গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8 
= 12 + 88 
= 100

(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) - 48
= (x+2) (x+5) (x+3) (x+4) - 48
= (x² + 7x + 10) (x² + 7x + 12) - 48

ধরি,
x² + 7x = a

তাহলে,
(a + 10) (a + 12) - 48
= a² + 12a + 10a +120 - 48
= a² + 22a +72
= a² + 18a + aa + 72
= a(a+18) + a(a+18)
= (a+4) (a+18)
= (x² + 7x + 4) (x² + 7x + 18)

প্রশ্ন: ১০ টি ভেড়ার মূল্য ৩ টি গরুর মূল্যের সমান। ২ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০ টাকা হলে ৫ টি ভেড়ার মূল্য কত?

সমাধান:
২ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০ টাকা
১ টি গরুর মূল্য ১০০,০০০/২ টাকা
৩ টি গরুর মূল্য (১০০,০০০ × ৩)/২
= ১৫০,০০০ টাকা

 ১০ টি ভেড়ার মূল্য ১৫০,০০০ টাকা
১ টি ভেড়ার মূল্য ১৫০,০০০/১০ টাকা
৫ টি ভেড়ার মূল্য (১৫০,০০০ × ৫)/১০
=৭৫,০০০ টাকা

2/11 = 0.18
3/11 = 0.27
2/13 = 0.15
4/15 = 0.27

 সবচেয়ে ছোট = 2/13

যেহেতু, ৫টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবার নিয়ে বানাতে বলা হয়েছে
সুতরাং, ৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₁ = 5
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₂ = 20
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₃ = 60
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₄ = 120
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₅ = 120
মোট সংকেত সংখ্যা = ৫ + ২০ + ৬০ + ১২০ + ১২০ = ৩২৫

প্রশ্ন: রেখা y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0)থেকে লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
রেখা y = 2x + 3 কে সাধারণ আকারে লিখি:
⇒ 2x - y + 3 = 0

উৎপত্তি (0, 0) থেকে দূরত্ব সূত্র:
⇒ d = ( ∣Ax ​+ By ​+ C∣ ​) / √(A² + B²)

এখানে A = 2, B = -1, C = 3, (x₀, y₀) = (0, 0)
⇒ d = ( ∣2 × 0 - 1 × 0 + 3∣​ ) / √(4² + (-1)²)
⇒ d = 3 / √5

∴ y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0) থেকে লম্ব দূরত্ব 3/√5 

প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 3 হলে, a² - ab + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 4 এবং ab = 3

প্রদত্ত রাশি, 
a² - ab + b²
= a² + b² - ab
= (a + b)² - 2ab - ab
= (a + b)² - 3ab
= 4² - (3 × 3)
= 16 - 9
= 7

প্রশ্ন: ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, একটি অপরটির সম্পূরক কোণ হয়।
∴ ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০° = ১১০°

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
2 + 6 + 18 + 54 + …

এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3ⁿ - 1)/(3 - 1) ; [এখানে a = 2, r = 3]
= 2 × (3ⁿ - 1)/2
= (3ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক ।

প্রশ্ন: (a²b³)/(c²d) কে (a³b²)/(cd³) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রতি ডজন কলা ৪৮ টাকায় কিনলে একটি কলার ক্রয়মূল্য = ৪৮/১২ = ৪ টাকা
৪ টাকায় কেনা ১ টি কলা ২৫% লাভে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য হবে = ৪ + ৪×২৫/১০০ =  ৫ টাকা

সুতরাং, ৫০ টাকায় বিক্রি করতে হবে ৫০/৫ = ১০ টি কলা 

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar^{(n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)^(n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে মি এবং উচ্চতা ৯ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৯ সে.মি.  

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ৯)
= ২π × ৫২
= ১০৪π বর্গ সে.মি.

মোট বল (১০ + ১৫ + ৯) বা, ৩৪
বলটি লাল হবার সম্ভাবনা ৯/৩৪

প্রশ্ন: a + b = √7, a - b = √3 হলে, 8ab(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
a - b = √3

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√7)² - (√3)²} × {(√7)² + (√3)²}
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

১০৬ টাকায় কমাতে হবে ৬ টাকা।
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে = (৬ X ১০০) / ১০৬ টাকা।
= ৫.৬৬ টাকা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 10 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 10
= 220 বর্গসেমি

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ: 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

এখন,
P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² − ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
a² + ab + b² = 4

এখন, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
বা, (a²)² + 2 . a² . b² + (b²)² − a² . b² = 8
বা, (a² + b²)²  − (ab)² = 8
বা, (a² + b² + ab)(a² + b² − ab) = 8
বা, 4(a² − ab + b²) = 8
বা, (a² − ab + b²) = 8/4
∴ a² − ab + b² = 2

প্রশ্ন: কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩....., √৩ = ১.৭৩২....... ইত্যাদি। 

এখন, অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ১৬/২৫ = ০.৬৪
এটি একটি ভগ্নাংশ, এবং এটি মূলদ সংখ্যা। 

খ) √১২১ = ১১ ; এটি মূলদ সংখ্যা।

গ) ৩√৪/২
= (৩ × ২)/২
= ৩  ; এটি মূলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নাই। 

সুতরাং, সঠিক উত্তর কোনটিই নয়। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 250 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 25 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 250 বর্গ একক
একটি সন্নিহিত বাহু = 25 একক
 ধরি, অপর বাহু = x একক

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  250 = (1/2) × (25 × x) 
⇒  x = (250 × 2)/25
⇒  x = 10 × 2
∴ x = 20 একক 

∴ নির্ণেয় বাহু = 20 একক।