গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ২২ / ৪৭৫ · ২,১০১–২,২০০ / ৪৭,৮৩৩

২,১০১.

দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৫/১২
খ
১/৬
গ
১/২
ঘ
৭/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনাক্ষেত্র, n(S) = (৬ × ৬) = ৩৬
ধরি,
ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার ঘটনা = E

∴ E = {(১, ১), (১, ২), (১, ৪), (১, ৬), (২, ১), (২, ৩), (২, ৫), (৩, ২), (৩, ৪), (৪, ১), (৪, ৩), (৫, ২), (৫, ৬), (৬, ১), (৬, ৫)}
∴ n(E) = ১৫

∴ ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা P(E) = n(E)/n(S) = ১৫/৩৬ = ৫/১২

২,১০২.

( 2x + 3y )/( 3x + 2y ) = 5/6 হলে, x : y = কত?

ক
ক) 3 : 8
খ
খ) 5 : 8
গ
গ) 3 : 8
ঘ
ঘ) 8 : 3

ব্যাখ্যা

( 2x + 3y )/( 3x + 2y ) = 5/6
Or, 15x + 10y = 12x + 18y
Or, 15x – 12x = 18y – 10y
Or, 3x = 8y
Or x/y = 8/3
x : y = 8 : 3

২,১০৩.

ক
2
খ
2√2
গ
√2
ঘ
1/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,১০৪.

বৃত্তে অন্তলিখিত একটি চতুর্ভুজের একটি কোণ ৬০° হলে, তার বিপরীত কোণের পরিমাপ কত হবে?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৯০°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ৩০°

ব্যাখ্যা

বৃত্তে অন্তলিখিত একটি চতুর্ভুজের যেকোন দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের অপর বিপরীত কোণ = (১৮০ -৬০) বা ১২০°

২,১০৫.

9x² - 9x - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) (x + 1)(3x - 3)
খ
খ) (3x + 1)(3x - 4)
গ
গ) (4x + 5)(x - 1)
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

9x² - 9x - 4
= 9x² + 3x -12x - 4
= 3x (3x + 1) - 4(3x + 1)
= (3x + 1)(3x - 4)

২,১০৬.

ax² + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b² - 4ac < 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?

ক
মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ
মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ
মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
ঘ
সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 একটি সমীকরণ এবং b² - 4ac < 0 হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
ax²+ bx + c = 0 সমীকরণের
b² - 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
ইহা সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করে।
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি

ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
ক) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
খ) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
গ) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
ঘ) b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,১০৭.

১২% সরল মুনাফা হারে ১৮ মাসে ১২,০০০ টাকা, মুনাফা-মূলধনে কত হবে?

ক
১৬,৩২০ টাকা
খ
১৫,৮৫৫ টাকা
গ
১৪,১৬০ টাকা
ঘ
১৩,৯৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২% সরল মুনাফা হারে ১৮ মাসে ১২,০০০ টাকা, মুনাফা-মূলধনে কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = ১২,০০০ টাকা
n = ১৮ মাস = ১৮/১২ = ৩/২ বছর
r = ১২% = ১২/১০০

আমরা জানি,
I = Pnr
= ১২,০০০ × (৩/২) × (১২/১০০)
= ২,১৬০

∴ মুনাফা-মূলধন = (১২,০০০ + ২,১৬০) টাকা
= ১৪,১৬০ টাকা

২,১০৮.

ক
0
খ
1
গ
225
ঘ
1/225

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,১০৯.

একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। তাতে সোনা ও তামার পরিমাণ সমান ৩ : ১। তাতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

ক
৬ গ্রাম
খ
৫ গ্রাম
গ
৪ গ্রাম
ঘ
৮ গ্রাম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। তাতে সোনা ও তামার পরিমাণ সমান ৩ : ১। তাতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১৬ × ১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি,
ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১
(ক + ১২)/৪ = ৪/১
ক + ১২ = ১৬
ক = ১৬ - ১২
ক = ৪

∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম

২,১১০.

X = {a, b, c, d, e } সেটের উপসেট কয়টি?

ক
10
খ
32
গ
25
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X = {a, b, c, d, e } সেটের উপসেট কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ ; যেখানে n হলো সেটের উপাদানের সংখ্যা।

এখানে,
n = 5 হলে,
∴ উপসেট সংখ্যা = 2⁵ = 32

২,১১১.

একটি বাস কমলাপুর থেকে সকাল ৭ টায় ছেড়ে সকাল ১১ টায় কুমিল্লায় পৌঁছায়। কমলাপুর থেকে কুমিল্লার দূরত্ব ৯৬ কি.মি. হলে বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?

ক
২৪ কি.মি./ঘণ্টা
খ
২৬ কি.মি./ঘণ্টা
গ
২৮ কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
৩২ কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাস কমলাপুর থেকে সকাল ৭ টায় ছেড়ে সকাল ১১ টায় কুমিল্লায় পৌঁছায়। কমলাপুর থেকে কুমিল্লার দূরত্ব ৯৬ কি.মি. হলে বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৯৬ কি.মি.
সময় = সকাল ৭ টা থেকে সকাল ১১ টা = ৪ ঘণ্টা

আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ৯৬/৪
= ২৪ কি.মি./ঘণ্টা

২,১১২.

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

ক
2√2
খ
√2
গ
2
ঘ
4√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4a/√2a = 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা= 2√2 × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)

২,১১৩.

৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক
৪৫.০%
খ
৪৮.৫০%
গ
৫২.৭৫%
ঘ
৫৬.২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৫ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪/৫ টাকা

আবার,
৪ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৫/৪ টাকা

∴ লাভ = (৫/৪) - (৪/৫) টাকা
= {(২৫ - ১৬)/২০} টাকা
= ৯/২০ টাকা

৪/৫ টাকায় লাভ হয় ৯/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (৯ × ৫)/(২০ × ৪) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৯ × ৫ × ১০০)/(২০ × ৪) টাকা
= ২২৫/৪ টাকা
= ৫৬.২৫ টাকা

২,১১৪.

27^{x + 3} = 81^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

ক
-1
খ
-2
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 3} = 81^{2x + 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
বা, 27^{x + 3} = 81^{2x + 1}
বা, 3^{3(x + 3)} = 3^{4(2x + 1)}
বা, 3^{3x + 9} = 3^{8x + 4}
বা, 3x + 9 = 8x + 4
বা, 5x = 5
∴ x = 1

২,১১৫.

log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9 =?

ক
2
খ
100
গ
37
ঘ
4.6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9 =?

log₁₀25 + 2log₁₀6 - log₁₀9
= log₁₀25 + log₁₀6²- log₁₀9
= log₁₀ {(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2 × 1
= 2

২,১১৬.

3p² - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
(p + 1) (3p - 5)
খ
(p - 1) (3p + 5)
গ
(p - 1) (3p - 5)
ঘ
(p + 1) (3p + 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3p² - 8p + 5 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:
3p²- 8p + 5
= 3p² - 3p - 5p +5
= 3p(p - 1) - 5(p - 1)
= (p - 1) (3p - 5)

২,১১৭.

কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?

ক
৫৮৯ জন
খ
৫৯৮ জন
গ
৬১১ জন
ঘ
৬১৯ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু. = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

২,১১৮.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

২,১১৯.

৩/৭, ৬/৩৫, ৯/৫৬ এর গ.সা.গু. -

ক
ক) ১/৫৬
খ
খ) ৩/৫৬
গ
গ) ৩/২৮০
ঘ
ঘ) ১/২৮০

ব্যাখ্যা

৩, ৬, ৯ এর গ.সা.গু. = ৩
৭, ৩৫, ৫৬ এর ল.সা.গু. = ২৮০
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৩/২৮০

২,১২০.

নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?

ক
৩৬১
খ
৪৯৪
গ
৫২৯
ঘ
৫৭৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
- যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয় ।
- যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
- একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা ।
- আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন : ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা ।

√৩৬১ = ১৯
√৫২৯ = ২৩
√৫৭৬ = ২৪

অর্থাৎ, ৩৬১, ৫২৯, ৫৭৬ হলো পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
অপরদিকে, ৪৯৪ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

২,১২১.

যদি a + b = √11 এবং a - b = √3 হয়, তবে 8ab(a² + b²) এর মান কত?

ক
104
খ
108
গ
112
ঘ
116

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = √11 এবং a - b = √3 হয়, তবে 8ab(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = √11 এবং a - b = √3

প্রদত্ত রাশি = 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)²- (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√11)² - (√3)²} × (√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

২,১২২.

একজন দোকানদার ৩৬০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করেছে। একটি চেয়ার ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করেছে। সব মিলিয়ে কত টাকা লোকসান হয়েছে?

ক
৩০০ টাকা
খ
৪০০ টাকা
গ
৬০০ টাকা
ঘ
লাভ-লোকসান কিছুই হয়নি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ৩৬০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করেছে। একটি চেয়ার ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করেছে। সব মিলিয়ে কত টাকা লোকসান হয়েছে?

সমাধান:
১ম চেয়ারের বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ম চেয়ারের ক্রয়মূল্য = (৩৬০০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৩০০০ টাকা
আবার,
২য় চেয়ারের বিক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা
∴ ২য় চেয়ারের ক্রয়মূল্য = (৩৬০০ × ১০০)/৮০ টাকা
= ৪৫০০ টাকা

∴ মোট বিক্রয়মূল্য = (৩৬০০ + ৩৬০০) টাকা
= ৭২০০ টাকা
এবং মোট ক্রয়মূল্য = (৩০০০ + ৪৫০০) টাকা
= ৭৫০০ টাকা

∴ মোট লোকসান = (৭৫০০ - ৭২০০) টাকা
= ৩০০ টাকা

∴ সব মিলিয়ে লোকসান হয়েছে = ৩০০ টাকা।

২,১২৩.

১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

ক
১/২২
খ
১/৬৪
গ
১/৬০
ঘ
২/৬৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান:
১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪৪০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০} = মোট ২০টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২০/৪৪০
= ১/২২

২,১২৪.

৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

ক
৬
খ
৭
গ
৯
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

সংখ্যাটি ক হলে,
প্রশ্নানুসারে, ৬ + ৮ + ১০ = ক + ৭ + ৯
বা, ২৪ = ১৬ + ক
সুতরাং, ক = ২৪ -১৬ = ৮

২,১২৫.

20x³ya³b⁴, 15x⁴y³a⁴b³ এবং 5x²y⁴a³b² এর গ.সা.গু কত?

ক
ক) 5xy²a³b²
খ
খ) 5x⁴ya³b²
গ
গ) 5x²ya³b²
ঘ
ঘ) 5x²y²a²b²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20x³ya³b⁴, 15x⁴y³a⁴b³ এবং 5x²y⁴a³b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = 20x³ya³b⁴
২য় রাশি = 15x⁴y³a⁴b³
৩য় রাশি = 5x²y⁴a³b²

এখানে,
20, 15, 5 এর গ.সা.গু = 5
x³, x⁴, x² এর গ.সা.গু = x²
y, y³, y⁴ এর গ.সা.গু = y
a³, a⁴, a³এর গ.সা.গু =a³
b⁴,b³, b² এর গ.সা.গু = b²

নির্ণেয় গ.সা.গু = 5x²ya³b²

২,১২৬.

(০.১ × ০.০১ × ০.০০১)/(০.২ × ০.০২) = কত?

ক
০.০০২৫
খ
০.০০০২৫
গ
০.০০০০২৫
ঘ
০.০২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (০.১ × ০.০১ × ০.০০১)/(০.২ × ০.০২) = কত?

সমাধান:
(০.১ × ০.০১ × ০.০০১)/(০.২ × ০.০২)
= ০.০০০০০১/.০০৪
= ০.০০০২৫

২,১২৭.

১০টি পরীক্ষার খাতা কীভাবে সাজানো যাবে যেন সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকবে না?

ক
৮ × ৯!
খ
৮ × ৮!
গ
৭ × ৯!
ঘ
৯ × ৮!

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০টি পরীক্ষার খাতা কীভাবে সাজানো যাবে যেন সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
১০টি খাতা সাজানোর উপায় ১০!

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকলে এদের ১টি খাতা বিবেচনা করে মোট ৯টি খাতা সাজানো যাবে ৯! উপায়ে
এবং খাতা দুটি সাজানো যাবে ২! উপায়ে
∴ সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকলে সাজানো যাবে ৯! × ২! উপায়ে

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন প্রাপ্ত নম্বরের খাতা একত্রে থাকবে না = ১০! - ৯! × ২! উপায়ে
= ১০ × ৯! - ৯! × ২!
= ৯!(১০ - ২!)
= ৯!(১০ - ২)
= ৯! × ৮
= ৮ × ৯!

২,১২৮.

একটি ঘড়ির 3 : 30 মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

ক
75°
খ
55°
গ
65°
ঘ
105°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির 3 : 30 মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ: = |(11 M - 60 H)/2| [এখানে, M = 30 মিনিট, H = 3 ঘণ্টা]
= |{(11 × 30) - (60 × 3)}/2|
= |(330 - 180)/2|
= |150/2|
= 75°

২,১২৯.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ৩, হর ও লব থেকে ২ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সাথে ৩/৫ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটি কত?

ক
৪/৭
খ
৫/৮
গ
২/৫
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ৩, হর ও লব থেকে ২ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সাথে ৩/৫ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
এবং হর = ক + ৩
∴ ভগ্নাংশটি = ক/(ক + ৩)

প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৩ - ২) + (৩/৫) = ১
⇒ (ক - ২)/(ক + ১) = ১ - (৩/৫)
⇒ (ক - ২)/(ক + ১) = ২/৫
⇒ ৫ক - ১০ = ২ক + ২
⇒ ৫ক - ২ক = ১০ + ২
⇒ ৩ক = ১২
⇒ ক = ১২/৩
∴ ক = ৪

∴ ভগ্নাংশটি = ক/(ক + ৩)
= ৪/(৪ + ৩)
= ৪/৭

২,১৩০.

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ কত একক?

ক
12√2 একক
খ
6√2 একক
গ
18√2 একক
ঘ
18 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ 12 একক
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12/2 = 6 একক

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 6√2
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের তিনগুণ = 6√2 × 3
= 18√2 একক

২,১৩১.

একজন ব্যাটসম্যান 21 টি চার ও ছক্কার মাধ্যমে 96 রান করেন। তিনি কতটি চার করেন?

ক
13টি
খ
14টি
গ
15টি
ঘ
16টি

ব্যাখ্যা

ধরি,
চার x টি, তাহলে ছক্কা (21 - x)টি।
এখন,
4x + 6(21 - x) = 96
বা, 4x + 126 - 6x = 96
বা, -2x = 96 - 126
বা, -2x = - 30
বা, x = 30/2
সুতরাং x = 15

২,১৩২.

D = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 4} হলে, P(D) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 12
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
D = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 4}
D = {1, 2, 3, 4}
D এর উপাদান সংখ্যা n=4

P(D) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
= 2⁴
= 16

২,১৩৩.

একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?

ক
১০
খ
১২
গ
১৪
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ ১৫০° হলে, তার বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর সংখ্যা = ক

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজে মোট উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক
∴ {(ক - ২)১৮০}/ক = ১৫০
বা, ১৮০ক - ৩৬০ = ১৫০ক
বা, ১৮০ক - ১৫০ক = ৩৬০
বা, ৩০ক = ৩৬০
বা, ক = ৩৬০/৩০
∴ ক = ১২

∴ বাহুর সংখ্যা = ১২ ।

২,১৩৪.

তামা, দস্তা ও রূপা মিশিয়ে তৈরি একটি গহনায় তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রূপার অনুপাত ৩ : ৫। ১৯ গ্রাম ওজনের গহনায় কত গ্রাম রূপা আছে?

ক
১২ গ্রাম
খ
৬ গ্রাম
গ
৮ গ্রাম
ঘ
১০ গ্রাম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তামা, দস্তা ও রূপা মিশিয়ে তৈরি একটি গহনায় তামা ও দস্তার অনুপাত ১ : ২ এবং দস্তা ও রূপার অনুপাত ৩ : ৫। ১৯ গ্রাম ওজনের গহনায় কত গ্রাম রূপা আছে?

সমাধান:
তামা : দস্তা = ১ : ২
= ৩ : ৬ [ উভয় রাশিকে ৩ দিয়ে গুন করে ]

দস্তা : রুপা = ৩ : ৫
= ৬ : ১০ [ উভয় রাশিকে ২ দিয়ে গুন করে ]
∴ তামা : দস্তা : রুপা = ৩ : ৬ : ১০
অনুপাতের যোগফল = ১৯

১৯ গ্রাম ওজনের গহনায় রুপা আছে
= ১৯ গ্রাম এর (১০/১৯) অংশ
= ১০ গ্রাম

অতএব, গহনায় রুপা আছে ১০ গ্রাম।

২,১৩৫.

যদি x : y = y : z = 2.5 এবং z = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 12.5
খ
খ) 12
গ
গ) 13.5
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x : y = y : z = 2.5 এবং z = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x : y = 2.5,
z = 2
এবং
y : z = 2.5
⇒ y/z = 2.5
⇒ y/2 = 2.5
∴ y = 5

আবার,
x : y = 2.5
⇒ x/y = 2.5
⇒ x/5 = 2.5
∴ x = 12.5

২,১৩৬.

একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
7√3 সে. মি.
খ
5√3 সে. মি.
গ
9√2 সে. মি.
ঘ
9√3 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ঘনকের আয়তন 729 ঘনসে.মি
মনে করি,
ঘনকের ধার P সে. মি.

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = (ঘনকের ধার)³ = P³ ঘনসে.মি

প্রশ্নমতে,
P³ = 729
বা, P³ = 9³
বা, P = 9

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3 × ঘনকের ধার
= √3 × 9
= 9√3 সে. মি.

২,১৩৭.

৭, ১৫, ৩১, ৬৩…... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা-

ক
১২৭
খ
১৩০
গ
১৩৫
ঘ
১৪০

ব্যাখ্যা

ধারা : ৭, ১৫, ৩১, ৬৩......
অন্তর ৮, ১৬, ৩২, ৬৪
∴ পরবর্তী সংখ্যা = ৬৩ + ৬৪
= ১২৭

২,১৩৮.

৭ঃ৯ এর ব্যস্তানুপাত কত?

ক
৩৫ঃ২৭
খ
৯ঃ৭
গ
২৮ঃ১৮
ঘ
৭ঃ৯

ব্যাখ্যা

ব্যস্তানুপাত মানে বিপরীত অনুপাত।
সুতরাং ৭ঃ৯ এর ব্যস্তানুপাত বা বিপরীত অনুপাত হবে = ৯ঃ৭

২,১৩৯.

ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 3x এর ∠C = 2x হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

ক
ক) স্থুলকোণী ত্রিভুজ
খ
খ) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
গ
গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সমকোণী ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 3x এর ∠C = 2x হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

সমাধান:
∠A = x, ∠B = 3x এর ∠C = 2x

আমরা জানি,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
x + 3x + 2x = 180°
6x = 180°
x = 30°

∠A = 30°, ∠C = 60° এর ∠B = 90°
ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ

২,১৪০.

দুটি ট্রেন ৬০ কিমি/ঘণ্টা এবং ৯০ কিমি/ঘণ্টা বেগে একই স্থান হতে একে অপরের বিপরীত দিকে চলছে। এদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১.১০ কিলোমিটার এবং ০.৯ কিলোমিটার হলে ধীরগতির ট্রেনটির দ্রুত গতির ট্রেনকে অতিক্রম করতে কত সেকেন্ড সময় লাগবে?

ক
ক) ৩৬
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৪৮
ঘ
ঘ) ৪৯
ঙ
ঙ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ১১০০ + ৯০০ = ২০০০ মিটার
এদের গতিবেগে অনুযায়ী একত্রে এক ঘণ্টায় অতিক্রান্ত দূরত্বের সমষ্টি = (৬০ + ৯০) × ১০০০ = ১৫০০০০ মিটার
এখন ১৫০০০০ মিটার যায় ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ২০০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ২০০০) / ১৫০০০০ = ৪৮ সেকেন্ডে

২,১৪১.

প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

ক
৬১০
খ
৬২৫
গ
৬৫০
ঘ
৫৫৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ২৫ টি জোড় সংখ্যা:
২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪........

আমরা জানি,
প্রথম n টি জোড় সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)

এখানে, n = ২৫
∴ যোগফল = ২৫(২৫ + ১)
= ২৫ × ২৬
= ৬৫০

∴ প্রথম ২৫টি জোড় সংখ্যার যোগফল = ৬৫০

২,১৪২.

বার্ষিক শতকরা 10% হারে 1000 টাকার 2 বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য কত?

ক
ক) 11 টাকা
খ
খ) 11.5 টাকা
গ
গ) 12 টাকা
ঘ
ঘ) 10 টাকা

ব্যাখ্যা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা
= (C - P) - I
= {P(1+r)ⁿ- P} - Pnr
= {1000(1+10%)²- P} - 1000 × 2 × 10%
= {1000 × 1.21 - P} - 200
= {1210 - 1000} - 200
= 210 - 200
= 10

২,১৪৩.

এক ডিম বিক্রেতা প্রতিটি ৮ টাকা দরে ১২০০ টি ডিম ক্রয় করলে ১/৩ অংশ ডিম পঁচে গেল। অবশিষ্ট প্রতিটি ডিম কি দরে বিক্রয় করলে বিক্রেতার কোন লাভ বা ক্ষতি হবে না।

ক
ক) ১০.৬০ টাকা
খ
খ) ১২.০০ টাকা
গ
গ) ৮.৬০ টাকা
ঘ
ঘ) ৯.৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

এক ডিম বিক্রেতা প্রতিটি ৮ টাকা দরে ১২০০ টি ডিম ক্রয় করলে তার মোট খরচ হয় ৮ × ১২০০ = ৯৬০০০ টাকা
১/৩ অংশ ডিম পঁচে গেলে বাকি থাকে ১২০০ - ১২০০ × ১/৩ = ৮০০ ডিম
অর্থাৎ, ভালো ৮০০ ডিমের প্রতিটির ক্রয়মূল্য হচ্ছে = ৯৬০০০/৮০০ = ১২ টাকা
কোনো লাভ বা ক্ষতি না চাইলে প্রতিটি ডিম বিক্রয় করতে হবে ১২ টাকা করে

২,১৪৪.

দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 22 এবং 96 হলে, সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত?

ক
ক) 11/48
খ
খ) 12/25
গ
গ) 13/30
ঘ
ঘ) 15/56

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যা দুটি a ও b

a + b = 22
ab = 96

(1/a) + (1/b) = (b + a)/ab
= 22/96
= 11/48

২,১৪৫.

140 টাকা কেজি দরের 4 কেজি আম, 80 টাকা কেজি দরের 3 কেজি পেঁপে এবং 350 টাকা দরের 2 কেজি আঙ্গুর দ্বারা একটি সালাদ তৈরী করা হলো । 30% লাভে বিক্রয় করতে হলে কত টাকা কেজি দরে বিক্রয় করতে হবে?

ক
220.67 টাকা
খ
235.60 টাকা
গ
310.70 টাকা
ঘ
216.67 টাকা
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 140 টাকা কেজি দরের 4 কেজি আম, 80 টাকা কেজি দরের 3 কেজি পেঁপে এবং 350 টাকা দরের 2 কেজি আঙ্গুর দ্বারা একটি সালাদ তৈরী করা হলো । 30% লাভে বিক্রয় করতে হলে কত টাকা কেজি দরে বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান:
প্রতি কেজি 140 টাকা দরে 4 কেজি আমের দাম = 140 × 4 = 560 টাকা
প্রতি কেজি 80 টাকা দরে 3 কেজি পেঁপের দাম = 80 × 3 = 240 টাকা
প্রতি কেজি 350 টাকা দরে 2 কেজি আঙ্গুর দাম = 350 × 2 = 700 টাকা

এখন, মোট খরচ হবে = 560 + 240 + 700 = 1500 টাকা

মোট ওজন হবে = 4 + 3 + 2 = 9 কেজি
∴ 1 কেজি সালাদের দাম = 1500/9 = 166.67 টাকা

30% লাভে বিক্রয় করতে চাইলে বিক্রি করতে হবে
= 166.67 + 166.67 এর 30%
= 166.67 + 50
= 216.67 টাকা

২,১৪৬.

বর্তমানে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩∶১ এবং তাদের বয়সের সমষ্টি ১২০ বছর। ৫ বছর পর পুত্রের বয়স কত বছর হবে?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৩৫
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা

বর্তমানে পুত্রের বয়স x হলে পিতার বয়স ৩x
∴ ৩x + x = ১২০
বা, x = ৩০
∴ x = ৩০
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ৩০
এবং ৫ বছর পর পুত্রের বয়স = ৩০ + ৫ = ৩৫ বছর

২,১৪৭.

f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 হলে, f(2) = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 হলে, f(2) = কত?

সমাধান:
f(2) = 2³ - 6 × 2² + 11 × 2 - 6
= 8 - 6 × 4 + 22 - 6
= 8 - 24 + 22 - 6
= 30 - 30
= 0

২,১৪৮.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

ক
67.5°
খ
135°
গ
270°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।

∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে,
∠ABC+ ∠BAC = ∠ACD
এখানে, ∠ABC+ ∠BAC = 135°
∴ ∠ACD = 135°

২,১৪৯.

দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর ৩৩।

ক
ক) ১৫ ও ১৬
খ
খ) ১৩ ও ১৪
গ
গ) ১৬ ও ১৭
ঘ
ঘ) ১৪ ও ১৫

ব্যাখ্যা

মনে করি,
প্রথম সংখ্যাটি (ক-১), সুতরাং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে,
ক^২ - (ক - ১)^২ = ৩৩
বা, ক^২ - (ক^২ - ২ক + ১) = ৩৩
বা, ক^২ - ক^২ + ২ক - ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৪
বা, ক = ১৭
সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = ১৭ -‌ ১
= ১৬

২,১৫০.

রেখার মাত্রা কতটি?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

রেখা ( Line ):
- দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা (Line) উৎপন্ন হয়।
- রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই।
- রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)।

২,১৫১.

16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)} হয়, তবে a এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)} হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
16^{(2a + 3)} = 4^{(3a + 6)}
⇒ (4²)^{2a + 3} = 4^{3a + 6}
⇒ 4^{4a + 6} = 4^{3a + 6}
⇒ 4a + 6 = 3a + 6
⇒ 4a - 3a = 6 - 6
∴ a = 0

২,১৫২.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 3 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

ক
36 বর্গমিটার
খ
42 বর্গমিটার
গ
48 বর্গমিটার
ঘ
54 বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মিটার ও 13 মিটার এবং তাদের উচ্চতা 3 মিটার। ঐ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের যোগফল) × উচ্চতা
= (1/2) × (15 + 13) × 3
= (1/2) × 28 × 3
= 42 বর্গমিটার

২,১৫৩.

a = √7 + √6 হলে, (a⁶ - 1)/a³ এর মান কত?

ক
ক) 54√6
খ
খ) 50√6
গ
গ) 42√6
ঘ
ঘ) 48√6

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
a = √7 + √6
1/a = 1/√7 + √6
=(√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
= (√7 - √6)/{(√7)² - (√6)²}
= (√7 - √6)/(7 - 6)
= (√7 - √6)/1
=√7 - √6

a - 1/a = √7 + √6 - (√7 - √6)
= √7 + √6 - √7 + √6
= 2√6

(a⁶ - 1)/a³ = a⁶/a³ - 1/a³
= a³ - (1/a)³
= (a - 1/a)³ + 3a.1/a.(a - 1/a)
= (2√6)³ + 3.2√6
= 8.6√6 + 6√6
= 48√6 + 6√6
= 54√6

২,১৫৪.

১২ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

ক
১৮০
খ
২১০
গ
৩২০
ঘ
৪৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (১২ - ২) বা ১০ টি থেকে ৪ টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ^১০C_৪
= ১০!/(৪! × ৬!)
= (১০ × ৯ × ৮ × ৭)/(৪ × ৩ × ২)
= ২১০

∴ ১০ টি বই থেকে ৪ টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ২১০ প্রকার

২,১৫৫.

2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কততম পদের মান 128?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কততম পদের মান 128?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 2.2^n-1 = 128
বা, 2^n-1+1 = 128
বা, 2ⁿ = 128
বা, 2ⁿ = 2⁷
∴ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদের মান 128.

২,১৫৬.

একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে, গভীরতা কত?

ক
৩.৫ মিটার
খ
৪.৫ মিটার
গ
২.৫ মিটার
ঘ
১.৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে, গভীরতা কত?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির তলের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার
= ২৫৬ সে. মি. × ১২৫ সে. মি. [ ১ মিটার = ১০০ সে. মি.]
= ৩২০০০ বর্গ সে. মি.

চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা (৮০০০ × ১০০০) = ৮০০০০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে।
যেখানে ১০০০ ঘন সে. মি.= ১ লিটার

অতএব,
চৌবাচ্চাটির আয়তন ৮০০০০০০ ঘন সে. মি.
∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ৮০০০০০০/৩২০০০ সে. মি.
= ২৫০ সে. মি.
= ২৫০/১০০ মিটার যেখানে ১ মিটার = ১০০ সে. মি.
= ২.৫ মিটার

২,১৫৭.

কোন কর্মকর্তার বেতন এক মাসে ১০% বৃদ্ধি পেল, আবার পরবর্তী মাসে তার বেতন ১০% কমে গেল। এতে ওই কর্মকর্তার মূল বেতনের কি পরিবর্তন হলো?

ক
ক) ১% কমলো
খ
খ) কোন পরিবর্তন হলো না
গ
গ) ১০% বাড়লো
ঘ
ঘ) ১% বাড়লো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন কর্মকর্তার বেতন এক মাসে ১০% বৃদ্ধি পেল, আবার পরবর্তী মাসে তার বেতন ১০% কমে গেল। এতে ওই কর্মকর্তার মূল বেতনের কি পরিবর্তন হলো?

সমাধান:
ধরি,
মূলবেতন ১০০ টাকা
১০% বৃদ্ধি পেয়ে বেতন হয় = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০/১০০ টাকা
= ১০০ + ১০ টাকা
= ১১০ টাকা

১০% হ্রাস পেয়ে নতুন বেতন হয় = ১১০ - ১১০ এর ১০%
= ১১০ - ১১০ এর ১০/১০০
= ১১০ - ১১
= ৯৯

∴ বেতন কমেছে (১০০ - ৯৯) = ১%

২,১৫৮.

△ABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
7.5 সে.মি.
খ
6 সে.মি.
গ
9 সে.মি.
ঘ
10.5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: △ABC এ D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। BC বাহুর দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. হলে, DE বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান;

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
DE =(1/2)BC
= (1/2) × 18 সে.মি.
= 9 সে.মি.

২,১৫৯.

একটি সংখ্যা ৪৭ থেকে যত বেশি ৮৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

ক
৫৭
খ
৬৩
গ
৬৬
ঘ
৪৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৭ থেকে যত বেশি ৮৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৪৭ = ৮৫ - x
বা, x + x = ৮৫ + ৪৭
বা, ২x = ১৩২
বা, x = ১৩২/২
∴ x = ৬৬

∴ সংখ্যাটি = ৬৬ ।

২,১৬০.

বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের অর্ধেক হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

ক
ক) লাভ ২৫%
খ
খ) ক্ষতি ২৫%
গ
গ) লাভ ৫০%
ঘ
ঘ) ক্ষতি ৫০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের অর্ধেক হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য 2x টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য x টাকা

ক্ষতি = (2x - x) = x টাকা

এখন,
2x টাকায় ক্ষতি হয় x টাকা
∴ 1 টাকায় ক্ষতি হয় x/2x টাকা
∴ 100 টাকায় ক্ষতি হয় (x × 100)/2x টাকা
= 50 টাকা

২,১৬১.

যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

ক
121
খ
151
গ
172
ঘ
189

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 41
এবং
a + b = 9
⇒ (a + b)² = 9²
⇒ a² + 2ab + b² = 81
⇒ a² + b² + 2ab = 81
⇒ 41 + 2ab = 81
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189

২,১৬২.

একটি ত্রিভূজের বাহুগুলোর অনুপাত 1:1:√2 এবং বৃহত্তম কোণ 90° হলে ক্ষুদ্রতর কোণের মান কত?

ক
ক) 60 ডিগ্রী
খ
খ) 75ডিগ্রী
গ
গ) 30ডিগ্রী
ঘ
ঘ) 45ডিগ্রী

ব্যাখ্যা

এখানে স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। একটি ত্রিভুজের মান 90° হলে বাকি দুইটি কোণের সমষ্টি হবে 90° এবং দুটি কোণই হবে পরস্পর সমান অর্থাৎ 45°।

২,১৬৩.

a + b = 7 এবং a - b = 1 হলে ab = কত?

ক
10
খ
12
গ
14
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a - b = 1 হলে ab = কত?

সমাধান:
ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²
= (7/2)² - (1/2)²
= (49/4) - (1/4)
= (49 - 1)/4
= 12

২,১৬৪.

পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ এবং ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৮ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

ক
৩২, ৮
খ
৩৫, ১০
গ
৩৫, ১২
ঘ
৩৬, ১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ এবং ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৮ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৭ : ২

মনে করি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৭x ও ২x
৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে = ৮ : ৩

শর্তমতে,
(৭x + ৫) : (২x + ৫) = ৮ : ৩
⇒ (৭x + ৫)/(২x + ৫) = ৮/৩
⇒ ২১x + ১৫ = ১৬x + ৪০
⇒ ৫x = ২৫
∴ x = ৫

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৭ × ৫) = ৩৫ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (২ × ৫) = ১০ বছর

২,১৬৫.

একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
7/13
খ
4/13
গ
3/4
ঘ
9/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52 টি
রুইতন তাসের সংখ্যা = 13 টি
রাজার সংখ্যা = 4 টি
অনুকূল ঘটনা = 13 + (4 - 1) টি [1টি রাজা রুইতনে গণনা করা হয়েছে তাই]
= 16

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 16/52 = 4/13

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (4/13)
= 9/13

২,১৬৬.

যদি xy = 8 হয়, তাহলে (x + y)² - (x - y)² এর মান কত?

ক
48
খ
32
গ
16
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি xy = 8 হয়, তাহলে (x + y)² - (x - y)² এর মান কত?

সমাধান:
(x + y)² - (x - y)²
= 4xy
= 4 × 8
= 32

২,১৬৭.

যদি (x - y)² = 12 এবং xy = 2 হয়, তাহলে x² + y² = ?

ক
ক) 12
খ
খ) 14
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

(x² + y²) = (x - y)² + 2xy
= 12 + (2.2)
= 12 + 4
= 16

২,১৬৮.

x² + 2x - 15 এর উৎপাদক দুইটি কত?

ক
ক) (x - 5) ও (x + 3)
খ
খ) (x + 5) ও (x - 3)
গ
গ) (x - 5) ও (x - 3)
ঘ
ঘ) (x + 5) ও (x + 3)

ব্যাখ্যা

x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x + 5)(x - 3)

২,১৬৯.

একটি আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪৮০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। মাঠের পরিসীমা কত?

ক
৭৬ মিটার
খ
৯৪ মিটার
গ
১০৮ মিটার
ঘ
১২৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল ৪৮০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৫ মিটার। মাঠের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ ৪৮০ = দৈর্ঘ্য × ১৫
⇒ দৈর্ঘ্য = ৪৮০ / ১৫
∴ দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৩২ + ১৫)
= ২(৪৭)
= ৯৪ মিটার

২,১৭০.

১০৫০ টাকার ৪% কত?

ক
৪০
খ
৪২
গ
৪৬
ঘ
৪৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০৫০ টাকার ৪% কত?

সমাধান:
১০৫০ টাকার ৪%
= ১০৫০ টাকার ৪/১০০
= ৪২

২,১৭১.

log₄(1/16) এর মান-

ক
- 1
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান-

সমাধান:
log₄(1/16)
= log₄(1/4²)
= log₄(4^{- 2})
= - 2log₄4
= - 2 × 1
= - 2

২,১৭২.

প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 7 মিটার
খ
খ) 14 মিটার
গ
গ) 12 মিটার
ঘ
ঘ) 16 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 44 মিটার
ঘোড়াটি 2 মিনিটে যায় (44 × 2) মিটার
= 88 মিটার

মনেকরি,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr = 88
2(22/7)r = 88
44r/7 = 88
r = (88 × 7)/44
r = 14

২,১৭৩.

শতকরা কত টাকা হার মুনাফার ৬৫০ টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৭৩ টাকা হবে?

ক
৭
খ
৬.৫০
গ
৬
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা কত টাকা হার মুনাফার ৬৫০ টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৭৩ টাকা হবে?

সমাধান:
৬৫০ টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৭৩ টাকা
১ টাকার ১ বছরের মুনাফা ২৭৩/(৬৫০ × ৬) টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা (২৭৩ × ১০০)/(৬৫০ × ৬) টাকা
= ৭ টাকা

২,১৭৪.

R ={m, n, l} হলে, P(R) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 6
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

এখানে
R ={m, n, l}
R এর উপাদান সংখ্যা n = 3
P(R) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
= 2³
= 8

২,১৭৫.

নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১৫ কি. মি./ঘণ্টা ও ৫ কি. মি./ঘণ্টা। নদীপথে ৬০ কি. মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে কত?

ক
৬ ঘণ্টা
খ
১২ ঘণ্টা
গ
১০ ঘণ্টা
ঘ
৯ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১৫ কি. মি./ঘণ্টা ও ৫ কি. মি./ঘণ্টা। নদীপথে ৬০ কি. মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার গতি = ১৫ কি. মি./ঘণ্টা
স্রোতের গতি = ৫ কি. মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে গতি = ১৫ + ৫ = ২০ কি. মি./ঘণ্টা
∴ স্রোতের বিপরীতে গতি = ১৫ - ৫ = ১০ কি. মি./ঘণ্টা

∴ যাওয়ার সময় = ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
∴ ফিরে আসার সময় = ৬০/১০ = ৬ ঘণ্টা

∴মোট সময় = ৩ + ৬ = ৯ ঘণ্টা

২,১৭৬.

একজন লোক পূর্ব দিকে n মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ৩ মিনিটে এবং পশ্চিম দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ৩ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত মাইল?

ক
৪৬ মাইল
খ
৩৬ মাইল
গ
২৪ মাইল
ঘ
৩২ মাইল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোক পূর্ব দিকে n মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ৩ মিনিটে এবং পশ্চিম দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ৩ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত মাইল?

সমাধান:
পূর্বের দিকে ৩ মিনিটে যায় = ১ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০/৩ = ২০ মাইল

আবার
পশ্চিম দিকে পূর্বস্থানে ৩ মাইল ফিরে আসে ১ মিনিটে
১ মাইল ফিরে আসে = ১/৩ মিনিটে
∴ ২০ মাইল ফিরে আসে = ২০/৩ মিনিটে

সুতরাং মোট সময় = ৬০ + ২০/৩ = (১৮০ + ২০)/৩ = ২০০/৩ মিনিট
এবং মোট দূরত্ব = ২০ + ২০ = ৪০ মাইল

এখন,
সে ২০০/৩ মিনিটে যায় = ৪০ মাইল
∴ ১ মিনিটে যায় = (৪০) ÷ (২০০/৩) মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = (৪০ × ৬০) ÷ (২০০/৩) মাইল
= ৪০ × ৬০ × (৩/২০০)
= ৩৬ মাইল

২,১৭৭.

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০০ বর্গ সেমি
খ
৯০ বর্গ সেমি
গ
১৩০ বর্গ সেমি
ঘ
১৫০ বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
ক^২ + ক^২ = (২০)^২
⇒ ২ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২ = ২০০
⇒ ক = √২০০
∴ ক = ১০√২

∴ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের, ভূমি = উচ্চতা = ১০√২ সেমি

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, = (১/২ × ১০√২ × ১০√২) বর্গ সেমি
= ১০০ বর্গ সেমি

২,১৭৮.

৪/২৫ এর ২০% = ?

ক
ক) ৪/৭৫
খ
খ) ৩/১২৫
গ
গ) ৪/১২৫
ঘ
ঘ) ৩/১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪/২৫ এর ২০% = ?

সমাধান:
(৪/২৫) × (২০/১০০)
= (৪/২৫) × (১/৫)
= ৪/১২৫

২,১৭৯.

a + b = c হলে a³ + b³ + 3abc = কত?

ক
a³
খ
b³
গ
c³
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = c হলে a³ + b³ + 3abc = কত?

সমাধান:
a + b = c

a³ + b³ + 3abc = (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab(c) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

২,১৮০.

GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

ক
৯০ উপায়ে
খ
১১০ উপায়ে
গ
১২০ উপায়ে
ঘ
৮০ উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান:
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5!
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।

২,১৮১.

একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ১২ ফুট পানির ওপরে আছে। খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৬৪ ফুট
খ
৭২ ফুট
গ
৯৬ ফুট
ঘ
১০৮ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ১২ ফুট পানির ওপরে আছে। খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মাটির নিচে ও পানিতে আছে = (১/২) + (১/৩)
= ৫/৬ অংশ

তাহলে,
পানির ওপরে আছে = ১ - (৫/৬) অংশ
= (১ - ৫)/৬ অংশ
= ১/৬ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৬ অংশ = ১২
⇒ সম্পূর্ণ অংশ = (১২ × ৬)
= ৭২ ফুট

২,১৮২.

একটি সংখ্যা ৪৪০ থেকে যত বড় ৬৫০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৫৬০
খ
খ) ৫৫০
গ
গ) ৫৪৫
ঘ
ঘ) ৫৪০

ব্যাখ্যা

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪৪০ থেকে ৬৫০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৪৪০+৬৫০)/২
= ১০৯০
= ৫৪৫

২,১৮৩.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ছাড়া অন্য দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ০.২ মিটার এবং ০.৩ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ০.০৬ বর্গমিটার
খ
খ) ০.০৩ বর্গমিটার
গ
গ) ০.০৫ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ০.০১ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ০.২ × ০.৩
= ০.০৩ বর্গমিটার

২,১৮৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
১০ সে.মি.
খ
৬ সে.মি.
গ
১২ সে.মি.
ঘ
৮ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ এবং উচ্চতা ১০ সে.মি.। যদি ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গ সে.মি.
উচ্চতা = ১০ সে.মি.

সমান্তরাল বাহু দুটির অনুপাত ২ : ৩
ধরি, ছোট বাহু = ২ক এবং বড় বাহু = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির যোগফল) × উচ্চতা
⇒ ১০০ = (১/২) × (২ক + ৩ক) × ১০
⇒ ১০০ = (১/২)× ৫ক × ১০
⇒ ১০০ = ৫ক × ৫
⇒ ১০০ = ২৫ক
⇒ ক = ১০০/২৫ = ৪
∴ ক = ৪

অতএব, ছোট সমান্তরাল বাহু = ২ক = ২ × ৪ = ৮ সে.মি.

২,১৮৫.

0.3 × 30 ÷ 10 = কত?

ক
ক) .09
খ
খ) 0.9
গ
গ) 0.009
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

0.3 × 30 ÷ 10
= 9 ÷ 10
= 0.9

২,১৮৬.

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৩/৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৩৬
খ
২৪
গ
৬০
ঘ
৪৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১২ এবং ল.সা.গু. ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৩/৫ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু. = ১২
ল.সা.গু. = ১৮০

ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ৩ক/৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ক × ৩ক/৫ = ১২ × ১৮০
⇒ ৩ক^২/৫ = ২১৬০
⇒ ক^২ = (২১৬০ × ৫)/৩
⇒ ক^২ = ৭২০ × ৫
⇒ ক = √ ৩৬০০
∴ ক = ৬০

সুতরাং, বড় সংখ্যা = ৬০
এবং ছোট সংখ্যা = (৩/৫) × ৬০ = ৩৬

২,১৮৭.

4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

ক
16 টি
খ
64 টি
গ
32 টি
ঘ
128 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান:
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 মিটার
∴ ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 মিটার

গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= (4)³ /(1)³
= 64/1
= 64

∴ গোলক বানানো যাবে = 64 টি।

২,১৮৮.

একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ৪২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৫৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
১০০ মিটার
খ
১২০ মিটার
গ
১৩০ মিটার
ঘ
১৫০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ৪২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম ৫৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
এখানে,
৩৬ কিলোমিটার = ৩৬০০০ মিটার
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড

৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ড অতিক্রম করে = ৩৬০০০/৩৬০০ মিটার
∴ ৫৫ সেকেন্ড অতিক্রম করে = (৩৬০০০ × ৫৫)/৩৬০০ মিটার
= ৫৫০ মিটার

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দের্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ৫৫০ মিটার
⇒ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (৫৫০ - ৪২০) মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৩০ মিটার।

সুতরাং, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১৩০ মিটার।

২,১৮৯.

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

ক
৭
খ
৬
গ
৫
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৩৫ ও ৬৩ এর গ.সা.গু ই হবে নির্ণেয় দ্বিতীয় সংখ্যা

এখন,
৩৫ = ৫ × ৭
৬৩ = ৭ × ৯
৩৫ ও ৬৩ এর গ.সা.গু = ৭
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৭ ।

২,১৯০.

যদি p³ + q³ = 280 এবং p + q = 10 তবে pq এর মান কত?

ক
42
খ
36
গ
28
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p³ + q³ = 280 এবং p + q = 10 তবে pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 10 এবং
⇒ p³ + q³ = 280
⇒ (p + q)³ - 3pq(p + q) = 280
⇒ 10³ - 3pq × 10 = 280
⇒ 1000 - 30pq = 280
⇒ 30pq = 1000 - 280
⇒ 30pq = 720
⇒ pq = 720/30
∴ pq = 24

২,১৯১.

(3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(5, 2)
খ
(6, 2)
গ
(6, 3)
ঘ
(6, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1)
4x + 3y = 33 ...... (2)

{(1) × 3} - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই,
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66
∴ x = 6

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
∴ y = 3

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,১৯২.

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৫৫ । প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৫২ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

ক
৫৫
খ
৪৬
গ
৪৯
ঘ
৪৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৫৫ । প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৫২ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ৫৫
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৫৫ × ২)
= ১১০

আবার,
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৫২
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৫২ × ৩)
= ১৫৬

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (১৫৬ - ১১০)
= ৪৬

২,১৯৩.

কোন সংখ্যার ০.১˙ ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ১.০ হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১০
খ
খ) ৯
গ
গ) ৯০
ঘ
ঘ) ১০০

ব্যাখ্যা

ধরি,সংখ্যাটি ক। এখানে, ০.১˙ = ১/৯ এবং ০.১ = ১/১০
প্রশ্নমতে, ক/৯-ক/১০ = ১
বা, (১০ক-৯ক)/৯০ = ১
∴ ক = ৯০

২,১৯৪.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 9 এবং সপ্তম পদ 60 হলে 17 তম পদটি কত?

ক
141
খ
150
গ
163
ঘ
159

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 9 এবং সপ্তম পদ 60 হলে 17 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 9
সুতরাং, ৭ম পদ = a + (7 – 1)d
বা, 60 = a + 6 · 9
বা, a = 60 – 54
বা, a = 6

∴ 17 তম পদ = a + (17 – 1)d
= 6 + 16 × 9
= 150

২,১৯৫.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৮৪ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ২১ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ২৪
খ
খ) ২৮
গ
গ) ৩৫
ঘ
ঘ) ৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৮৪ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ২১ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
২১ × অপর সংখ্যা = ৮৪ × ৭
অপর সংখ্যা = (৮৪ × ৭)/২১
= ২৮

২,১৯৬.

A = 30° হলে, cos(3A/2) = কত?

ক
1/√2
খ
1/2
গ
√3/2
ঘ
√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = 30° হলে, cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 30°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 30°)/2}
= cos(90/2)
= cos45°
= 1/√2

২,১৯৭.

If a 30 m ladder is placed against a 15 m wall such that it just reaches the top of the wall, then the elevation of the wall is equal to -

ক
5^°
খ
10^°
গ
20^°
ঘ
30^°

ব্যাখ্যা

Question: If a 30 m ladder is placed against a 15 m wall such that it just reaches the top of the wall, then the elevation of the wall is equal to -

Solution:

Here,
Ladder, AC = 30m
Wall, AB = 15m
∠ACB = θ =?

sinθ = AB/AC [ sinθ = লম্ব/অতিভুজ ]
⇒ sinθ = 15/30
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30^°

∴ θ = 30^°

২,১৯৮.

৫০০ টাকার একটি বই ৩০% কমিশনে বিক্রয়মূল্য কত?

ক
ক) ৩০০
খ
খ) ৩৫০
গ
গ) ৪০০
ঘ
ঘ) ৪৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০০ টাকার একটি বই ৩০% কমিশনে বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমিশন ৩০ টাকা
১ টাকায় কমিশন ৩০/১০০ টাকা
৫০০ টাকায় কমিশন (৩০ × ৫০০)/১০০ টাকা
= ১৫০ টাকা

বইটির বিক্রয়মূল্য = (৫০০ - ১৫০) টাকা
= ৩৫০ টাকা

২,১৯৯.

2x - 1 > 3x - 2 এর সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, 1)
খ
(- 1, ∞)
গ
[1, ∞)
ঘ
[- ∞, 1]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 1 > 3x - 2 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - 1 > 3x - 2
⇒ 2x - 1 - 3x + 1 > 3x - 2 - 3x + 1
⇒ - x > - 1
⇒ x < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, 1)

২,২০০.

একটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ধারার প্রথম পদ, শেষ পদ অপেক্ষা 22 কম। ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক
11 টি
খ
12 টি
গ
13 টি
ঘ
14 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার ধারার প্রথম পদ, শেষ পদ অপেক্ষা 22 কম। ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
তাহলে, শেষ পদ = a + 22
সাধারণ অন্তর = 2 (ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার অন্তর 2)

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(a + 22 - a)/2} + 1
= (22/2) + 1
= 11 + 1
= 12