গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 16P² + 8P - 120 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
16P² + 8P - 120
= 8(2P² + P - 15)
= 8(2P² + 6P - 5P - 15)
= 8{2P(P + 3) - 5(P + 3)}
= 8(P + 3)(2P - 5)

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গফুট
= 2 × 25 বর্গফুট 
= 50 বর্গফুট

প্রশ্নঃ তিনটি সংখ্যা একে অপরের সহ-মৌলিক, যার প্রথম দুটির গুণফল 551 এবং শেষ দুটির গুণফল 1073 । প্রথম ও শেষ সংখ্যার গুনফল কত?

সমাধানঃ
যেহেতু সংখ্যাগুলো সহ-মৌলিক, তাদের সাধারণ গুননীয়ক হবে 1
এবং সংখ্যাগুলোর মধ্যম সংখ্যাটি Common.
সুতরাং মধ্যম সংখ্যাটি হবে প্রথম ও শেষ সংখ্যার গসাগু

মধ্যম সংখ্যাটি = 551 ও 1073 এর গসাগু = 29

সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = 551/29 = 19
এবং শেষ সংখ্যাটি = 1073/29 = 37

প্রথম ও শেষ সংখ্যার গুনফল = 19 x 37 = 703

প্রশ্ন: একটি ধারার n-তম পদ m^{(2n - 1)} + 5 এবং ২য় পদ 32 হলে, m-এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারার n-তম পদ = m^{(2n - 1)} + 5
এবং
২য় পদ = 32  ; অর্থাৎ, n = 2
⇒ m^{(2 × 2 - 1)} + 5 = 32
⇒ m^{(4 - 1)} + 5 = 32
⇒ m³ = 32 - 5
⇒ m³ = 27
⇒ m³ = 3³
∴ m = 3

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সেমি এবং উচ্চতা 9 সেমি হলে, সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সেমি
উচ্চতা, h = 9 সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4 (4 + 9)
= 2π × 52
= 104π বর্গ সেমি

প্রশ্ন: |3x + 4| ≤ 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 3x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 3x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 3x ≤ 6
⇒ - 14/3 ≤ 3x / 3 ≤ 6/3
⇒ - 14/3 ≤ x ≤ 2

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 14/3, 2]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 14/3 থেকে 2 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

আমরা জানি,
রম্বসের সন্নিহিত বাহুর সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180⁰

তাহলে,
∠A + ∠B = 180°

অনুরূপভাবে,
∠A + ∠D = 180°
এখন
∠A + ∠B = ∠A + ∠D
∠B = ∠D = 120°

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

সমাধান: 
2x - 6 = 4
বা, 2x = 4 + 6
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
∴ x = 5

আবার,
2y - 5 = 5
বা, 2y = 5 + 5
বা, 2y = 10
বা, y = 10/2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5)।

প্রশ্ন: কোন শর্তে log_mm = 1 হবে?

সমাধান:
log_mm = 1, হওয়ার জন্য দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়, যা লগারিদম ফাংশনের সংজ্ঞার সাথে সম্পর্কিত।
লগারিদমের ভিত্তি (m) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে: m > 0
লগারিদমের ভিত্তি (m) কখনোই 1 হতে পারবে না। যদি m = 1 হয়, তবে সমীকরণটি হবে log₁ 1, যা অসংজ্ঞায়িত।
m ≠ 1.
তাই log_mm = 1 এর শর্ত হলো:
m > 0 এবং m ≠ 1.

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের একটি কোণ 70°
আরেকটি কোণ 60°
এবং তৃতীয় কোণ 8x + 2° 

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল = 180°
⇒ 70 + 60 + (8x + 2) = 180 
⇒ 132 + 8x = 180
⇒ 8x = 180 - 132
⇒ 8x = 48
⇒ x = 48/8
∴ x = 6

সুতরাং, প্রদত্ত চিত্রে x এর মান 6। 

x লব হলে, হর = x + 4

ভগ্নাংশের বর্গ = {x/(x + 4)}²
= x²/(x² + 8x + 16)
প্রশ্নানুসারে, x² + 8x + 16 = x² + 40
বা, x = 3
∴ হর = 7
ভগ্নাংশটি = 3/7 

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং a² + b² + c² = 50 হলে, ab + bc + ac = ?

সমাধন:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 12
a² + b² + c² = 50

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 12² = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 144 = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = 144 - 50
⇒ 2(ab + bc + ac) = 94
⇒ ab + bc + ac = 94/2 = 47
∴ ab + bc + ac = 47

3x - 2 > 2x -1
বা, 3x - 2 + 2 > 2x - 1 + 2
বা, 3x > 2x + 1
বা, 3x-2x > 2x + 1 - 2x
বা, x > 1

প্রশ্নমতে,
y এর x% = 10
বা, y এর x/100 = 10
বা, y = 1000/x

প্রশ্ন: যদি ৪ জন লোক একটি কাজ ৯৬ দিনে করতে পারে, তবে ১২ জন লোক উক্ত কাজ কত দিনে করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন লোক একটি কাজ = ৯৬ দিনে 
∴ ১ জন লোক একটি কাজ = (৯৬ × ৪) দিনে 
∴ ১২ জন লোক একটি কাজ = (৯৬ × ৪)/১২ দিনে 
= ৩২ দিনে । 

প্রশ্ন: log_x (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x (1/8) = - 3
⇒ x^{- 3} = 1/8
⇒ x^{- 3} = (1/2)³
⇒ x^{- 3} = 2- 3
⇒ x = 2

পরিধি/ব্যাস = ২πr/২r = π = ২২/৭
বাঁ, পরিধি : ব্যাস = ২২ : ৭

প্রশ্ন: একটি স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ ১৫ মাইল/ঘন্টা এবং স্রোতের গতিবেগ ৩ মাইল/ঘন্টা। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৪ ঘন্টায় কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ = ১৫ মাইল/ঘণ্টা
স্রোতের গতিবেগ = ৩ মাইল/ঘণ্টা
সময় = ৪ ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী গতিবেগ
= নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৫ + ৩
= ১৮ মাইল/ঘণ্টা

আমরা জানি, 
 দূরত্ব = গতিবেগ × সময়
= ১৮ × ৪
= ৭২ মাইল
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘণ্টায় নৌকাটি ৭২ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করবে।

দেওয়া আছে, √3tanθ = 3sinθ
বা, √3/cosθ = 3
বা, cosθ = 1/√3
বা, cos²θ = 1/3
∴ sin²θ - cos²θ = 1 - cos²θ - cos²θ = 1 - 2cos²θ = 1- 2.(1/3) = 1- 2/3 = 1/3

প্রশ্নঃ তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৩ হলে তাদের গুণফল কত হবে?

সমাধানঃ
ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ক, (ক + ১), (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ৩৩
বা, ৩ক + ৩ = ৩৩
বা, ৩ক = ৩০
 বা, ক = ১০

সুতরাং তিনটি ক্রমিক সংখ্যা হলো: ১০, ১১, ১২

তাদের গুণফল = ১০ × ১১ × ১২
 = ১১০ × ১২ = ১৩২০