= ১০০ - ২০
= ৮০

৫% বৃদ্ধিতে বেতন = ৮০ + ৮০ এর ৫%
= ৮০ + ৮০ এর ৫/১০০
= ৮০ + ৪
= ৮৪

ক্ষতি = (১০০ - ৮৪)
= ১৬%

৩,২১৯.

শতকরা বার্ষিক 8 টাকা হার মুনাফায় 1200 টাকার কত বছরের সরল মুনাফা 768 টাকা হবে?

ক
ক) 8 বছর
খ
খ) 6 বছর
গ
গ) 4 বছর
ঘ
ঘ) 12 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক 8 টাকা হার মুনাফায় 1200 টাকার কত বছরের সরল মুনাফা 768 টাকা হবে?

সমাধান:
100 টাকার 1 বছরের মুনাফা 8 টাকা
1 টাকার 1 বছরের মুনাফা 8/100 টাকা
1200 টাকার 1 বছরের মুনাফা (8 × 1200)/100 টাকা
= 96 টাকা

96 টাকা মুনাফা হয় 1 বছরে
1 টাকা মুনাফা হয় 1/96 বছরে
768 টাকা মুনাফা হয় (1 × 768)/96 বছরে
= 8 বছর

৩,২২০.

ক
ক) √3/2
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩,২২১.

কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ছাত্র ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাশ করে?

ক
ক) ৩৫ জন
খ
খ) ৪৮ জন
গ
গ) ৬০ জন
ঘ
ঘ) ৬৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ছাত্র ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাশ করে?

সমাধান:
শুধু বিজ্ঞানে ফেল করে = ৫২% - ২৭% = ২৫%
আবার, শুধু অঙ্কে ফেল করে = ৪০% - ২৭% = ১৩%
শুধু বিজ্ঞান অথবা অঙ্ক বা উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (২৫% + ১৩% + ২৭%)
= ৬৫%

∴ শতকরা পাশ করে = ১০০% - ৬৫%
= ৩৫%

∴ শতকরা ৩৫ জন ছাত্র পাশ করে।

৩,২২২.

একটি ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
৪৫ জন
খ
৫০ জন
গ
৪০ জন
ঘ
৬০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন

শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন

যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন

সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

৩,২২৩.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
৩৯.৫°
খ
৩৫°
গ
৩৭.৫°
ঘ
১৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখন,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে,
পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ হবে = ৭৫°/২ = ৩৭.৫°

∴ পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৭.৫°

৩,২২৪.

পানিপূর্ণ একটি বালতির ওজন ১৫ কেজি। শূন্য বালতির ওজন ১.৫ কেজি। ধাক্কা লেগে ৫ কেজি পানি পড়ে গেলে ঐ বালতিতে আর কতটুকু পানি রয়েছে?

ক
ক) ১৪ কেজি
খ
খ) ১৩.৫০ কেজি
গ
গ) ৮.৫ কেজি
ঘ
ঘ) ১০ কেজি

ব্যাখ্যা

পানির পরিমাণ = ১৫ - (৫ + ১.৫) = ৮.৫ কেজি

৩,২২৫.

৫% হার মুনাফায় ৪,০০০ টাকায় ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

ক
২,৯০০ টাকা
খ
৩৬০০ টাকা
গ
৪,৪১০ টাকা
ঘ
৪,৪০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৪,০০০ টাকায় ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
এখানে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০০ × (১ + ১/২০)^২
= ৪০০০ × (২১/২০)^২
= ৪০০০ × ২১/২০ × ২১/২০
= ৪,৪১০ টাকা।

৩,২২৬.

A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

ক
11
খ
2
গ
- 4
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k)

আমরা জানি,
(X₁, Y₁) ও (X₂, Y₂) বিন্দুগামী রেখার ঢাল = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
তিনটি বিন্দু A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) সমরেখ হলে, তাদের মধ্যে যেকোনো দুইটি বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত সরলরেখার ঢাল এবং তৃতীয় বিন্দুর সাথে অন্য একটি বিন্দুর মধ্যকার ঢাল সমান হবে।
এখন,
AB এর ঢাল,
m_AB = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (5 - 2)/(4 - 1)
= 3/3
= 1

আবার,
BC এর ঢাল
m_BC = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (k - 5)/(7 - 4)
= (k - 5)/3

∴ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে ঢাল দুটি সমান হবে।
∴ (k - 5)/3 = 1
⇒ k - 5 = 3
⇒ k = 5 + 3
⇒ k = 8

সুতরাং, k এর মান 8

৩,২২৭.

x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

ক
ক) 70
খ
খ) 35
গ
গ) 140
ঘ
ঘ) 144

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
বা, 4xy = (12)² - (2)²
বা, 4xy = 144 - 4
বা, 4xy = 140
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35

৩,২২৮.

3x + 2y = 18 এবং 3x - y = 9 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
(3, 2)
খ
(6, 2)
গ
(8, 2)
ঘ
(4, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y = 18 এবং 3x - y = 9 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2y = 18 .............(1)
3x - y = 9 .................(2)

(1) + 2 × (2) ⇒
3x + 2y + 6x - 2y = 18 + 18
⇒ 9x = 36
∴ x = 4

(1)নং হতে পাই
3x + 2y = 18
⇒ 3 × 4 + 2y = 18
⇒ 2y = 18 - 12
⇒ 2y = 6
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y)= (4, 3)

৩,২২৯.

4 + 8 + 16 +32 ........ ধারাটির 8 তম পদ কত?

ক
512
খ
524
গ
610
ঘ
643

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 +16 +32 ........ ধারাটির 8 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2

∴ 8 তম পদ = ar^8-1 = ar⁷
= 4 × (2)⁷
= 4 × 128
= 512

৩,২৩০.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ১৪০ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ দৈর্ঘ্যর ২/৫ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
ক) ৪৫
খ
খ) ৫০
গ
গ) ৬৫
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি, দৈর্ঘ্য = 5x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
2(5x + 2x) = 140
⇒ 7x = 70
∴ x = 10
দৈর্ঘ্য = 5 X 10 = 50 মি.

৩,২৩১.

(5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

ক
8
খ
10
গ
12
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 এবং (x/3) + 10 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 3 = (x/3) + 10
বা, (5x/6) - (x/3) = 10 - 3
বা, (5x - 2x)/6 = 7
বা, 3x/6 = 7
বা, x/2 = 7
বা, x = 7 × 2
∴ x = 14

৩,২৩২.

৪৯ সংখ্যার ভাজক কয়টি?

ক
১টি
খ
২টি
গ
৩টি
ঘ
৪টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৯ সংখ্যার ভাজক কয়টি?

সমাধান:
৪৭
= ১ × ৪৯
= ৭ × ৭

৪৯ সংখ্যার ভাজক ১, ৭, ৪৯

∴ ৪৯ সংখ্যার ভাজক ৩টি

৩,২৩৩.

বাস্তব সংখ্যার সেট R গঠিত হয় -

ক
{ 1, 2, 3, 2/3, 5.....}
খ
খ) {-∞,∞}
গ
গ) {Q ∪ Q′}
ঘ
ঘ) {± 1, ± 2, ± 3..... }

ব্যাখ্যা

বাস্তব সংখ্যার(Real Number) সেট গঠিত হয় মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা নিয়ে।
সাধারণত মূলদ সংখ্যাকে (Rational Number) Q এবং অমূলদ সংখ্যাকে (Irrational Number) I বা Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
সুতরাং বাস্তব সংখ্যার সেট হবে R = {Q ∪ Q′}.

৩,২৩৪.

a - [a - {a - (a + 1)}] = ?

ক
ক) -1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) a + 1

ব্যাখ্যা

a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {-1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= -1

৩,২৩৫.

log₁₀(0·001) এর মান কত?

ক
4
খ
2
গ
- 2
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(0·001) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ (0·001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀(10^-3)
= - 3 log₁₀10
= - 3

৩,২৩৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 সে. মি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
ক) 34 সে.মি.
খ
খ) 36 সে.মি.
গ
গ) 32 সে.মি.
ঘ
ঘ) 38 সে.মি.

ব্যাখ্যা

ধরি,
ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি. অপর বাহুর দৈর্ঘ্য x + 3 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী
x² +(x+ 3)² = 15²
x² + x² + 6x + 9 = 225
2x² + 6x +9 -225 =0
2x² + 6x -216 =0
2(x² +3x - 108) = 0
x² + 3x - 108 =0
x² + 12x- 9x -108 =0
x(x +12) - 9(x +12)= 0
(x +12) (x - 9) = 0

হয়
x +12= 0
x = -12 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

অথবা
x - 9= 0
x = 9

ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সে.মি.
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (9 + 3) সে.মি. = 12 সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমা= (9 +12 +15) সে.মি. = 36 সে.মি

৩,২৩৭.

P সংখ্যক সংখ্যার গড় M এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় N হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

ক
(PM + QN)/(P + Q)
খ
(PM + QN)/(M + N)
গ
(M + N)/2
ঘ
(PM + QN)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় M এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় N হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = M
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PM

আবার,
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = N
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QN

মোট সংখ্যা = P + Q
তাদের সমষ্টি = PM + QN
∴ তাদের গড় = (PM + QN)/(P + Q)

৩,২৩৮.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ ফুট এবং লম্ব ৮ ফুট হলে, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য কত?

ক
২ ফুট
খ
৩ ফুট
গ
৪ ফুট
ঘ
৫ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৫ ফুট এবং লম্ব ৮ ফুট হলে, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ১৫ ফুট
এবং লম্ব = ৮ ফুট

∴ অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)
= √{(১৫)^২ + (৮)^২}
= √(২২৫ + ৬৪)
= √(২৮৯)
= ১৭ ফুট

সুতরাং, অতিভুজ ও ভূমির পার্থক্য = (১৭ - ১৫) = ২ ফুট

৩,২৩৯.

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল কত?

ক
ক) 120°
খ
খ) 60°
গ
গ) 240°
ঘ
ঘ) 0°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণের মান 60°। সুতরাং একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ উভয় পাশে 180° - 60° = 120°। সুতরাং বহিঃস্থ কোণ দুটির বিয়োগফল = 120°-120° = 0°

৩,২৪০.

একটি বক্সে ১০টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশি টানলে ২টি একই রংয়ের মার্বেল হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
১/৪
খ
১/৩
গ
১/২
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে ১০টি নীল ও ১৫ টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশি টানলে ২টি একই রংয়ের মার্বেল হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
নীল মার্বেল = ১০টি
লাল মার্বেল = ১৫টি
মোট মার্বেল = ১০ + ১৫ = ২৫ টি

২ টি নীল মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২৫) × (৯/২৪) = ৩/২০
২টি লাল মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১৫/২৫) × (১৪/২৪) = ৭/২০

∴মোট সম্ভাবনা = (৩/২০) + (৭/২০)
= ১০/২০
=১/২

৩,২৪১.

ক
0
খ
1
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
(√5)^{x + 1} = (5^1/3)^{2x - 1}
(5^1/2)^{x + 1}= (5^1/3)^{2x - 1}
5^{(x + 1)/2} = 5^{(2x - 1)/3}
(x + 1)/2 = (2x - 1)/3
2(2x - 1) = 3(x + 1)
4x - 2 = 3x + 3
4x - 3x = 3 + 2
x = 5

৩,২৪২.

কোন ত্রিভূজের দু'টি কোণ যথাক্রমে 65° এবং 85° হলে, রেডিয়ানে তৃতীয় কোণটি-

ক
π/6
খ
π/4
গ
π/3
ঘ
π/2

ব্যাখ্যা

তৃতীয় কোণ = 180° - (65° + 85°)
= 180° - 150°
= 30°
= π/6

৩,২৪৩.

x - (1/x) = 2 হলে, x⁴ + (1/x⁴) = কত?

ক
30
খ
34
গ
36
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - (1/x) = 2 হলে, x⁴ + (1/x⁴) = কত?

সমাধান:
x⁴ + (1/x⁴)
= {(x² + (1/x²)}² - 2. x². 1/x²
= {x² + (1/x²)}² - 2
= [{x - (1/x)}² + 2. x. 1/x]² - 2
= {(2)²+ 2}² - 2
= (4 + 2)² - 2
= (6)² - 2
= 36 - 2
= 34

৩,২৪৪.

একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২৬০ টাকা। একজন যদি ২০% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

ক
১৪৮৫ টাকা
খ
১৫৩৬ টাকা
গ
১৫৬০ টাকা
ঘ
১৬৭৭ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য এবং ক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২৬০ টাকা। একজন যদি ২০% হারে লাভ করতে চান তবে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) = ২০ টাকা

এখন,
২০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/২০ টাকা
২৬০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ২৬০)/২০ টাকা
= ১৫৬০ টাকা

৩,২৪৫.

log x^(1/27) = -3 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

log x^(1/27) = -3
বা, x^-3 = 1/27
বা, x³ = 27
বা, x = 3

৩,২৪৬.

ABCD রম্বসের ∠A + ∠B = ?

ক
ক) 90°
খ
খ) 180°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 150°

ব্যাখ্যা

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি
∴ AD||BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE ফলে ∠A + ∠B
= ∠CBE + ∠CBA
= 180°

৩,২৪৭.

7 + 10 + 13 + . . . . ধারাটির কোন পদ 154 হবে?

ক
48 তম পদ
খ
50 তম পদ
গ
52 তম পদ
ঘ
54 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + . . . . ধারাটির কোন পদ 154 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি,
r তম পদ = 154
তাহলে, a + (r - 1)d = 154
⇒ 7 + (r - 1)3 = 154
⇒ 7 + 3r - 3 = 154
⇒ 3r + 4 = 154
⇒ 3r = 154 - 4
⇒ 3r = 150
∴ r = 50

অতএব, ধারাটির 50 তম পদ 154 হবে।

৩,২৪৮.

x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
a(x - a)
খ
ax²(x + a)
গ
ax²(x - a)
ঘ
x²(x - a)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³a - a²x²
= x²a(x - a)
= ax²(x - a)

৩,২৪৯.

5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

ক
170
খ
180
গ
190
ঘ
200

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 5 × 3²
= 5 × 9
= 45

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 5 × 3³
= 5 × 27
= 135

∴ m + n = 45 + 135 = 180

৩,২৫০.

কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গসে.মি., অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে পরিসীমা কত?

ক
১৭ সে.মি.
খ
২২ সে.মি.
গ
২৮ সে.মি.
ঘ
৩০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গসে.মি., অতিভুজ ১৩ সেমি হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, অপর দুটি বাহু a, b মিটার

(1/2)ab = 30
⇒ ab = 60

a² + b² = 13²
⇒ (a + b)² - 2ab = 169
⇒ (a + b)² = 169 + (2 × 60)
⇒ (a + b)² = 289
∴ a + b = 17

পরিসীমা = 17 + 13 সেমি = 30 সে.মি.

৩,২৫১.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ কে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে ?

ক
ক) ১/১৩০
খ
খ) ১/১২০
গ
গ) ১/১৪০
ঘ
ঘ) ১/১৬০

ব্যাখ্যা

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫/৩২, ৭/৮০ এবং ৮৭/১৬ এর গ.সা.গু
৫,৭,৮৭ এর গ.সা.গু = ১
৩২,৮০,১৬ এর ল.সা.গু = ১৬০

ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = ভগ্নাংশের লবগুলোর গ.সা.গু/ভগ্নাংশের হরগুলোর ল.সা.গু
= ১/১৬০

৩,২৫২.

একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

ক
দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
খ
২টি কর্ণের খন্ডিত অংশসমূহ ও ১টি বাহু
গ
২টি বাহু ও ১টি কোণ
ঘ
৪টি বাহু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

৩,২৫৩.

(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

ক
8
খ
16
গ
12
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

সমাধান:
(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴
= (19)¹² × (19)⁸ / (19)⁴
= (19^{12 + 8}) / (19)⁴
= 19²⁰/19⁴
= 19^{20 - 4}
= 19¹⁶

∴ (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)¹⁶

৩,২৫৪.

একজন কৃষক তাঁর জমির ১/২ অংশে আলু, ১/৪ অংশে বেগুন, ১/৫ অংশে বাঁধাকপি এবং বাকি অংশে মুগ ডাল চাষ করেন। তিনি তাঁর জমির কত অংশে মুগ ডাল চাষ করেন?

ক
৪/১৫ অংশে
খ
১/২০ অংশে
গ
৩/১১ অংশে
ঘ
৫/১৮ অংশে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন কৃষক তাঁর জমির ১/২ অংশে আলু, ১/৪ অংশে বেগুন, ১/৫ অংশে বাঁধাকপি এবং বাকি অংশে মুগ ডাল চাষ করেন। তিনি তাঁর জমির কত অংশে মুগ ডাল চাষ করেন?

সমাধান:
আলু, বেগুন এবং বাঁধাকপি চাষ করেন = (১/২) + (১/৪) + (১/৫) অংশে
= (১০ + ৫ + ৪)/২০ অংশে
= ১৯/২০ অংশে

∴ মুগ ডাল চাষ করেন = ১ - (১৯/২০) অংশে
= (২০ - ১৯)/২০ অংশে
= ১/২০ অংশে

৩,২৫৫.

১ হতে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কতটি?

ক
৮
খ
১০
গ
১২
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হতে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ১০টি

৩,২৫৬.

একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ মিটার
খ
১২ মিটার
গ
১৫ মিটার
ঘ
১৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার

তাহলে, মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/২ + ১/৩) × x অংশ
= (৫x/৬) অংশ
আবার,
পানির উপরে আছে = (x - ৫x/৬)
= (x/৬) অংশ

প্রশ্নমতে,
x/৬ = ২
∴ x = ১২

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

৩,২৫৭.

৭০ - ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক
ক) ২টি
খ
খ) ১টি
গ
গ) ৪টি
ঘ
ঘ) ৩টি

ব্যাখ্যা

১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২, ৩, ৫, ৭ = ৪টি।
১০ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৪টি।
২০ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯ = ২টি।
৩০ - ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭ = ২টি।
৪০ - ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪১, ৪৩, ৪৭ = ৩টি।
৫০ - ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯ = ২টি।
৬০ - ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৬১, ৬৭ = ২টি।
৭০ - ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৭১, ৭৩, ৭৯ = ৩টি।
৮০ - ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮৩, ৮৯ = ২টি।
৯০ - ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ = ১টি।

∴ ১ - ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ২৫টি মৌলিক সংখ্যা।

৩,২৫৮.

প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

ক
15
খ
115
গ
225
ঘ
325

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

∴ প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি
= {5(5 + 1)/2}²
= {(5 × 6)/2}²
= (30/2)²
= 15²
= 225

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 225

৩,২৫৯.

16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

ক
4x² + 9
খ
2x² - 6x + 3
গ
4x² - 6x + 3
ঘ
4x² + 6x + 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

৩,২৬০.

F(x) = (x - 1)²⁵³ হলে, F(2) = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 225359
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: F(x) = (x - 1)²⁵³ হলে, F(2) = কত?

সমাধান:
F(x) = (x - 1)²⁵³

∴ F(2) = (2 - 1)²⁵³
= 1²⁵³
= 1

৩,২৬১.

যদি কঃখ = ৪ঃ৭ এবং খঃগ = ৫ঃ৬ হয় তাহলে কঃখঃগ = কত?

ক
২০ঃ৩৫ঃ৩০
খ
২০ঃ৪২ঃ৩৫
গ
২০ঃ৩৫ঃ৪২
ঘ
২৪ঃ৩৫ঃ৪২

ব্যাখ্যা

এখানে, কঃখ = ৪ঃ৭ = ২০ঃ৩৫ [৫ দ্বারা গুণ করে]
এবং খঃগ = ৫ঃ৬ = ৩৫ঃ৪২ [৭ দ্বারা গুণ করে]
সুতরাং কঃখঃগ = ২০ঃ৩৫ঃ৪২

৩,২৬২.

কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে ৮ম পদ কত?

ক
৩১
খ
৩৫
গ
৩৯
ঘ
৪৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে ৮ম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ১১
৩য় পদ = ১৯
∴ ২য় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫

∴ সাধারণ অন্তর, d = (১৫ - ১১) = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a +(n - ১)d
∴ ৮ম পদ,
= ১১ + (৮ - ১)৪
= ১১ + (৭ × ৪)
= ১১ + ২৮
= ৩৯

৩,২৬৩.

5p - 3q = 36 এবং 5p + 3q = 24 হলে ।p। + ।q। এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5p - 3q = 36 এবং 5p + 3q = 24 হলে ।p। + ।q। এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
5p - 3q = 36 ...........(1)
5p + 3q = 24...........(2)

(1) + (2)⇒
5p - 3q + 5p + 3q = 36 + 24
বা, 10p = 60
p = 6
(2) নং সমীকরণে p এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 6 + 3q = 24
বা, 30 + 3q = 24
বা, 3q = 24 - 30
বা, 3q = - 6
q = - 2
এখন
।p। + ।q। = ।6। + ।- 2। = 6 + 2 = 8

৩,২৬৪.

9x - x² - 20 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
2 < x < 4
খ
1 < x < 4
গ
2 < x < 5
ঘ
4 < x < 5

ব্যাখ্যা

9x - x² - 20 > 0
বা, - x²+ 9x - 20 > 0
বা, - (x² - 9x + 20) > 0
বা, x² - 9x + 20 < 0
বা, x² - 4x - 5x + 20 < 0
∴ (x - 4)(x - 5) < 0

x²- 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ, x < 4 এবং x > 5
4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন, x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 4 এবং x < 5
x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 4 < x < 5

৩,২৬৫.

দুইটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যা থেকে যথাক্রমে ২০% ও ৫০% বড়। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

ক
২ : ৫
খ
৩ : ৫
গ
৪ : ৫
ঘ
৫ : ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যা থেকে যথাক্রমে ২০% ও ৫০% বড়। সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি ক

∴ ১ম সংখ্যা = ক এর ১২০% = ৬ক/৫

২য় সংখ্যা = ক এর ১৫০% = ৩ক/২

১ম সংখ্যা : ২য় সংখ্যা = ৬ক/৫ : ৩ক/২
= ১২ : ১৫
= ৪ : ৫

৩,২৬৬.

IMMEDIATE শব্দের বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
ক) 9!
খ
খ) 9!/(3 × 2!)
গ
গ) 9!/6!
ঘ
ঘ) 9!/(2!2!2!)

ব্যাখ্যা

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

৩,২৬৭.

একটি আয়তাকার চৌবাচ্চার উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ। আবার চৌবাচ্চাটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক পঞ্চমাংশ। চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?

ক
৩৫০ ঘনমিটার
খ
৪০০ ঘনমিটার
গ
৪৫০ ঘনমিটার
ঘ
৫০০ ঘনমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার চৌবাচ্চার উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ। আবার চৌবাচ্চাটির প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের এক পঞ্চমাংশ। চৌবাচ্চাটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?

সমাধান:
ধরি,
চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
তাহলে, উচ্চতা = ২ক/৩ মিটার
প্রস্থ = ক/৫ মিটার

প্রশ্নমতে,
ক/৫ = ৩
∴ ক = ১৫ মিটার
অর্থাৎ, প্রস্থ ৩ মিটার, দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং উচ্চতা (২ × ১৫)/৩ = ১০ মিটার

∴ আয়তন = ১৫ × ৩ × ১০ = ৪৫০ ঘনমিটার

৩,২৬৮.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত?

ক
৪০
খ
৩২
গ
৩৬
ঘ
২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬x

প্রশ্নমতে,
৬x = ৪৮
বা, x = ৪৮/৬
∴ x = ৮

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ২x + ৩x
= ৫x
= ৫ × ৮
= ৪০

৩,২৬৯.

log_√27x = - (4/3) হলে, x এর মান কত?

ক
1/8
খ
1/9
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√27x = - (4/3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_√27x = - (4/3)
x = (√27)^{- (4/3)}
x = (3^3/2)^{- (4/3)}
x = 3^{- 2}
x = 1/3²
x = 1/9

৩,২৭০.

তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ৬ হলে সংখ্যাত্রয়ের সমষ্টির দ্বিগুণের মান কত?

ক
৪
খ
৬
গ
৭
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ৬ হলে সংখ্যাত্রয়ের সমষ্টির দ্বিগুণের মান কত?

সমাধান:
6 = 1 × 2 × 3

সংখ্যা তিনটি হল 1, 2, 3

সংখ্যাত্রয়ের সমষ্টির দ্বিগুণের মান= 2 (1 + 2 + 3)
= 12

৩,২৭১.

একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

ক
330
খ
462
গ
494
ঘ
520

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹¹C₅
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

৩,২৭২.

A sum of money at simple interest amounts to Tk 815 in 3 years and to Tk 854 in 4 years. The sum is-

ক
ক) Tk 650
খ
খ) Tk 690
গ
গ) Tk 698
ঘ
ঘ) Tk 700
ঙ
ঙ) Tk 760

ব্যাখ্যা

Question: A sum of money at simple interest amounts to Tk. 815 in 3 years and to Tk. 854 in 4 years. The sum is-

Solution:
Simple interest for 1 year = Tk. (854 - 815)
= Tk. 39

∴ Simple interest for 3 years = Tk.(39 × 3)
= Tk. 117

∴ Sum = (815 - 117)
= Tk. 698

৩,২৭৩.

ক
0
খ
12
গ
10
ঘ
6√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩,২৭৪.

a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?

ক
ক) 20
খ
খ) 18
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?

সমাধান:
a + b = 10
a - b = 6

আমরা জানি
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
বা, 4ab = 10² - 6²
বা, 4ab = 100 - 36
বা, 4ab = 64
ab = 16

৩,২৭৫.

240 মিটার, লম্বা একটি ট্রেন 120 মিটার লম্বা একটি সেতুকে 24 সেকেন্ড অক্রিম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

ক
45 কিমি/ঘ.
খ
54 কিমি/ঘ.
গ
36 কিমি/ঘ.
ঘ
42 কিমি/ঘ.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 240 মিটার, লম্বা একটি ট্রেন 120 মিটার লম্বা একটি সেতুকে 24 সেকেন্ড অক্রিম করে। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 240 মিটার
সেতুর দৈর্ঘ্য = 120 মিটার
অতিক্রমের সময় = 24 সেকেন্ড
এবং,
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = 240 + 120
= 360 মিটার

∴ 24 সেকেন্ড অতিক্রম করে = 360 মিটার
∴ 1 সেকেন্ড অতিক্রম করে = 360/24 মিটার
∴ 3600 সেকেন্ড অতিক্রম করে = (360 × 3600)/24 মিটার
= 54000 মিটার
= 54000/1000 = 54 কি.মি.

∴ ট্রেনটির গতিবেগ = 54 কি.মি./ঘণ্টা

৩,২৭৬.

কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহারণ?

ক
৩/৪
খ
১২/১০
গ
৪/৩
ঘ
২৫/১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশের উদাহারণ?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ছোট ও হর বড় হয়।
এবং
অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব বড় ও হর ছোট হয়।

এখানে,
প্রকৃত ভগ্নাংশ হলো ৩/৪

এবং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ হলো ১২/১০, ৪/৩, ২৫/১৭

৩,২৭৭.

'MILLENNIUM' শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?

ক
2520
খ
226800
গ
40320
ঘ
5040

ব্যাখ্যা

'MILLENNIUM' শব্দটিতে10 টি বর্ণ আছে।
যেখানে M= 2টি, I = 2টি এবং L = 2টি N= 2টি

প্রথমে ও শেষে M থাকবে

সাজানো সংখ্যা = 8!/2!2!2!
=40320/8
= 5040

৩,২৭৮.

আবিরের বর্তমান বয়স আরাফের তিনগুণ। তিন বৎসর পূর্বে আবিরের বয়স আরাফের বয়সের চারগুণ ছিল। আরাফের বর্তমান বয়স কত?

ক
৯ বছর
খ
১২ বছর
গ
১৮ বছর
ঘ
২৭ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আবিরের বর্তমান বয়স আরাফের তিনগুণ। তিন বৎসর পূর্বে আবিরের বয়স আরাফের বয়সের চারগুণ ছিল। আরাফের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, আরাফের বর্তমান বয়স x বছর
∴ আবিরের বর্তমান বয়স ৩x বছর

প্রশ্নমতে,
৩x - ৩ = ৪(x - ৩)
⇒ ৩x - ৩ = ৪x - ১২
⇒ ৪x - ৩x = ৯
⇒ x = ৯

∴ আরাফের বর্তমান বয়স ৯ বছর

৩,২৭৯.

1 + 2 + 3 + ............... + n = 55 হলে, n এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 11
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 55
n(n + 1)/2 = 55
n(n + 1) = 110
n² + n - 110 = 0
n² + 11n - 10n - 110 = 0
n(n + 11) - 10 (n + 11 )= 0
(n + 11)(n - 10) = 0

হয়
n + 11 = 0
n = - 11 [গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা
n - 10 = 0
n = 10

৩,২৮০.

log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

ক
1
খ
√2
গ
1/√2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂√(3 ⋅ 2) + log₂√2/√3
= log₂√3 + log₂√2 + log₂√2 - log₂√3
= 2 log₂√2
= 2 log₂2^1/2
= 2 ⋅ (1/2) log₂2
= 1 ⋅ 1
= 1

৩,২৮১.

একটি মোবাইল ফোন নির্মাতা ২৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ৩০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ মোবাইল ফোনের নির্মাণ খরচ ১৫০০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

ক
২৪৩৭৫ টাকা
খ
২৫১৭৫ টাকা
গ
২৪২৬৫ টাকা
ঘ
২৩৩৭৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোন নির্মাতা ২৫% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ৩০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ মোবাইল ফোনের নির্মাণ খরচ ১৫০০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২৫% লাভে,
নির্মাতার লাভ = ১৫০০০ × (২৫/১০০) = ৩৭৫০ টাকা
তাহলে, খুচরা বিক্রেয়তার ক্রয়মুল্য = ১৫০০০ + ৩৭৫০ = ১৮৭৫০ টাকা

আবার,খুচরা বিক্রয়তার ৩০% লাভে,
খুচরা বিক্রয়তার লাভ = ১৮৭৫০ × (৩০/১০০) = ৫৬২৫ টাকা

∴ টেবিলটির খুচরা মুল্য = ১৮৭৫০ + ৫৬২৫ = ২৪৩৭৫ টাকা

৩,২৮২.

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১৭ একক এবং দৈর্ঘ্য ১৫ একক হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

ক
৪৬ একক
খ
৪২ একক
গ
৩৪ একক
ঘ
৫৬ একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ১৭ একক এবং দৈর্ঘ্য ১৫ একক হলে, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = ১৭ একক
দৈর্ঘ্য = ১৫ একক

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২
⇒ ১৭^২ = ১৫^২ + প্রস্থ^২
⇒ ২৮৯ = ২২৫ + প্রস্থ^২
⇒ প্রস্থ^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ প্রস্থ^২ = ৬৪ = ৮^২
∴ প্রস্থ= ৮ একক

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
= ২(১৫ + ৮) একক
= (২ × ২৩) একক
= ৪৬ একক

সুতরাং আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৬ একক।

৩,২৮৩.

9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে x এর মান কত?

ক
5/6
খ
25/36
গ
5/3
ঘ
25/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান হলে x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, কোন দ্বিঘাত রাশির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে সেই রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

দেয়া আছে,
9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান।

এখন,
9a² + 5a + x
= (3a)² + 2×3a×5/6 + x

দেখা যাচ্ছে যে, x এর মান (5/6)² বা 25/36 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় এবং তখন মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান হবে।

উত্তর: 25/36

৩,২৮৪.

a² - √7a + 1 = 0 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - √7a + 1 = 0 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - √7a + 1 = 0
⇒ a² + 1 = √7a
⇒ a²/a + (1/a) = √7a/a
⇒ a + (1/a) = √7

∴ প্রদত্ত রাশি, a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√7)² - 2
= 7 - 2
= 5

৩,২৮৫.

কোন পরীক্ষায় ৬০% ছাত্র ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে। ইংরেজীতে অকৃতকার্যের সংখ্যা মোট ৯০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
২২৫ জন
খ
২৭৫ জন
গ
৩০০ জন
ঘ
২৫০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৬০% ছাত্র ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে। ইংরেজীতে অকৃতকার্যের সংখ্যা মোট ৯০ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ইংরেজীতে কৃতকার্য হয়েছে = ৬০%
∴ ইংরেজীতে অকৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৬০)%
= ৪০%

৪০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০ জন
∴ ১ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = ১০০/৪০ জন
∴ ৯০ জন অকৃতকার্য হলে মোট পরীক্ষার্থী = (১০০ × ৯০)/৪০ জন
= ২২৫ জন

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ২২৫ জন।

৩,২৮৬.

6x² - 13x - 5 এর উৎপাদক-

ক
(3x - 1)(3x + 5)
খ
(2x - 5)(3x + 1)
গ
(2x - 3)(5x + 1)
ঘ
(5x - 3)(2x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 13x - 5 এর উৎপাদক-

সমাধান:
6x² - 13x - 5
= 6x² - 15x + 2x - 5
= 3x(2x - 5) + 1(2x - 5)
= (2x - 5)(3x + 1)

৩,২৮৭.

বার্ষিক ১০% হার সুদে কত বছরে ৮০০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০৬৪৮ টাকা হবে?

ক
১ বছর
খ
৩ বছর
গ
৪ বছর
ঘ
২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত বছরে ৮০০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০৬৪৮ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = ১০৬৪৮ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
A = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০{১ + (১০/১০০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ =৮০০০{১ + (১/১০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০{(১০ + ১)/১০}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০(১১/১০)ⁿ
⇒ (১১/১০)ⁿ= ১০৬৪৮/৮০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = ১৩৩১/১০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = (১১/১০)^৩
⇒ n = ৩

∴ সময় = ৩ বছর

৩,২৮৮.

x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ x - 1/x = 0

৩,২৮৯.

যদি ১৫ টি ফলের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ কমলা হয় এবং বাকিগুলো আপেল হয় তবে আপেলের সংখ্যা কত?

ক
ক) ১০ টি
খ
খ) ৬ টি
গ
গ) ৮ টি
ঘ
ঘ) ৯ টি

ব্যাখ্যা

১০০ টি ফলের মধ্যে কমলা ৪০ টি
∴ ১৫〃〃〃〃(৪০×১৫)/১০০ টি
= ৬ টি
∴ ১৫ টি ফলের মধ্যে আপেল (১৫-৬) = ৯ টি

৩,২৯০.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৬২০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৩ : ৭ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

ক
১২২
খ
৩২৪
গ
৬৪৮
ঘ
৫১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৬২০। সংখ্যা দুইটির অনুপাত ৩ : ৭ হলে, সংখ্যা দুইটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = (৩ + ৭) = ১০

এখানে,
প্রথম সংখ্যাটি = ১৬২০ এর (৩/১০) অংশ
= ৪৮৬

এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ১৬২০ এর (৭/১০) অংশ
= ১১৩৪

∴ সংখ্যা দুইটির পার্থক্য = ( ১১৩৪ - ৪৮৬) = ৬৪৮

৩,২৯১.

৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
৪৭°
খ
৪৩°
গ
২১.৫°
ঘ
৮৬°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৩ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

৪৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ৪৩°।

৩,২৯২.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩,৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

ক
ক) ১৪
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৬
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩ ) বা ২৪, (৪০ - ৪)বা ৩৬ এবং (৬৫ - ৫)বা ৬০ এর গ.সা. গু
২৪,৩৬,৬০ এর গ. সা. গু = ১২
বৃহত্তম সংখ্যাটি= ১২

৩,২৯৩.

|x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
8 < x < - 6
খ
- 8 < x < 6
গ
6 < x < - 8
ঘ
- 8 ≤ x ≤ 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 1| < 7
⇒ - 7 < x + 1 < 7
⇒ - 7 - 1 < x + 1 - 1 < 7 - 1 [উভয়পক্ষে - 1 যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 6

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 6}

৩,২৯৪.

130° কোণটি হলো -

ক
ক) সূক্ষ্মকোণ
খ
খ) প্রবদ্ধকোণ
গ
গ) সমকোণ
ঘ
ঘ) স্থূলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 130° কোণটি হলো -

সমাধান:
90° বা সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু 180° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

৩,২৯৫.

একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 4 এবং 10 তম পদটি 42 হলে, 30 তম পদটি কত?

ক
ক) 120
খ
খ) 122
গ
গ) 116
ঘ
ঘ) 114

ব্যাখ্যা

ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n -1)d

এখানে, 10 তম পদ 42
সুতরাং a + (10 - 1) × 4= 42
বা, a + 36 = 42
a = 6

সুতরাং, 30 তম পদ = 6 + (30 - 1)× 4
= 6 + 116
= 122

৩,২৯৬.

3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক ?

ক
ক) x + 2
খ
খ) x + 1
গ
গ) x + 3
ঘ
ঘ) x - 3

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিতে একমাত্র x + 1 = 0 বা, x = -1 বসালে, ইহা সিদ্ধ হয়।

৩,২৯৭.

নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) ।a। ≥ a
খ
খ) । ab । = । a ।.। b ।
গ
গ) । a + b । ≤ । a । + । b ।
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

পরম মানের ধর্মাবলী:
। a + b । ≤ । a । + । b ।
। ab । = । a ।.। b ।
।a। ≥ a
। a/b । = । a । / । b । (b ≠ 0)

৩,২৯৮.

MISSISSIPPI শব্দটির প্রত্যেকটি বর্ণ আলাদা কাগজে লিখে একটি বাক্সের মধ্যে রাখা হলো এবং মিশানো হলো। একটি কাগজ দৈবভাবে তুললে তা I হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৩
খ
৪/১১
গ
২/১১
ঘ
১/১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির প্রত্যেকটি বর্ণ আলাদা কাগজে লিখে একটি বাক্সের মধ্যে রাখা হলো এবং মিশানো হলো। একটি কাগজ দৈবভাবে তুললে তা I হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
M I S S I S S I P P I শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = ১১টি।
যার মধ্যে,
M আছে ১টি, I আছে ৪টি, S আছে ৪টি এবং P আছে ২টি

∴ I এর সংখ্যা = ৪টি

∴ P(I হওয়ার সম্ভাবনা) = (I এর সংখ্যা)/(মোট বর্ণের সংখ্যা)
= ৪/১১

৩,২৯৯.

tan(3A) = √3 হলে, A = কত?

ক
45°
খ
30°
গ
20°
ঘ
15°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tan(3A) = √3 হলে, A = কত?

সমাধান:
tan3A = √3
বা, tan3A = tan60°
বা, 3A = 60°
A = 20°

৩,৩০০.

১ থেকে ২৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

ক
১২
খ
১২.৫
গ
১৩
ঘ
১৩.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৫ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
গড় = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখা)/২
= (১ + ২৫)/২
= ১৩