গাণিতিক যুক্তি

মনে করি ΔABC এর ∠X + ∠Y + ∠Z = (∠A + ∠B + ∠A + ∠C + ∠B + ∠C)
= 2(∠A + ∠B + ∠C) = 2 × 180° = 360°

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৯ এবং ঢাকা থেকে বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৩/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৯
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৯)
= ৪/৯

 ঢাকা থেকে বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ৩/৮

 ∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৮)
= ১২/৭২
= ১/৬

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀(10) = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5(5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴  x = 3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 - 1} = ar² = 45 ………(1)
ষষ্ঠ পদ, ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1215 ………(2)

(2) ÷ (1) করলে,
ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3

এখন (1)-এ r এর মান বসাই,
a × 3² = 45
⇒ a × 9 = 45
∴ a = 45/9 = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = 5 

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১২ বৎসরে সুদে-আসলে ৭ গুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৭ গুণ = ৭x টাকা 
∴ সুদ = (৭x - x) টাকা 
= ৬x টাকা 

x টাকার ১২ বৎসরের সুদ = ৬x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ৬x/(x × ১২) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (৬x × ১০০)/(x × ১২) টাকা 
= ৫০ টাকা 

∴ সুদের হার = ৫০% ।

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

সঞ্চয় = ৫০০০ - ৪৫০০ = ৫০০ টাকা।
∴ আয় ∶ সঞ্চয় = ৫০০০ ∶ ৫০০ = ১০ ∶ ১

প্রশ্ন: 5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 5x - 3 ≤ 12
⇒ 5x - 3 + 3 ≤ 12 + 3
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/5
∴ x ≤ 3

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে:

সমাধান: 
প্রদত্ত সমীকরণ,
f(x) = 2x² + 3x + 1
এখন, f(x) = ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 2, b = 3 এবং c = 1

যদি a > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির (দ্বিঘাত ফাংশনের) ক্ষুদ্রতম মান = c - (b²/4a)
= 1 - {3²/(4 × 2)}
= 1 - (9/8)
= (8 - 9)/8
= - 1/8

ASTRAZENECA শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 3 টি A এবং 2 টি E বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
সুতরাং সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 11!/3!2!

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

সমাধান:
মনেকরি,
চিনির মূল্য ১০০ টাকা
১০% কমে চিনির মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা

বর্তমান মূল্য ৯০ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকায় পূর্বমূল্য = ১০০/৯০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকায় পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/৯০
= ১১১(১/৯) টাকা

∴ চিনির ব্যবহার বাড়াতে হবে = [(১০০০/৯) - ১০০]%
= (১০০/৯)%
​= ১১.১১%

২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
এখন,
৬০)৯৯৯৯৯৯(১৬৬৬৬
       ৯৯৯৯৬০
              ৩৯
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৩৯ = ২১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 14a² + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 14a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 14a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 14
⇒ a² + (1/a²) = 14
⇒ {a + (1/a)}² - 2 . a . (1/a) = 14 
⇒ (a + 1/a)² = 14 + 2
⇒ a + (1/a) = √16
∴ a + (1/a) = ± 4

প্রশ্ন: 2cosθ = 2 হলে, sin²θ এর মান কত?

সমাধান:
2cosθ = 2
⇒ cosθ = 2/2
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°

এখন
sin²θ
=(sin0°)²
=(0)²
= 0

প্রশ্ন: p³ - 9 + (p + 1)³ রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p³ - 9 + (p + 1)³
p³ - 9 + p³ + 3p² + 3p + 1
= 2p³ + 3p² + 3p - 8
= 2p³ - 2p² + 5p² - 5p + 8p - 8
= 2p²(p - 1) + 5p(p - 1) + 8(p - 1)
= (p - 1)(2p² + 5p + 8)

১ম রেখার ঢাল = -(1/1) = -1,
২য় রেখার ঢাল = -(1/-1) = 1
ঢালদ্বয়ের গুণফল = (-1)(1) = -1
∴ রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব; ফলে ত্রিভূজটি সমকোণী ত্রিভূজ।

প্রশ্ন: ৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৮C_৪ = (৮)!/(৪!(৮ - ৪)!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪! )/(৪ × ৩ × ২ × ১  × ৪!) 
= ২  × ৭  × ৫ 
= ৭০ 

সুতরাং, সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

 আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে আপেল কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

আবার,
২টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আপেলের ক্রয়মূল্য ১/২ টাকা

∴ লাভ = (১/২ – ১/৩) টাকা
= (৩ - ২)/৬ টাকা
= ১/৬ টাকা

এখন,
১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩ × ১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা

 ∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

মনে করি, f(x) = 18x³ + 15x² - x - 2

x = - 1/2 এর জন্য f(x) = 0 হয়,

f(-1/2) = 18 × (-1/2)³ + 15 × (-1/2)² - (-1/2) - 2
= 18 × (-1/8) + 15 × (1/4) + (1/2) - 2
= - (9/4) + (15/4) + (1/2) - 2
= (- 9 +15 +2 - 8) / 4
= 0/4
= 0

∴ x - ( -1/2) = (1/2)(2x + 1), অর্থাৎ (2x + 1) হচ্ছে f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

সমাধান:
√০.৩ = ০.৫৪
 ০.৩ = ০.৩
১/৩ = ০.৩৩
১/৫ = ০.২

সুতরাং, √০.৩ সংখ্যাটি বৃহত্তম। 

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

প্রশ্ন: কোনো শহরের জনসংখ্যা ১২০০০০ জন। যদি জনসংখ্যা বার্ষিক ৫% হারে বৃদ্ধি পায়, তবে ২ বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
বর্তমান জনসংখ্যা, P = ১২০০০০ জন 
সময়, n = ২ এবং r = ৫%

n বছর পরের জনসংখ্যা = P{1 + (r/100)}ⁿ
= ১২০০০০ × {১ + (৫/১০০)}^২ জন
= ১২০০০০ × (১০৫/১০০)^২ জন
= ১২০০০০ × (১০৫/১০০) × (১০৫/১০০) জন
=  ১৩২৩০০ জন

প্রশ্ন: ১২টি হাঁসের মূল্য ৪টি মুরগির মূল্যের সমান। ৩টি মুরগির মূল্য ২৭০০ টাকা হলে ৮টি হাঁসের মূল্য কত?

সমাধান:
৩টি মুরগির মূল্য ২৭০০ টাকা
১টি মুরগির মূল্য ২৭০০/৩ টাকা
∴ ৪টি মুরগির মূল্য = (২৭০০ × ৪)/৩ টাকা 
= ৩৬০০ টাকা

১২টি হাঁসের মূল্য ৩৬০০ টাকা
∴ ১টি হাঁসের মূল্য ৩৬০০/১২ টাকা
∴ ৮টি হাঁসের মূল্য (৩৬০০ × ৮)/১২ টাকা
 = ২৪০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৭ গুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি, বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর।
তাহলে, বর্তমানে পিতার বয়স = (৬০ - ক) বছর।

১০ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = (ক - ১০) বছর।
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৬০ - ক - ১০)
= (৫০ - ক) বছর।

প্রশ্নমতে,
৫০ - ক = ৭(ক - ১০)  
⇒ ৫০ - ক = ৭ক - ৭০  
⇒ ৫০ + ৭০ = ৭ক + ক  
⇒ ১২০ = ৮ক  
⇒ ক = ১২০/৮  
⇒ ক = ১৫

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর।
পিতার বর্তমান বয়স = ৬০ - ১৫ = ৪৫ বছর।

সুতরাং, বর্তমানে পুত্রের বয়স ১৫ বছর এবং পিতার বয়স ৪৫ বছর।

প্রশ্ন: x³ - 3xy² + 2y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন- 

সমাধান:
এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
 ধরি, f(x) = x³ - 3xy² + 2y³
তাহলে, f(y) = y³ - 3y . y² + 2y³ = 3y³ - 3y³ = 0 
∴ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³ - 3xy² + 2y³
= x³ - x²y + x²y - xy² - 2xy² + 2y³
 = x²(x - y) + xy(x - y) - 2y²(x - y)
= (x - y)(x² + xy - 2y²)

প্রশ্ন: 20 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 4 গুণ ছিলো। 4 বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি, 
পিতার বর্তমান বয়স = a বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = b বছর

১ম শর্তানুসারে,  a - 20 = 4(b - 20)
⇒ a - 20 = 4b - 80
⇒ a = 4b - 60 ........ (1)

২য় শর্তানুসারে, a + 4 = 2(b + 4)
⇒ 4b - 60 + 4 = 2b + 8
⇒ 4b - 2b = 8 + 56
⇒ 2b = 64
∴ b = 32
অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স = 32 বছর

ধরি, মীমের বর্তমান বয়স x বছর
রিনার বর্তমান বয়স (x + ১০) বছর
প্রশ্নমতে,
২(x + ৭) = x + ১০ + ৭
⇒ ২x + ১৪ = x + ১৭
⇒ ২x - x = ১৭ - ১৪
∴ x = ৩
অতএব, রিনার বর্তমান বয়স (১০ + ৩) বা ১৩ বছর।

প্রশ্ন: কোনটি বাস্তব সংখ্যা নয়?  

সমাধান: 
খ) √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়। 
কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা।
অর্থাৎ,
√- ১৬ 
= √(১৬ × i^২)
= ৪i  ; যা একটি অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা। 

প্রশ্ন: কোন কোণকের উচ্চতা 15 সে.মি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি হলে কোণকটির তির্যক উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণকের উচ্চতা, h = 15 সে.মি
এবং
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি 

আমরা জানি, 
কোণকের তির্যক উচ্চতা, l = √(h² + r²) একক
= √(15² + 8²) সে.মি
= √(225 + 64) সে.মি
= √(289) সে.মি
= 17 সে.মি

∴ কোণকের তির্যক উচ্চতা = 17 সে.মি।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের যোগফল ৮৪০ । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক
বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক = ৮৪০
⇒ ৭ক = ৮৪০
⇒ ক = ৮৪০/৭
⇒ ক = ১২০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ১২০ = ৪৮০