গাণিতিক যুক্তি

ধরি, গুদাম ঘরের দৈর্ঘ্য x একক, প্রস্থ y একক এবং উচ্চতা z একক।
∴ গুদাম ঘরের আয়তন = xyz ঘন একক
৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য (x + x এর ৩০/১০০) = (x + ৩x/10) = ১৩x/১০ একক
৫০% বৃদ্ধিতে প্রস্থ (y + y এর ৫০/১০০) = (y + y/২) = ৩y/২ একক
২০% হ্রাসে উচ্চতা (z - z এর ২০/১০০) = (z - z/৫) = ৪z/৫ একক
∴ গুদাম ঘরের নতুন আয়তন = (১৩x/১০ × ৩y/২ × ৪z/৫) ঘন একক
= ৩৯xyz/২৫ ঘন একক
∴আয়তন বৃদ্ধি পায় (৩৯xyz/২৫ - xyz) ঘন একক
= ১৪xyz/২৫ ঘন একক
∴ নতুন গুদাম ঘরের আয়তন পুরনো গুদাম ঘরের আয়তনের
{(১৪xyz/২৫)/xyz} × ১০০
= ৫৬%

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৭২ কিমি গতিতে চলমান ১০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ১৪০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজকে কত সময়ে অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ১৪০ মিটার
ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘন্টা
= ৭২ × (১০০০/৩৬০০) = ২০ মিটার/সেকেন্ড

∴ ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ১০০ + ১৪০ = ২৪০ মিটার।

সময় = দূরত্ব/ গতিবেগ = ২৪০/২০ = ১২ সেকেন্ড

সুতরাং, ট্রেনটি ব্রিজ অতিক্রম করতে ১২ সেকেন্ড সময় লাগবে।

(x + 1)(x - 1) = x² - 1
∴ x² - 5)x² - 1(1
             x² - 5
             -------
                   4
∴ ভাগশেষ = 4

প্রশ্ন: A এবং B-এর বর্তমান বয়সের অনুপাত ২ : ৩। দশ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৩ : ৪। তবে A ও B-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমানে A : B = ২ : ৩
এবং ১০ বছর পরে A : B = ৩ : ৪

ধরি,
বর্তমানে A-এর বয়স = ২ক বছর
বর্তমানে B-এর বয়স = ৩ক বছর

এবং ১০ বছর পরে, 
A-এর বয়স = ২ক + ১০
B-এর বয়স = ৩ক + ১০

প্রশ্নানুসারে, 
⇒ (২ক + ১০) : (৩ক + ১০) = ৩ : ৪
⇒ (২ক + ১০)/(৩ক + ১০) = ৩/৪
⇒ ৯ক + ৩০ = ৮ক + ৪০ 
⇒ ৯ক - ৮ক = ৪০ - ৩০
∴ ক = ১০ 

∴ (A + B)-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ২ক + ৩ক = ৫ক 
= (৫ × ১০) 
= ৫০ বছর

 সুতরাং, A এবং B-এর বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৫০ বছর। 

x² - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 7 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|1 - 2x| < 7
⇒ - 7 < 1 - 2x < 7
⇒ - 7 - 1 < 1 - 1 - 2x < 7 - 1
⇒ - 8 < - 2x < 6
⇒ - 4 < - x < 3
⇒ 4 > x > - 3
∴ - 3 < x < 4

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (13)²
= 169 বর্গসে.মি.

x² − 7x + 6
= x² - 6x - x + 6
= x(x-6) - 1(x-6)
= (x-6)(x-1)

প্রশ্ন: 4a + (4/a) + 8 = 0 হলে, a² + 2a + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 4a + (4/a) + 8 = 0
 4a + (4/a) = - 8
⇒ 4{a + (1/a)} = - 8
⇒ a + (1/a = - (8/4)
⇒ (a² +1)/a = - 2
⇒ a² + 1 = - 2a
∴ a² + 2a + 1 = 0

2.3 + y = 10
y = 4
x - y = 3 - 4 = -1

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৯৯ × (৯৯ + ১)/২
= ৯৯ × ১০০/২
= ৯৯ × ৫০
= ৪৯৫০

বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গ ফুট
= ৫৬০০ বর্গ ফুট
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = {৮০ + (৫+৫)} {৭০ + (৫+৫)}
= ৯০ × ৮০
= ৭২০০ বর্গ ফুট
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭২০০ - ৫৬০০
= ১৬০০ বর্গ ফুট

প্রশ্ন: প্রতিটি ফটোকপি শীটের মূল্য ১ টাকা। প্রথম ১০০০টি ফটোকপির পর বাকি সব কপির উপর ২% ছাড় পাওয়া যায়। তাহলে ৫০০০ শীট ফটোকপি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান:
প্রথম ১০০০ শীটের খরচ = ১০০০ × ১ = ১০০০ টাকা

এবং 
পরবর্তী ৪০০০ শীটের খরচ,
প্রতি শীটের মূল্য = ১ টাকা
২% ছাড়ে প্রতি শীটের মূল্য = ১ - (১ এর ২/১০০) = ১ - ০.০২ = ০.৯৮ টাকা
∴ ৪০০০ শীটের জন্য = ৪০০০ × ০.৯৮ = ৩৯২০ টাকা

∴ মোট খরচ = ১০০০ + ৩৯২০ = ৪৯২০ টাকা 

অতএব, ৫০০০ শীট ফটোকপি করতে মোট খরচ ৪৯২০ টাকা। 

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/5, A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 2/5

যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= 1/3 × 2/5
= 2/15

আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= 1/3 + 2/5 - 2/15
= (5 + 6 - 2)/15
= 9/15
= 3/5

∴ P(A ∪ B) = 3/5

আমরা জানি, একটি চাকা = ৩৬০°
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৮° হলে মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৮° = ২০ টি।

প্রশ্ন:

সমাধান: 

অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩+৪+৫ = ১২
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান ১৮০°
সুতরাং কোণগুলোর মান = (৩/১২) X ১৮০° = ৪৫°
= (৪/১২) X ১৮০° = ৬০°
= (৫/১২) X ১৮০° = ৭৫°

প্রশ্ন: log₁₀(0.001) = কত? 

সমাধান: 
ধরি,
log₁₀(0.001) = a 
⇒ 10^a = 0.001
⇒ 10^a = 1/1000
​⇒ 10^a = 1/10³
⇒ 10^a = 10^-3
∴ a = - 3

√০.৩ = ০.৫৪৭৮
২/৩ = ০.৬৭
২/৫ = ০.৪০

সুতরাং, প্রশ্নোক্ত সংখ্যার মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ০.৩

আমরা জানি, ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
সুতরাং ২ মিনিট = ১২০ সেকেন্ড।
১/৩ সেকেন্ডে করে ২টি ফটোকপি
১ সেকেন্ডে করে ৩×২ টি ফটোকপি
১২০ সেকেন্ড করে ৩×২×১২০ টি ফটোকপি।
= ৭২০ টি ফটোকপি।

প্রশ্ন: 9x² + 6x - 8 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9x² + 6x - 8
= 9x² + 12x - 6x - 8
= 3x(3x + 4) - 2(3x + 4)
= (3x + 4)(3x - 2) 

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a³ = 216
⇒ a³ = 6³
⇒ a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 6√2 সে.মি.

প্রশ্ন: If you count 1 to 100, how many 5's will you pass on the way?

সমাধান:
1 থেকে 100 পর্যন্ত গণনা করলে কতবার 5 আসবে তা বের করতে হবে।

একক স্থানে 5: 
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
= 10টি

দশক স্থানে 5:
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
= 10টি

মোট = 10 + 10 = 20টি

(এখানে, 55 সংখ্যাটিতে '5' অঙ্কটি এককের স্থানে এবং দশকের স্থানে, উভয় জায়গাতেই একবার করে আছে, তাই এটিকে উভয় গণনায় ধরা হয়েছে।)
∴ উত্তর: ক) 20