গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3r হয়, তবে তার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ = 3r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³
= (4/3) × π(3r)³
= (4/3) × π × 27 × r³
= 36πr³ 

প্রশ্ন: ৩/৭, ৪/৫, ২/৩৫  এর গ. সা. গু কত?

সমাধান:
এখানে,
ভগ্নাংশের লবগুলো হলো = ৩, ৪, ২
ভগ্নাংশের হরগুলো হলো = ৭, ৫, ৩৫
এখানে,
৩, ৪, ২ লবগুলোর গ. সা. গু = ১
৭, ৫, ৩৫ হরগুলোর ল. সা. গু = ৩৫


আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ. সা. গু = লবগুলোর গ. সা. গু/হরগুলোর ল. সা. গু
= ১/৩৫

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: আলীর এর কাছে ৫২০ টাকা আছে। এর সাথে কত টাকা যোগ করলে সে সমস্ত টাকাকে ৪, ৫ অথবা ৬ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দিতে পারবে?

সমাধান:
৪, ৫, ৬ এর লসাগু = ৬০

৫২০ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৪০ থাকে।

∴ যোগ করতে হবে = ৬০ - ৪০ = ২০  

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যা থেকে যথাক্রমে ৪০% ও ২৫% কম। প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যাটির তুলনায় শতকরা কত ছোট?

সমাধান:
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি = ১০০
সুতরাং ১ম সংখ্যাটি = ১০০ - ৪০ = ৬০
এবং ২য় সংখ্যাটি = ১০০ - ২৫ = ৭৫

প্রথম সংখ্যাটি ছোট ৭৫ - ৬০ = ১৫

৭৫ তে কম ১৫
∴ ১ তে কম ১৫/৭৫
∴ ১০০ তে কম (১৫ × ১০০)/৭৫ = ২০

∴ শতকরা ছোট = ২০%

এখানে,
এসিড : পানি = ৩ : ১ তাহলে এসিডের পরিমাণ
= ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৬
বা, ক = ৮ লিটার।

প্রশ্ন: Log _2√2x = 4 হলে x = ?

সমাধান:
Log _2√2x = 4
⇒ Log _2√2x = 4
⇒ x = (2√2)⁴
⇒ x = 2⁴ (√2)⁴
⇒ x = 2⁴ {(√2)²}²
⇒ x = 16 × 2²
⇒ x = 16 × 4
∴ x = 64

প্রশ্ন:
 


সমাধান:

সঠিক উত্তর: ক 

ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ক্ষেত্রফল = 16/4 √(4 × 10² - 16²)
= 4 √(400 - 256)
= 4 √144
= 48

প্রশ্ন: a² - 4a, a² - 16 এবং a² - 7a + 12 বীজগণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - 4a
= a(a - 4)

২য় রাশি = a² - 16
= a² - 4²
= (a + 4)(a - 4)

৩য় রাশি = a² - 7a + 12
= a² - 3a - 4a + 12
= a(a - 3) - 4(a - 3)
= (a - 3)(a - 4)

নির্ণেয় গ.সা.গু = a - 4

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 33 তম পদ = a + (33 - 1)d
= 135 + 32 × 15
= 135 + 480
= 615

সুতরাং, ধারাটির 33 তম পদ হলো 615

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

সমাধান:
3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে {x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x= 3
⇒ (x + 1/x)² = 3²
⇒ x² + 2 . x . (1/x) + 1/x² = 9
⇒ x² + 1/x² = 9 - 2
∴ x² + 1/x² = 7

আবার,
x² + 1/x² = 7
⇒ {x² + (1/x²)}² = 7²
⇒ (x²)² + 2 . x² . (1/x²) + (1/x²)² = 49
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 49 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 47

সুতরাং,
{x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} = 7 × 47 = 329

অনুপাতদ্বয়ের বিয়োগফল ৭-১ = ৬
দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় পানি ১ লিটার হলে
∴ দুধের পরিমাণ ১২ লিটার বেশি হয় পানি (১X১২)/৬ লিটার=২ লিটার

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯,১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি।
এখানে, ৩ = ১ × ৩
৪ = ১ × ২ × ২
যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই সুতরাং (৩, ৪) পরস্পর সহ-মৌলিক।

মনে করি,
১০ টি ডিমের ক্রয়মূল্য x টাকা
∴ ১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য x/১০ টাকা
আবার,
১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = x/৮ টাকা
∴ লাভ = (x/৮) - (x/১০) = x/৪০ টাকা
x/১০ টাকায় লাভ হয় ২x/৪০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (x × ১০ × ১০০)/(৪০ × x)
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে ৮০/(১৫+৫) = ৪ ঘন্টা
এবং স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগবে ৮০/(১৫-৫) = ৮ ঘন্টা।
সুতরাং, যেতে আসতে মোট সময় লাগবে ৪+৮ = ১২ ঘন্টা।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৩ টাকা হারে সরল সুদে ১৮০০ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ১৮০০ টাকা
সুদের হার, R = ৩% = ৩/১০০
সময়, N = ২ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = PNR
= (১৮০০ × ২ × ৩)/১০০ 
= ১৮ × ৬
= ১০৮

∴ সুদ-আসল = I + p = (১০৮ + ১৮০০) টাকা 
= ১৯০৮ টাকা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ভাগশেষ ৮ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু।
সুতরাং ১২, ১৮, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু এর সাথে ভাগশেষ ৮ যোগ করলে নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ:
১২ = ২^২ × ৩
১৮ = ২ × ৩^২
২৪ = ২^৩ × ৩
৩২ = ২^৫

ল.সা.গু = ২^৫ × ৩^২ = ২৮৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ভাগশেষ
= ২৮৮ + ৮
= ২৯৬

প্রশ্ন: 8x - by - 9 = 0 এবং 4x + 3y + 2 = 0 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x - by - 9 = 0
⇒ by = 8x + 9
∴ y = (8/b)x + (9/b)
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 8/b ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে] 

আবার, 
4x + 3y + 2 = 0
⇒ 3y = - 4x - 2
∴ y = (- 4/3)x - 2/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = - 4/3

আমরা জানি, 
সমান্তরাল হওয়ার শর্ত - দুটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হবে।
অর্থাৎ, m₁ = m₂
​⇒ 8/b = - 4/3
​⇒ - 4b = 24
​⇒ b = 24/- 4
∴ b = - 6

সুতরাং, b এর মান - 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 88 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 88 সে.মি. 

প্রশ্নমতে,
2πr = 88
⇒ r = 88/2π
⇒ r = 88/{2 × (22/7)}
⇒ r = (88 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 14

অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি.

১০% বৃদ্ধিতে লোকসংখ্যা হবে = ১০০+১০ = ১১০ জন।

বর্তমানে ১১০ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
বর্তমানে ১ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০/১১০ জন
বর্তমানে ১৬৫০ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ × ১৬৫০/১১০ জন।
= ১৫০০ জন।

এখানে -2<= x <=2……. (1)
and 3<= y <=8………..(2)
(2)-(1) হতে পাই, 5 <= y - x <= 6.

আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 80° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°- 80°)
= 1/2 × 100°
= 50°

a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + (b²)² + 2.a².b² - (ab)²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)

প্রশ্ন: একটি শিক্ষার্থী ৬টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেল করার উপায়,
= ⁶C₁ + ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆
= (6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1)
= 63

ধরি,
তিশার বয়স ৫ক বছর এবং আশার ৪ক বছর।
শর্তমতে, ৫ক = ৩০
বা, ক = ৬
সুতরাং ৪ক = ৪×৬ = ২৪ বছর।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি প্রতি 100 পিস পিঠা 35 টাকা দরে কিনে প্রতি ডজন পিঠা 7.20 টাকা দরে বিক্রয় করে 30 টাকা লাভ করলো। সে কতগুলো পিঠা কিনেছিলো?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 ডজন = 12
12 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20 টাকা
∴ 1 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = 7.20/12 টাকা
∴ 100 টি পিঠার বিক্রয়মূল্য = (7.20 × 100)/12 = 60 টাকা

∴ লাভ হয় = 60 - 35 = 25 টাকা

এখন,
25 টাকা লাভ হয় = 100 টি পিঠায়
∴ 1 টাকা লাভ হয় = 100/25 = 4টি পিঠায়
∴ 30 টাকা লাভ হয় = 30 × 4 = 120 টি পিঠায়

সুতরাং, সে পিঠা কিনেছিলো 120 টি। 

মোট নমুনা বিন্দু = ৬, ২ থেকে বড় সংখ্যার অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ৪
∴ সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

প্রশ্ন: চারটি সাইরেন একত্রে বেজে যথাক্রমে ২৫, ৩০, ৪০ ও ৪৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২৫ = ৫^২
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২^৩ × ৫
৪৫ = ৩^২ × ৫

∴ ল.সা.গু. = ২^৩ × ৩^২ × ৫^২
= ১৮০০ সেকেন্ড

আমরা জানি, ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট।
∴ সময় = ১৮০০/৬০ মিনিট = ৩০ মিনিট।

∴ ৩০ মিনিট পরে সাইরেনগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।