গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৬ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৩০ × ক = ১৮০ × ৬
⇒ ক = (১৮০ × ৬) / ৩০
⇒ ক = ৬ × ৬
⇒ ক = ৩৬

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৩৬

২টি সংখ্যার গুন ফল = ল.সা.গু.×গ.সা.গু.
ল.সা.গু. = ২টি সংখ্যার গুনফল ÷ গ.সা.গু.
∴লসাগু = ৮৮৪০/২০ = ৪৪২

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমার ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক নয়?

সমাধান:
কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুর  সংযোগ সরলরেখাকে মধ্যমা বলা হয়।

• ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা থাকে। 
• এগুলো সমবিন্দু।
• মধ্যমা পরস্পরকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।
• যে কোনো মধ্যমা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করে।
• মধ্যমা তিনটি সমান হলে সমবাহু ত্রিভুজ গঠিত হয়।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৭০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ২ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ক 

∴ ২ক ও ৫ক এর ল.সা.গু = ১০ক

শর্তমতে,
১০ক = ৭০
⇒ ক = ৭০/১০
⇒ ক = ৭

∴ প্রথম সংখ্যা = ২ক = ২ × ৭ = ১৪

3/x + 4/(x+1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/{x(x + 1)} = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x -3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1 (x - 3) = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3, - 1/2

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² = 16πr²
∴ 16 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, ২য় কোণ, ক
সুতরাং, ১ম কোণ, ৩ক
এবং ৩য় কোণ, ক + ৩০°
শর্তমতে, ক + ৩ক + ক + ৩০° = ১৮০°
বা, ৫ক = ১৮০° - ৩০°
বা, ক = ১৫০°/৫
বা, ক = ৩০°
সুতরাং, ১ম কোণ = ৩×৩০° = ৯০°
২য় কোণ = ৩০° এবং
৩য় কোণ = ক + ৩০°
= ৩০° + ৩০°
= ৬০°

প্রশ্ন: ২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান। সর্বোচ্চ স্কোর সর্বনিম্ন স্কোরের চেয়ে ১৯০ রান বেশি। দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান হয়। সর্বোচ্চ স্কোর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২৫ ইনিংসে গড় ৫০ রান
∴ ২৫ ইনিংসের মোট = গড় × ইনিংস সংখ্যা
= ৫০ × ২৫
= ১২৫০ রান

আবার, 
দুটি ইনিংস বাদ দিলে বাকি ২৩ ইনিংসের গড় ৪৬ রান
২৩ ইনিংসের মোট = ৪৬ × ২৩ = ১০৫৮ রান

∴ দুটি বিশেষ ইনিংসের (সর্বোচ্চ + সর্বনিম্ন) মোট = ১২৫০ - ১০৫৮ = ১৯২ রান

ধরি,
সর্বনিম্ন স্কোর = ক রান
সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০ রান
তাহলে:
ক + (ক + ১৯০) = ১৯২
⇒ ২ক + ১৯০ = ১৯২
⇒ ২ক = ১৯২ - ১৯০
⇒ ২ক = ২
⇒ ক = ১

সুতরাং সর্বোচ্চ স্কোর = ক + ১৯০
= ১ + ১৯০
= ১৯১ রান

অতএব, খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ স্কোর ১৯১ রান 

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি।

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
⇒ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ = ১২ × ৪ = ৪৮ জন

সোনাঃতামা = ৩ঃ১
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ১ = ৪
∴ গয়নায়,
সোনার পরিমাণ = ৩২ × ৩/৪ = ২৪ গ্রাম
তামার পরিমাণ = ৩২ × ১/৪ = ৮ গ্রাম
ধরি,
a গ্রাম সোনা মিশাতে হবে।
∴ (২৪ + a):৮ = ৪ঃ১
বা, (২৪ + a)/৮ = ৪/১
বা, ২৪ + a = ৩২
∴ a = ৮

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
∠AOC + ∠AOD = 180°
⇒ 130° + x = 180°
⇒ x = 180° - 130°
∴ x = 50°

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 6 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত 
A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 6 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার।
দেয়ালের উচ্চতা যেখানে মইটি প্রথমে ছিল (AC) = 15 মিটার।
এবং AB = 4 মিটার
BC = 15 - 6 = 9 মিটার

এখন, 
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
বা, 9² + CD² = 15²
বা, 81 + CD² = 225
বা, CD² = 225 - 81
বা, CD² = 144
বা, CD = √144
বা, CD = 12 মিটার।

সুতরাং, মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 12 মিটার দূরে সরাতে হবে।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর 1 হলে ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান: 
ধরি, ভগাংশটি x/y (যেখানে, y > x) 

শর্তানুযায়ী, 
y - 1 = x
∴ y = x + 1

অতএব, ভগ্নাংশ = x/(x + 1)

ত্রিভূজের ৩য় কোণ = 180° - (30° + 75°)
= 180° - 105°
= 75°
∴ ত্রিভূজের দু'টি কোণ সমান।
ফলে দু'টি বাহু সমান
∴ ত্রিভূজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ

প্রশ্ন: 1 + x²p² = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে, 
1 + x²p² = 0
⇒ x²p² = -1
⇒ p² = -1
⇒ p² = -(1/x²)
⇒ p = ± √[-(1/x²)]
⇒ p = ± (1/x) . √(-1)
∴ p = ± (i/x)

প্রশ্ন: ৪০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাবাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
রাস্তাবাদে বাগানের প্রস্থ = ৩০ মিটার

সুতরাং,
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার = ১,২০০ বর্গমিটার

যেহেতু রাস্তাটি বাগানের বাইরে, তাই উভয় দিকে রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৪০ + ২ + ২) মিটার = ৪৪ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (৩০ + ২ + ২) মিটার = ৩৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৪ × ৩৪) বর্গমিটার = ১,৪৯৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল)
= (১,৪৯৬ - ১,২০০) বর্গমিটার
= ২৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8}
M = {2, 4, 6, 8}
M এর উপাদান সংখ্যা, n = 4

M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 
= 2⁴ - 1
= 16 - 1 
= 15

প্রশ্ন:  (০.০০২)/(০.১ × ০.২) = কত? 

সমাধান:
(০.০০২)/(০.১ × ০.২) 
= (০.০০২)/(০.০২)
= (২ × ১০০)/(২ × ১০০০)
= ১/১০
= ০.১

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ক
= ৬ × ৩
= ১৮ ।

প্রশ্ন: শতকরা ৬ টাকা হার সুদে কত বছরে ৫০০ টাকা সুদে-মূলে ৮০০ টাকা হয়?

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদ, I = (৮০০ - ৫০০) টাকা = ৩০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬%

আমরা জানি, 
I = Pnr/১০০
বা, n = (I × ১০০)/Pr
বা, n = (৩০০ × ১০০)/(৫০০ × ৬)
∴ n = ১০ বছর

প্রথম পদ a = ১,
সাধারন অনুপাত d = ০.১/১ = ১/১০ < ১
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/1-r
= ১/১-(১/১০)
= ১০/৯

প্রশ্ন: যদি x + y = 15 এবং xy = 45, তবে (x/y) + (y/x) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি একটি বর্গের বাহগুলো ২০% বাড়ানো হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান:
ধরি,
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ক^২ 

২০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য:
নতুন বাহু = ক + ০.২০ক = ১.২০ক
নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২০ক)^২ = ১.৪৪ক^২ 

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - পুর্বের ক্ষেত্রফল
= ১.৪৪ক^২ - ক^২
= ০.৪৪ক^২

শতকরা হিসেবে = (০.৪৪ক^২ / ক^২) × ১০০% = ৪৪%

অপর সংখ্যাটি a হলে,
২৪a = ১২০ × ৩
∴ a = (১২০ × ৩)/২৪
a = ১৫

7x – 2 – 3x² = 0
x = [-7 ± √{(7)² - 4.3.1}]/2.(-3)
x = (-7 ± √25)/-6
x = - (7 ± 5)/-6
x = 1/3, 2

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x + 1/x = 3

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (3)² - 4
= 9 - 4
= 5

∴ ‍x - 1/x = √5

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3 . √5 
= 3√5

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার এবং উচ্চতা ৩ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ (১০ + ৬) × ৩ বর্গ মিটার
= ২ × ১৬ × ৩ বর্গ মিটার
= ৯৬ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৯৬ বর্গ মিটার।

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল √৩/৪a² = ৬৪√৩
বা, a² = ৬৪√৩ × ৪/√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
∴ a = ১৬
∴ পরিসীমা = ৩a
= ৩ × ১৬
= ৪৮

প্রশ্ন:  নিচের কোনটি a³ - 7a² + 14a - 8 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 7a² + 14a - 8
= a³ - a² - 6a² + 6a + 8a - 8
= a²(a - 1) - 6a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(a² - 6a + 8)
= (a - 1)(a² - 4a - 2a + 8)
= (a - 1){a(a - 4) - 2(a - 4)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 4)

∴ (a + 4) উৎপাদক নয়।