গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কামরুল সাহেব ২০০০০ টাকা একটি সঞ্চয়পত্রে জমা রাখলেন। ৬ বছর পর তিনি আসল টাকার ৩/৫ অংশ সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
আসল টাকা, P = ২০০০০ টাকা
সময়, n = ৬ বছর
সুদ = (৩/৫) × ২০০০০ = ১২০০০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
SI = (P × r × n)/১০০
⇒ ১২০০০ = (২০০০০ × r × ৬)/১০০
⇒ ১২০০০ = (১২০০০০ × r)/১০০
⇒ ১২০০০ × ১০০ = ১২০০০০ × r
⇒ ১২০০০০০ = ১২০০০০ × r
⇒ r = ১২০০০০০/১২০০০০
⇒ r = ১২০/১২০
∴ r = ১০

∴ সুদের হার ১০%

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

২০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০০ - ১৮০) = ২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (২০×১০০) / ২০০ = ১০ টাকা

গাছটির বর্তমান উচ্চতা = P
ধরি,
n বছর আগে গাছটির উচ্চতা = Q
প্রশ্নমতে,
P = Q (1 + r/100)ⁿ
» Q = P/(1 + r/100)ⁿ

অর্থ্যাৎ, n বছর আগে গাছের উচ্চতা ছিল = P/(1 + r/100)ⁿ

প্রশ্ন: 5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ। 10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ। খ-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর বর্তমান বয়স = x বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = y বছর

প্রথম শর্তমতে,
5 বছর আগে ক-এর বয়স ছিল খ-এর বয়সের 3 গুণ
⇒ x - 5 = 3(y - 5)  
⇒ x - 5 = 3y - 15
∴ x = 3y - 10 ……… (1)

দ্বিতীয় শর্তমতে,
10 বছর পর ক-এর বয়স হবে খ-এর বয়সের দ্বিগুণ
⇒ x + 10 = 2(y + 10)
⇒ (3y - 10) + 10 = 2(y + 10) ; [1 নং হতে]
⇒ 3y = 2y + 20
⇒ 3y - 2y = 20
∴ y = 20

সুতরাং খ-এর বর্তমান বয়স = 20 বছর

প্রশ্ন: 9x² - (x - y)² = কত? 

সমাধান: 
9x2 - (x - y)2 
= (3x)2 - (x - y)2 
= {3x + (x - y)}{3x - (x - y)} 
= (3x + x - y)(3x - x + y) 
= (4x - y)(2x + y)

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার দ্বিতীয়টি হলো প্রথমটির দ্বিগুণ এবং তৃতীয়টির তিনগুণ। তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪ হলে, সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ক
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ক/২ এবং তৃতীয় সংখ্যাটি = ক/৩
দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় ৪৪
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = ৪৪ × ৩ = ১৩২

 শর্তমতে, ক + (ক/২) + (ক/৩) = ১৩২
⇒ (৬ক + ৩ক + ২ক)/৬ = ১৩২
⇒ ১১ক/৬ = ১৩২ 
⇒ ক = (১৩২ × ৬)/১১
⇒ ক = ১২ × ৬
⇒ ক = ৭২

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি = ৭২/৩ = ২৪

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোন ১২০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হয়। যদি ক্রয়মূল্য ১৫% কম হতো তাহলে লাভের পরিমাণ কত হতো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ১২০০ টাকা
লাভ = ১৫%

∴ বিক্রয়মূল্য = ১২০০ × (১১৫/১০০) 
= ১২ × ১১৫
= ১৩৮০ টাকা

আবার, 
নতুন ক্রয়মূল্য = ১২০০ এর ৮৫%   ; [১৫% কম]
= ১২০০ × (৮৫/১০০)
= ১২ × ৮৫
= ১০২০ টাকা

∴ নতুন লাভের পরিমাণ = বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য
= ১৩৮০ - ১০২০
= ৩৬০ টাকা

অতএব, ক্রয়মূল্য ১৫% কম হলে লাভের পরিমাণ হবে ৩৬০ টাকা।

৬০ ও ৮০ এর ভিতরে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যথাক্রমে ৭৯ ও ৬১
সংখ্যা ২ টার অন্তর (৭৯-৬১)= ১৮

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা মুনাফার হার ১২.৫ টাকা হলে, ২০,০০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা কত হবে?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ২০,০০০ টাকা,
সময় (n) = ৫ বছর,
মুনাফার হার (r) = ১২.৫

∴ মুনাফা (I) = ?
 
আমরা জানি,
I = Prn/১০০ টাকা
= (২০,০০০ × ৫ × ১২.৫)/১০০ টাকা
= ১২,৫০০ টাকা,

∴ মুনাফা (I) = ১২,৫০০ টাকা।

১০ টাকা মুনাফা হয় ১ বছরে ১০০ টাকায়
১৪০ টাকা মুনাফা হয় ৪ বছরে = (১০০×১৪০) / (১০×৪)
= ৩৫০ টাকা 

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রথম খেলার ফলাফল কোন একটি দলের জন্য জয়, পরাজয় অথবা অমীমাংসিত অর্থাৎ ৩ উপায়ে হতে পারে।
অনুরূপ দ্বিতীয় খেলার ফলাফল ৩ উপায়ে এবং
তৃতীয় খেলার ফলাফলও ৩ উপায়ে হতে পারে।
সুতরাং নির্ণেয় ফলাফলের সংখ্যা = ৩ × ৩ ×‌ ৩
= ২৭ উপায়ে।

প্রশ্ন: ২/৩, ৩/৫ ও ৪/৭ এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = (লব গুলোর ল.সা.গু.)/(হর গুলোর গ.সা.গু.)

এখানে,
লব ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু. = ১২ 
এবং হর ৩, ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু. = ১

∴ ল.সা.গু. = ১২/১ = ১২ 

১ম পদ a = ১৩
সাধারন অন্তর d = ১৭ - ১৩
= ৪
পদ সংখ্যা = (৯৩ - ১৩)/d + ১
= ৮০/৪ + ১
= ২০ + ১
= ২১
∴ সমষ্টি = ২১/২(১৩ + ৯৩)
= (২১ × ১০৬)/২
= ২১ × ৫৩
= ১১১৩

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের ২/৩ অংশের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের যোগফল দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি, কোণটির মান = x°
∴ কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (২/৩) × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ২ × (১৮০° - x°)
বা, ৩x° = ৩৬০° - ২x°
বা, ৩x° + ২x° = ৩৬০°
বা, ৫x° = ৩৬০°
বা, x° = ৩৬০°/৫
∴ x° = ৭২°

∴ কোণটির মান ৭২°।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর ক্ষেত্রফল = a²
২৫% বৃদ্ধিতে বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৫a/১০০ = ৫a/৪
এক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল = (৫a/৪)²
= ২৫a²/১৬

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (২৫a²/১৬) - a²
= (২৫a² - ১৬a²)/১৬
= ৯a²/১৬

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৯a² × ১০০)/১৬a²
= ৫৬.২৫%

প্রশ্ন: একটি ২০ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের 'ক' মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১২ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১২)^২ = (২০)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ১৪৪ = ৪০০
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৪০০ - ১৪৪ = ২৫৬
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √২৫৬ = ১৬

সুতরাং, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ১৬ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 5 + 2√6 
⇒ x² = 3 +  2√6 + 2
⇒ x² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ x² = (√3 + √2)²
∴ x = √3 + √2

এখন, 
 1/x = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x= √3 - √2

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 8 এবং x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {(8/2}² - {(4/2}²
= 4² - 2²
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: কোন একটি পণ্যকে নির্মাতা ৪০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয়, তাহলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্যের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা
নির্মাতা ৪০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ৪০% = ২০০ + ৮০ 
= ২৮০ টাকা

এখন, নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ২৮০ টাকা
আবার,
খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করলে,
বিক্রয়মূল্য = ২৮০ + ২৮০ এর ২০% = ২৮০ + ৫৬ টাকা
= ৩৩৬ টাকা

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 8 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে 77 বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = P

শর্তমতে,
(P/2) + 8 = 3P - 77
⇒ 3P - (P/2) = 77 + 8
⇒ (6P - P)/2 = 85
⇒ 5P/2 = 85
⇒ 5P = 85 × 2
⇒ 5P = 170
⇒ P = 170/5
∴ P = 34

∴ সংখ্যাটি 34 ।

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর পূরক কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
৪৩° + ৪৭° = ৯০°
∴ ৪৩° ও ৪৭° পরস্পর পূরক কোণ। 

এখানে ক্রয়মূল্যের চেয়ে বিক্রয়মূল্যের পরিমাণ কম। তাই ক্ষতি হবে। সুতরাং ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ৫-৪ = ১
সুতরাং শতকরা ক্ষতি = ক্ষতি/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ১/৫ × ১০০
= ২০%