লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি

মোট প্রশ্ন৪৭,৮৩৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৭৯ / ৪৭৫ · ১৭,৮০১–১৭,৯০০ / ৪৭,৮৩৩

১৭,৮০১.
একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 
  1. ক
    24 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    48 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    72 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    96 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং অপর বাহু দু’টির প্রতিটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং ভূমির দৈর্ঘ্য b একক হলে, 
ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a2 - b2)

∴ ক্ষেত্রফল = (16/4){√4(10)2 - (16)2}
= 4 × {√(400 - 256)
= 4 × √144
= 4 × 12
= 48

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.।

১৭,৮০২.
৫০ টাকায় ৬ টি দরে আম ক্রয় করে ৫০ টাকায় ৫ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 
  1. ক
    ১০%
  2. খ
    ১৫%
  3. গ
    ৩০%
  4. ঘ
    ২০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ টাকায় ৬ টি দরে আম ক্রয় করে ৫০ টাকায় ৫ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আম ক্রয় করেছিল = (৫ × ৬) টি 
= ৩০ টি 

৬ টি আমের ক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা 
∴ ১ টি আমের ক্রয়মূল্য = ৫০/৬ টাকা 
∴ ৩০ টি আমের ক্রয়মূল্য = (৫০ × ৩০)/৬ টাকা 
= ২৫০ টাকা 

আবার, 
৫ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ৫০ টাকা 
∴ ১ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ৫০/৫ টাকা 
∴ ৩০ টি আমের বিক্রয়মূল্য = (৫০ × ৩০)/৫ টাকা 
= ৩০০ টাকা 

∴ লাভ = (৩০০ - ২৫০) টাকা 
= ৫০ টাকা 

এখন, 
২৫০ টাকায় লাভ হয় = ৫০ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৫০/২৫০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৫০ × ১০০)/২৫০ টাকা 
= ২০% 

∴ শতকরা লাভ = ২০%।
১৭,৮০৩.
(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২) এর মান কত?
  1. ক
    ক) ৫৫০
  2. খ
    খ) ২০০
  3. গ
    গ) ১২০
  4. ঘ
    ঘ) ৬৬০
ব্যাখ্যা

(.১ × ১.১ × ১.২) / (০.০১ × ০.০২)
= (১/১০ × ১১০/১০০ × ১২০/১০০) / (১/১০০ × ২/১০০)
= ৬৬০

১৭,৮০৪.
একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 180°
  2. খ
    খ) 360°
  3. গ
    গ) 450°
  4. ঘ
    ঘ) 540°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
বাহুর সংখ্যা, n = 5

আমরা জানি,
অন্ত:স্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2)180°
= (5 - 2) x 180°
= 540°
১৭,৮০৫.
একটি পরীক্ষায় ৭০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ৬৫% পরীক্ষার্থী বিজ্ঞানে এবং ৫০% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ১০%
  2. খ
    ১৫%
  3. গ
    ২০%
  4. ঘ
    ৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ৭০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ৬৫% পরীক্ষার্থী বিজ্ঞানে এবং ৫০% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাশ করে = ৭০ - ৫০ = ২০%
শুধু বিজ্ঞানে পাশ করে = ৬৫ - ৫০ = ১৫%
∴ এক বিষয় ও উভয় বিষয়ে পাশ করে = ২০ + ১৫ + ৫০ = ৮৫%

অতএব, উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১০০ - ৮৫ = ১৫%
১৭,৮০৬.
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 এর মান কত?
  1. ক
    42
  2. খ
    28
  3. গ
    52
  4. ঘ
    38
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ca + a2
= 2(a2 + b2 + c2) + 2ab + 2bc + 2ca
= 2{(a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca)
= 2{52 - 2 × 6} + 2 × 6
= 2(25 - 12) + 12
= 2 × 13 + 12
= 26 + 12
= 38

১৭,৮০৭.
কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ভাগ করলে যথাক্রমে ১১, ১৬, ২১ এবং ২৬ ভাগশেষ থাকবে?
  1. ক
    ক) ২৯৬
  2. খ
    খ) ৩০০
  3. গ
    গ) ৩০৪
  4. ঘ
    ঘ) ২৯৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ভাগ করলে যথাক্রমে ১১, ১৬, ২১ এবং ২৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
এখানে,
১৫ - ১১ = ৪ 
২০ - ১৬ = ৪
২৫ - ২১ = ৪
৩০ - ২৬ = ৪

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি  ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু  থেকে ৪ কম 
১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ এর ল.সা.গু  = ৩০০

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০০ - ৪ 
                                   = ২৯৬
১৭,৮০৮.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৪টি
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান: 


দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
চিত্রে AB, CD, EF ও GH চারটি স্পর্শক।

১৭,৮০৯.
এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩ এবং তার মাসিক সঞ্চয় ১০,০০০ টাকা হলে তিনি মাসিক কত টাকা ব্যয় করেন?
  1. ক
    ক) ২০০০০
  2. খ
    খ) ২৫০০০
  3. গ
    গ) ১৫০০০
  4. ঘ
    ঘ) ১০০০০
ব্যাখ্যা

মনে করি, আয় ও ব্যয় যথাক্রমে ৫ক এবং ৩ক
শর্তমতে,
৫ক - ৩ক = ১০০০০
⇒ ২ক = ১০০০০
∴ ক = ৫০০০
∴ ব্যয় = ৩ x ৫০০০ = ১৫০০০ টাকা

১৭,৮১০.
x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    24√7
  2. খ
    112√2
  3. গ
    62√7
  4. ঘ
    58√7
ব্যাখ্যা
x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7

∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7

এখন, x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (2√7)3 + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7

[ বীজগণিত - বীজগাণিতিক সূত্রাবলী ]
১৭,৮১১.
চিত্রানুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজ অন্তর্লিখিত। ∠x = 112° হলে ∠y = ?
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 34°
  3. গ
    গ) 37°
  4. ঘ
    ঘ) 35°
ব্যাখ্যা
BOC ত্রিভুজে বহিঃস্থ ∠AOB = ∠OBC + ∠OCB
∠AOB + x = 180°
∠OBC + ∠OCB + x = 180°
y + y = 180° - x
y = 68/2
y = 34°
১৭,৮১২.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    6 একক
  2. খ
    8 একক
  3. গ
    10 একক
  4. ঘ
    12 একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
 
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr2
 
প্রশ্নমতে,
πr2 = 16π
⇒ r2 = 16
∴ r = 4
 
এখন,
ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = 4 × 2 = 8 একক
১৭,৮১৩.
দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু ১২ এবং ল, সা, গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৬০
  2. খ
    ৫২
  3. গ
    ২৪
  4. ঘ
    ৩৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ, সা, গু ১২ এবং ল, সা, গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল, সা, গু × গ, সা, গু
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = ২৪০ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = ( ২৪০ × ১২)/৪৮
∴ অপর সংখ্যা = ৬০
১৭,৮১৪.
২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হত, তাহলে ৬০০০ টাকা খরচ হত। তাহলে কামরার পরিসীমা কত?
  1. ক
    ক) ৮০ মিটার
  2. খ
    খ) ১০০ মিটার
  3. গ
    গ) ১২০ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১৪০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ২০ মিটার দীর্ঘ একটি কামরার মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে ৭৫০০ টাকা খরচ হয়। যদি ঐ কামরাটির প্রস্থ ৪ মিটার কম হত, তাহলে ৬০০০ টাকা খরচ হত। তাহলে কামরার পরিসীমা কত?

সমাধানঃ
কামরার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার।
প্রস্থ ৪ মিটার কমলে ক্ষেত্রফল কমে = ৪ × ২০ =  ৮০ বর্গ মিটার।
ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গ মিটার কমার জন্য খরচ কমে = ৭৫০০ - ৬০০০ = ১৫০০ টাকা

১৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ বর্গ মিটারে
৭৫০০ টাকা খরচ হয় ৮০ × ৭৫০০/১৫০০ = ৪০০ বর্গ মিটারে
সুতরাং কামরার প্রস্থ = ৪০০/২০ = ২০ মিটার
 
অতএব, কামরার পরিসীমা = ২ ( ২০ + ২০ ) = ২  ×  ৪০ = ৮০ মিটার 
১৭,৮১৫.
ক : খ = ২ : ৩ এবং খ : গ = ৬ : ৭ হলে ক : গ = কত?
  1. ক
    ৪ : ৬
  2. খ
    ৫ : ৭
  3. গ
    ৪ : ৭
  4. ঘ
    ৬ : ৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক : খ = ২ : ৩ এবং খ : গ = ৬ : ৭ হলে ক : গ = কত?

সমাধান: 
ক : খ = ২ : ৩ = ৪ : ৬
খ : গ = ৬ : ৭
ক : খ : গ = ৪ : ৬ : ৭
ক : গ = ৪ : ৭
১৭,৮১৬.
৪৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ১৮%?
  1. ক
    ২২০
  2. খ
    ২৩০
  3. গ
    ২৪০
  4. ঘ
    ২৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ১৮%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ১৮% = ৪৫
বা, ক × (১৮/১০০) = ৪৫
বা, ক = ৪৫ × (১০০/১৮)
∴ ক = ২৫০

∴৪৫ সংখ্যাটি ২৫০ এর ১৮%।
১৭,৮১৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 40
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 100
ব্যাখ্যা
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2x × x
= 2x2
শর্তমতে, 2x2 = 1250
বা, x2 = 625
বা, x = 25
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 25 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 50 মিটার।
১৭,৮১৮.

  1. ক
    15/44
  2. খ
    11/20
  3. গ
    5/8
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৭,৮১৯.
U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) A∪U = U, A∩U = A
  2. খ
    খ) A∪U = A, A∩U = U
  3. গ
    গ) A∪U = { }, A∩U = {0}
  4. ঘ
    ঘ) উপরের কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, A∪U = U, A∩U = A
১৭,৮২০.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
  1. ক
    ৩৫, ২৫
  2. খ
    ২৮, ২০
  3. গ
    ৪৯, ৩৫
  4. ঘ
    ৪২, ৩০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭: ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক এবং ৫ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ১৪০
⇒ ক = ১৪০/৩৫
⇒ ক = ৪

সুতরাং, প্রথম সংখ্যাটি = ৭ × ৪ = ২৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৫ × ৪ = ২০

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ২৮ ও ২০

১৭,৮২১.
বিমল স্রোতের অনুকূলে নৌকা চালিয়ে ৪০ মিটার/মিনিট বেগে ১৫ মিনিটে তার গন্তব্যে পৌঁছায়। আর স্রোতের প্রতিকূলে ৫০ মিনিটে পূর্বের জায়গায় ফেরত আসে। স্রোতের গতিবেগ মিনিটে কত মিটার?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৪
  4. ঘ
    ১৫
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বিমল স্রোতের অনুকূলে নৌকা চালিয়ে ৪০ মিটার/মিনিট বেগে ১৫ মিনিটে তার গন্তব্যে পৌঁছায়। আর স্রোতের প্রতিকূলে ৫০ মিনিটে পূর্বের জায়গায় ফেরত আসে। স্রোতের গতিবেগ মিনিটে কত মিটার?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব,
১ মিনিটে যায় = ৪০ মিটার
∴ ১৫ মিনিটে যায় = ৪০ × ১৫ = ৬০০ মিটার

গন্তব্য থেকে ফেরার দূরত্ব = অনুকূলে যাওয়ার দূরত্বের সমান
∴ স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ৬০০/৫০ = ১২ মিটার/মিনিট

সুতরাং,
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ, x + y = ৪০ ....(১)
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ, x - y = ১২ ....(২)

এখন, (১) - (২) করে পাই,
⇒ x + y - x + y = ৪০ - ১২
⇒ ২y = ২৮
∴ y = ১৪

∴ স্রোতের গতিবেগ ১৪ মিটার/মিনিট।
১৭,৮২২.
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট -
  1. ক
    ক) সমঞ্জস
  2. খ
    খ) নির্ভরশীল
  3. গ
    গ) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
  4. ঘ
    ঘ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ব্যাখ্যা
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট এর মাত্র ১ টি সমাধান পাওয়া যায় তাই সমীকরণজোটটিকে সমঞ্জস বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোটটির ১ম সমীকরণকে ২য় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় না। তাই এরুপ সমীকরণকে পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলা হয়।
2x + y = 0 এবং x - y = 3 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
অনুশীলনের জন্য আরও কিছু উদাহরণ দেওয়া হলঃ
১) নিচের কোন সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল?
ক) x + 3y = 5, 4x + 12y = 20
খ) x + 3y = 5, 4x + 12y = 24
গ) x + 3y = 5, 4x + 2y = 20
ঘ) x + 3y = 5, x + 12y = 24
ব্যাখ্যাঃ
যে সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায় তা সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। 
ক) অপশনে x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান আছে।
তাই x + 3y = 5, 4x + 12y = 20 সমীকরণজোট সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল।

২) যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা -
ক) সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
খ) অসমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল
গ) সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল
ঘ) অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল

ব্যাখ্যাঃ 
যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 
2x + y = 12
4x + 2y = 5
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
19 = 0 যা অসম্ভব
উপরোক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান নাই। 
তাই যে সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নাই তা অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল। 
১৭,৮২৩.
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -
  1. ক
    ক) আয়তক্ষেত্র
  2. খ
    খ) রম্বস
  3. গ
    গ) সামান্তরিক
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় -

সমাধান:
আয়তক্ষেত্র : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

রম্বস: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোন কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
১৭,৮২৪.
রুবেল, রবি ও সাব্বির মােট ১১০০০ টাকা নিয়ে ব্যবসা আরম্ভ করল। রুবেল ও রবি সমান মূলধন দিলেও সাব্বির তাদের প্রত্যেকের চেয়ে ১০০০ টাকা কম বিনিয়ােগ করে। ব্যবসায়ে মােট ১৩২০ টাকা মুনাফা হলে সাব্বির কত টাকা পাবে?
  1. ক
    ক) ২৩০ টাকা
  2. খ
    খ) ২৫০ টাকা
  3. গ
    গ) ৩৬০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ৩২০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : রুবেল, রবি ও সাব্বির মােট ১১০০০ টাকা নিয়ে ব্যবসা আরম্ভ করল। রুবেল ও রবি সমান মূলধন দিলেও সাব্বির তাদের প্রত্যেকের চেয়ে ১০০০ টাকা কম বিনিয়ােগ করে। ব্যবসায়ে মােট ১৩২০ টাকা মুনাফা হলে সাব্বির কত টাকা পাবে?
সমাধান :
মনেকরি, 
রুবেলের মূলধন = রবির মূলধন = ক টাকা 
সাব্বিরের মূলধন = ক -১০০০ টাকা 

প্রশ্নমতে, 
         ক + ক  + ক - ১০০০ = ১১০০০ 
         বা, ৩ক = ১১০০০ + ১০০০ 
         বা, ৩ক = ১২০০০ 
         বা, ক = ১২০০০/ ৩ 
        ∴ক = ৪০০০ 

সাব্বিরের মূলধন = ৪০০০ -১০০০ টাকা 
                           = ৩০০০ টাকা 
রুবেল : রবি : সাব্বির = ৪০০০ : ৪০০০ : ৩০০০
                                = ৪ : ৪ :  ৩
তিনজনের অনুপাতের যোগফল = ৪ + ৪ + ৩ 
                                                   = ১১ 
সাব্বির মুনাফা পাবে = (১৩২০ × ৩)/১১
                               = ৩৯৬০ / ১১
                               = ৩৬০ টাকা
১৭,৮২৫.
একটি ছাত্রাবাসে যতজন ছাত্র থাকে, তাদের প্রত্যেকের মাসিক খরচ তাদের মোট সংখ্যার দশগুণ। ঐ ছাত্রাবাসের সকল ছাত্রের মাসিক খরচ ৫৭৬০ টাকা হলে ঐ ছাত্রাবাসে কত জন ছাত্র থাকে? 
  1. ক
    ২৩ জন
  2. খ
    ২৪ জন
  3. গ
    ২৫ জন
  4. ঘ
    ২৬ জন
ব্যাখ্যা
ধরি,
ছাত্রাবাসে মোট ছাত্র থাকে = x জন
একজন ছাত্রের মাসিক খরচ = ১০x টাকা

প্রশ্নমতে,
x × ১০x = ৫৭৬০
১০ x২ = ৫৭৬০
x২ = (২৪)২
∴ x = ২৪
১৭,৮২৬.
6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    ক) (1, 6)
  2. খ
    খ) (1, 5)
  3. গ
    গ) (6, 3)
  4. ঘ
    ঘ) (2, 7)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x - y = 1, 3x + 2y = 13 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
6x - y = 1.........(1)
3x + 2y = 13.........(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,
3x + 2y = 13
3 × 1 + 2y = 13
3 + 2y = 13
2y = 13 - 3
2y = 10
y = 5 

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)
১৭,৮২৭.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    24 মিটার
  2. খ
    8 মিটার
  3. গ
    16 মিটার
  4. ঘ
    32 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16πমিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার 
πr2 = 64π বর্গমিটার‌।

এখন 
πr2/2πr = 64π/16π
বা, r/2 = 4
∴ r = 8

∴ বৃত্তের ব্যাস = 2 × 8 = 16 মিটার
১৭,৮২৮.
একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/3
  3. গ
    1/6
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো।
∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 6 × 6 = 36

উভয় নিক্ষেপে যদি একই সংখ্যা আসে, তবে সম্ভাব্য জোড়াগুলো হবে,
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

এখানে,
মোট  অনুকূল ঘটনা 6টি।

∴ P(উভয় নিক্ষেপে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা) =  অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= 6/36
= 1/6
১৭,৮২৯.
একটি পূর্ণ কোণের মান কত ডিগ্রি?
  1. ক
    90°
  2. খ
    180°
  3. গ
    270°
  4. ঘ
    360°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পূর্ণ কোণের মান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
- একটি পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে (৩৬০° বা 2π রেডিয়ান) যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে পূর্ণ কোণ বলে।
- একটি পূর্ণ কোণ হলো একটি সম্পূর্ণ বৃত্ত, যার মান 360°। এটি নির্দেশ করে যে যখন কোনো রেখা পুরো বৃত্ত ঘুরে আবার তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে, তখন সেটি 360° কোণ তৈরি করে।
১৭,৮৩০.
১৫ এর কত শতাংশ ১ এর ১৫ শতাংশের সমান? 
  1. ক
    ১.০
  2. খ
    ০.১
  3. গ
    ০.০১
  4. ঘ
    ০.০০১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ এর কত শতাংশ ১ এর ১৫ শতাংশের সমান? 

সমাধান: 
মনে করি,
১৫ এর ক% = ১ এর ১৫%
বা, ১৫ × ক/১০০ = ১ × ১৫/১০০
বা, ১৫ × ক × ১০০ = ১০০ × ১৫
বা, ক = (১০০ × ১৫)/(১৫ × ১০০)
বা, ক = ১৫০০/১৫০০
∴ ক = ১
১৭,৮৩১.
(25/4)% হার সুদে কত সময়ে 128 টাকার সুদ 16 টাকা হবে?
  1. ক
    2 বছর
  2. খ
    3 বছর
  3. গ
    4 বছর
  4. ঘ
    5 বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (25/4)% হার সুদে কত সময়ে 128 টাকার সুদ 16 টাকা হবে?

সমাধান: 
মুনাফার হার r = (25/4)%
= (25/4)(1/100)
= 1/16

আসল P = 128 টাকা
মুনাফা I = 16 টাকা
সময় n = ? 

আমরা জানি,
I = Pnr
Pnr = I 
n = I/Pr
   = 16/{(128) × (1/16)}
   = 16/8
   = 2
১৭,৮৩২.
x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    19
  3. গ
    29
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - (1/x) = 5 হলে, {x + (1/x)}2 এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
{x + (1/x)}2 = {x - (1/x)}2 + 4. x. 1/x 
= (5)2 + 4
= 25 + 4
= 29 
১৭,৮৩৩.
'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    160
  2. খ
    240
  3. গ
    880
  4. ঘ
    1440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'FLOWERS' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 2টি স্বরবর্ণ (O, E) ও 5টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, E স্বরবর্ণ থেকে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = 2P1 = 2
অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6! = 720
∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 2 × 720 = 1440
১৭,৮৩৪.
(1/3)(a + a- 1) = 1 হলে (a3 + a- 3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/3)(a + a-1) = 1 হলে (a3 + a-3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/3)(a + a-1) = 1
বা, a + a-1 = 3
বা, a + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি = a3 + a-3
= a3 + 1/a3
= (a + 1/a)3 - 3 . a . 1/a (a + 1/a)
= (3)3 - 3 . 3
= 27 - 9
= 18
১৭,৮৩৫.
y = ax2 + bx + c (a≠0, b এবং c- এর যে কোন মানের জন্য) নির্দেশ করে একটি-
  1. ক
    বৃত্ত
  2. খ
    প্যারবোলা
  3. গ
    সরলরেখা
  4. ঘ
    ইলিপস
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y = ax2 + bx + c (a≠0, b এবং c- এর যে কোন মানের জন্য) নির্দেশ করে একটি-

সমাধান:
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), যার সর্বোচ্চ ঘাত x²।
দ্বিঘাত সমীকরণের গ্রাফ সর্বদা প্যারাবোলার আকৃতি ধারণ করে।
• যদি a > 0, প্যারাবোলা উপরের দিকে খোলা।
• যদি a < 0, প্যারাবোলা নিচের দিকে খোলা।

অন্যান্য অপশন:
• বৃত্ত: বৃত্তের সমীকরণ সাধারণত x² + y² = r²-এর আকারে হয় (যেখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
• সরলরেখা: সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c এর আকারে হয় (যেখানে m হলো ঢাল বা gradient) I
• ইলিপস: ইলিপসের সমীকরণ সাধারণত (x2/a2) + (y2/b2)= 1-এর মতো হয়।
১৭,৮৩৬.
চতুর্ভুজ ABCD এর ক্ষেত্রে ∠A + ∠C = 180° এবং ∠B = 80° হলে ∠D = ?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 100°
  3. গ
    গ) 110°
  4. ঘ
    ঘ) 120°
ব্যাখ্যা
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
বা, 180°+ 80° + ∠D = 360°
বা, ∠D = 360° - 260° = 100°
১৭,৮৩৭.
। x - 3। < 5 এর সমাধান -
  1. ক
    ক)  - 2 > x > 8
  2. খ
    খ)   2 < x < 8
  3. গ
    গ)  - 2 < x < 8
  4. ঘ
    ঘ) x > 8
ব্যাখ্যা
।x - 3। < 5
বা, - 5 < x - 3 < 5
বা, - 5 + 3 < x < 5 + 3
বা, - 2 < x < 8
১৭,৮৩৮.
৪টা ৩০ মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৩৫°
  3. গ
    ৪০°
  4. ঘ
    ৪৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪টা ৩০ মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?

সমাধান:
কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = ।(১১ × ৩০ - ৬০ × ৪)/২।°
= ।(৩৩০ - ২৪০)/২।°
=।৯০/২।°
= ৪৫°
১৭,৮৩৯.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার, ৪ মিটার ও ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ক) ২২ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ২৪ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ১৪৪ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
কিন্তু এখানে (৬+৪) = ১০ যা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ অপেক্ষা বৃহত্তর নয়। তাই এ ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

১৭,৮৪০.
একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    36
  2. খ
    48
  3. গ
    60
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যাটি = 4x/5

প্রশ্নমতে,
x + (4x/5) = 108
বা, (5x + 4x)/5 = 108
বা, 9x/5 = 108
বা, 9x = 108 × 5
বা, x = (108 × 5)/9
বা, ক = 12 × 5
বা, ক = 60

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 60
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 108 - 60 = 48

১৭,৮৪১.
A manufacturer sells an article to a wholesale dealer at a profit of 20% and the wholesale dealer sells it to a retail merchant at a loss of 5%. Find the resultant profit or loss.
  1. ক
    ক) 12% loss
  2. খ
    খ) 14% loss
  3. গ
    গ) 12% profit
  4. ঘ
    ঘ) 14% profit
  5. ঙ
    ঙ) None of these
ব্যাখ্যা

Let the cost of the article be x.
Then, cost paid by retail merchant = 95% of 120% of x
= ((95/100)×(120/100)×x) = ((114/100)x)
= 114% of x.
∴ Profit = 14%

১৭,৮৪২.
একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
  1. ক
    ১৮
  2. খ
    ২৮ 
  3. গ
    ২০
  4. ঘ
    ২৪ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
 
সমাধান: 
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। 
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪ 
= ২০ 

১৭,৮৪৩.
পরপর তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ১৫
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা

শর্টকাটে,
১২০ = ৪ × ৫ × ৬
সুতরাং সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫

১৭,৮৪৪.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?
  1. ক
    ক) ৬০ ডিগ্রি
  2. খ
    খ) ১২০ ডিগ্রি
  3. গ
    গ) ১৮০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ঘ) ৩০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হলে, যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণটি কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাণ = ৬০ ডিগ্রি 
যে কোন দুটি বাহুর অন্তর্গত কোণ =  ৬০ ডিগ্রি 
১৭,৮৪৫.
যদি কোন প্রয়োজনীয় দ্রব্যের মূল্য ২০% বৃদ্ধি পায় তবে দ্রব্যটির ব্যবহার শতকরা কত কমালে দ্রব্য বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?
  1. ক
    ২৫%
  2. খ
    ১৬.৬৭%
  3. গ
    ১৫.৩৩%
  4. ঘ
    ২১.৬৭%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি কোন প্রয়োজনীয় দ্রব্যের মূল্য ২০% বৃদ্ধি পায় তবে দ্রব্যটির ব্যবহার শতকরা কত কমালে দ্রব্য বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?
 
সমাধান:
ধরি,
দ্রব্যের মূল্য ১০০ টাকা

২০% বৃদ্ধিতে দ্রব্যের মূল্য হয় ১২০ টাকা

১২০ টাকায় কমাতে হবে ২০ টাকার দ্রব্য
∴ ১০০ টাকায় কমাতে হবে (১০০ × ২০)/১২০ = ১৬.৬৭ টাকা
১৭,৮৪৬.
24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    552
  2. খ
    630
  3. গ
    528
  4. ঘ
    512
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

​সমাধান:
22 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 24C1 = 24
21 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 23C1 = 23
∴ বাছাই সংখ্যা = (24 × 23)
= 552
১৭,৮৪৭.
একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? 
  1. ক
    ক) 1/12
  2. খ
    খ) 1/6
  3. গ
    গ) 1/3
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি 

মুদ্রায় হেড এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2H,4H,6H} = 3টি 

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4
১৭,৮৪৮.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 5। অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 9 কম। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    23
  2. খ
    32
  3. গ
    14
  4. ঘ
    41
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 5। অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 9 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = 5 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(5 - x) + x = 50 - 9x

অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 5 - x = 9x + 5

প্রশ্নমতে,
9x + 5 = 50 - 9x - 9
⇒ 9x + 9x = 41 - 5
⇒ 18x = 36
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 50 - (9 × 2) = 32
১৭,৮৪৯.
কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
  1. ক
    ক) cos90°
  2. খ
    খ) sin90°
  3. গ
    গ) sec0°
  4. ঘ
    ঘ) cosec0°
ব্যাখ্যা

cosec0° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

১৭,৮৫০.
৩, ৬, ৭ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত? 
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৪
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩, ৬, ৭ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি/ ২য় রাশি = ৩য় রাশি/ ৪র্থ রাশি 
⇒ ৩/৬ = ৭/৪র্থ রাশি 
⇒ ৪র্থ রাশি = (৭ × ৬)/৩
= ১৪ 

অতএব, চতুর্থ সমানুপাতী ১৪। 
১৭,৮৫১.
sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:

- 1 < sinθ < 1 ; সুতরাং sinθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1 । 
১৭,৮৫২.
একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 140 বর্গমিটার
  2. খ
    খ) 150 বর্গমিটার
  3. গ
    গ) 160 বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) 170 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি কক্ষের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 মি. 20 মি. 25 মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য a = 15 মি. B = 20 মি. C = 25 মি.
পরিসীমা, 2s = (15 + 20 + 25) মি.
বা, s = 60/2 মি. = 30 মি.

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = √{s(s - a) (s - b) (s - c)}
= √{30 (30 - 15) (30 - 20) (30 - 25)} বর্গমিটার
= √(30 x 15 x 10 x 5) বর্গমিটার
= √22500 বর্গমিটার
= 150 বর্গমিটার
১৭,৮৫৩.
tanθ = a/b হলে cosθ = ?
  1. ক
    a/√(a2 + b2)
  2. খ
    √(a2 + b2)
  3. গ
    b/√(a2 + b2)
  4. ঘ
    (a2 + b2)/a
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে cosθ = ? 

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​a = লম্ব 
​b = ভূমি 
​
∴ ​অতিভুজ = √( লম্ব২ + ভুমি২)
​= √(a2 + b2)
​
∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ 
​= b/√(a2 + b2)

১৭,৮৫৪.
ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 9 : 4 : 5 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    120°
  2. খ
    90°
  3. গ
    75°
  4. ঘ
    55°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের অনুপাত 9 : 4 : 5 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 9x + 4x + 5x = 18x


আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ 18x = 180°
বা, x = 180°/18
বা, x = 10°

∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = 9 × 10°
= 90°
১৭,৮৫৫.
৯ ও ১৬ এর মধ্য সমানুপাতী কত?
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ১৮
  3. গ
    ১৫
  4. ঘ
    ১২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯ ও ১৬ এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
মনে করি,
৯ এবং ১৬- এর মধ্য সমানুপাতী x

প্রশ্নমতে,
৯ : x : : x : ১৬
⇒ ৯/x = x /১৬
⇒ x2 = ৯ × ১৬
⇒ x2 = ১৪৪
⇒ x = √১৪৪
∴ x = ১২
১৭,৮৫৬.
(.০০৯ / ?) = .০১। প্রশ্নবোধক স্থানে কোনটি বসবে?
  1. ক
    ক) .০০০৯
  2. খ
    খ) .০৯
  3. গ
    গ) .৯
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা
কোন ব্যাখ্যা যোগ হয়নি।
১৭,৮৫৭.
ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    20!/26!
  2. খ
    26!/20!
  3. গ
    26!/(20! × 6!)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, ইংরেজি বর্ণমালায় মোট 26 টি বর্ণ আছে। এই 26টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার 6 টি করে বর্ণ নিয়ে
গঠিত শব্দের সংখ্যা = 26P6 = 26!/20! = 165,765,600
১৭,৮৫৮.
৫ জন কর্মকর্তা এবং ৬ জন কর্মচারীর মধ্য থেকে ৪ জনের কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে ১ জন বিশেষ কর্মকর্তা সর্বদা বিদ্যমান থাকে?
  1. ক
    ৮৪
  2. খ
    ৯৬
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ১১০
ব্যাখ্যা
মোট সদস্য = ৫+৬ = ১১
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ১১-১C৪-১
= ১০C৩
= ১২০
১৭,৮৫৯.
p2 - 6p + 9 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
  1. ক
    4 টি
  2. খ
    3 টি
  3. গ
    2 টি
  4. ঘ
    1 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 6p + 9 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p2 - 6p + 9 = 0
⇒ p2 - 3p - 3p + 9 = 0
⇒ p(p - 3) - 3(p - 3) = 0
⇒ (p - 3)(p - 3) = 0

হয়, p - 3 = 0 ⇒ p = 3
অথবা, p - 3 = 0 ⇒ p = 3

আমরা জানি,
দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক b2 - 4ac = 0 হয় তবে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে।

এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই -
b = - 6
a = 1
c = 9

নিশ্চায়ক = (- 6)2 - 4.1.9
= 36 - 36
= 0

অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের বৈশিষ্ট অনুসারে সমীকরণটির মূল ২টি।
====================
⇒ জেনে রাখা ভালো -

অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।
১৭,৮৬০.
যদি a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং, 
a2 + b2 = 25

আমরা জানি, 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
⇒ 25 = (7)2 - 2ab
⇒ 25 = 49 - 2ab
⇒ 2ab = 49 - 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

১৭,৮৬১.
প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি? 
  1. ক
    ক) 70° 
  2. খ
    খ) 125° 
  3. গ
    গ) 55° 
  4. ঘ
    ঘ) 110° 
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° হলে ∠LRS এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান:
 

PQ = PR হলে 
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক 
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ 
∠PQR = ∠LRS = 55°
১৭,৮৬২.
৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ৭টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ? 
  1. ক
    ২/৩ অংশ
  2. খ
    ৭/৫ অংশ
  3. গ
    ২৭/৩৫ অংশ
  4. ঘ
    ১/৩ অংশ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট একত্রে ৭টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ?

সমাধান:
৬ টি ২ টাকার নোট ও ৫ টি ৩ টাকার নোট = (৬ × ২) + (৫ × ৩)
= ১২ + ১৫
= ২৭ টাকা

৭ টি ৫ টাকার নোট = (৭ × ৫) = ৩৫ টাকা
অতএব, ২৭/৩৫ = ২৭/৩৫ অংশ

১৭,৮৬৩.
একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৫ জন
  2. খ
    ১০ জন
  3. গ
    ২০ জন
  4. ঘ
    ১৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তার ২০ গুণ টাকা চাঁদা দেয়ায় মোট ২০০০ টাকা সংগ্রহ হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, সমবায় সমিতির সদস্য সংখ্যা = ক জন।
প্রত্যেক সদস্য চাঁদা দেয় = মোট সদস্য সংখ্যার ২০ গুণ টাকা
= ২০ক টাকা।

∴ মোট সংগৃহীত টাকা = সদস্য সংখ্যা × প্রত্যেকের চাঁদা
= ক × ২০ক
= ২০ক২

প্রশ্নানুসারে,
২০ক২ = ২০০০
⇒ ক২ = ২০০০/২০
⇒ ক২ = ১০০
⇒ ক = √১০০
∴ ক = ১০

সুতরাং, সমিতির সদস্য সংখ্যা ১০ জন।

১৭,৮৬৪.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!2!2!) = 5040
আবার, AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি A।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
অর্থাৎ, প্রথম শব্দটির বিন্যাস দ্বিতীয়টির বিন্যাসের 2520/5040 = 1/2 গুণ
১৭,৮৬৫.
চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৯, ১২ ও ১৬ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
  1. ক
    ৩ মিনিট পর
  2. খ
    ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড পর
  3. গ
    ১ মিনিট ৩০ সেকেন্ড পর
  4. ঘ
    ২ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড পর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৯, ১২ ও ১৬ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৯, ১২ ও ১৬ এর ল. সা. গু = ১৪৪

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১৪৪ সেকেন্ড পর
অর্থাৎ ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড

∴ ১৪৪ সেকেন্ড বা ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।
১৭,৮৬৬.
৫% হার মুনাফায় ৫২০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 
  1. ক
    ৫৫৬৩ টাকা
  2. খ
    ৫৭৩৩ টাকা
  3. গ
    ৫৮৪০ টাকা
  4. ঘ
    ৫৯২০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৫২০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৫২০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)n
= ৫২০০(১ + ১/২০)২
= ৫২০০ × (২১/২০)২
= ৫২০০ × (২১/২০) × (২১/২০) 
= ৫৭৩৩ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৫৭৩৩ টাকা।

১৭,৮৬৭.
একটি পন্যের উপর পরপর ৪০% এবং ২০% ছাড় দেওয়া হলে মোটের উপর কত ছাড়া দেওয়া হয়?
  1. ক
    ৫০%
  2. খ
    ৫২%
  3. গ
    ৪৮%
  4. ঘ
    ৫৫%
ব্যাখ্যা
মনেকরি, পণ্যের দাম = ১০০ টাকা
দুই দফা ছাড়ের পর পণ্যের দাম = ১০০ × (৬০/১০০) × (৮০/১০০) = ৪৮ টাকা
∴ মোট ছাড় দেওয়া হয়েছে = ১০০ - ৪৮ = ৫২ টাকা অর্থাৎ ৫২%।
১৭,৮৬৮.
35x2 - x - 12 = 0 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    x = 4/7, x= - 1/2
  2. খ
    x = 1/3, x= - 2/7
  3. গ
    x = 3/5, x= - 4/7
  4. ঘ
    x = 4/5, x= - 3/7
ব্যাখ্যা
35x2 - x - 12 = 0
35x2 - 21x + 20x - 12 = 0
7x(5x - 3) + 4(5x - 3) = 0
(5x - 3) (7x + 4) = 0 

হয়                                   অথবা 
5x - 3 = 0                      7x + 4 = 0 
5x = 3                            7x = - 4
x = 3/5                            x= - 4/7
১৭,৮৬৯.
সাহিতপুর গ্রামের লোকসংখ্যা ৫% বৃদ্ধি পেয়ে ৮৪০০ জন হলে, পূর্বে ঐ এলাকায় লোকসংখ্যা কতজন ছিল?
  1. ক
    ৭৫০০ জন
  2. খ
    ৭৮০০ জন
  3. গ
    ৭৫৪০ জন
  4. ঘ
    ৮০০০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাহিতপুর গ্রামের লোকসংখ্যা ৫% বৃদ্ধি পেয়ে ৮৪০০ জন হলে, পূর্বে ঐ এলাকায় লোকসংখ্যা কতজন ছিল?

সমাধান:
৫% বৃদ্ধিতে,
পূর্বের লোকসংখ্যা ১০০ জন হলে বর্তমানে = (১০০ + ৫) = ১০৫ জন

বর্তমানে লোক সংখ্যা ১০৫ জন হলে পূর্বে লোকসংখ্যা ছিল = ১০০ জন
বর্তমানে লোক সংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে লোকসংখ্যা ছিল = ১০০/১০৫ জন
বর্তমানে লোক সংখ্যা ৮৪০০ জন হলে পূর্বে লোকসংখ্যা ছিল = (৮৪০০ × ১০০)/১০৫ জন
= ৮০০০ জন
১৭,৮৭০.
r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
  1. ক
     s - r + t 
  2. খ
    r - s + t
  3. গ
    rs + t
  4. ঘ
    r + s + t 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর। r বছর পূর্বে একজন লোকের বয়স ছিল s বছর। t বছর পর তার বয়স কত হবে?
​
সমাধান:
r বছর পূর্বে লোকটির বয়স ছিল s বছর। 
∴ লোকটির বর্তমান বয়স (r + s) বছর।
​
​অতএব,
​ t বছর পর লোকটির বয়স হবে (r + s + t) বছর।

১৭,৮৭১.
16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 128 বর্গসেমি
  2. খ
    খ) 196 বর্গসেমি
  3. গ
    গ) 256 বর্গসেমি
  4. ঘ
    ঘ) 512 বর্গসেমি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের অঙ্কিত অপর আরেকটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
প্রথম বর্গের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং, প্রথম বর্গের কর্ণ = 16√2 সেমি

এখানে,
প্রথম বর্গের কর্ণ = অপর বর্গের বাহু

∴ অপর বর্গের বাহু = 16√2 সেমি
∴ অপর বর্গের ক্ষেত্রফল = (16√2)2 = 512 বর্গসেমি
১৭,৮৭২.
৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৪২ সে.মি.
  2. খ
    ৪৮ সে.মি.
  3. গ
    ৩৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৭ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = ৭ সে.মি.
ব্যাস = ৫০ সে.মি.
ব্যাসার্ধ OB = ৫০/২ = ২৫ সে.মি.

AB জ্যা এর অর্ধাংশ = BC
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব = OC

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB2 = OC2 + BC2
⇒ BC2 = OB2 - OC2
⇒ BC = √(OB2 - OC2)
⇒ BC = √{(২৫)২ - (৭)২}
⇒ BC = √(৬২৫ - ৪৯)
⇒ BC = √৫৭৬
⇒ BC = ২৪

∴ জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য = BC × ২ = ২৪ × ২ = ৪৮ সে.মি.

১৭,৮৭৩.
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০ একটি সংখ্যা ১০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৪৮
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ৬০
  4. ঘ
    ঘ) ৭২
ব্যাখ্যা

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু - ২, ল.সা.গু ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা ১০।
আমরা জানি, গ.সা.গু × ল.সা.গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/১০ = ৭২

১৭,৮৭৪.
একটি কলেজে ৮০% ছাত্র পদার্থবিদ্যায় পাশ করেছে, ৭০% রসায়নে পাশ করেছে এবং ৫৫% উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কত শতাংশ ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ৫%
  2. খ
    ৪%
  3. গ
    ৭%
  4. ঘ
    ১০%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলেজে ৮০% ছাত্র পদার্থবিদ্যায় পাশ করেছে, ৭০% রসায়নে পাশ করেছে এবং ৫৫% উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কত শতাংশ ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পদার্থবিদ্যায় পাশ = ৮০%
রসায়নে পাশ = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫৫%
কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (পদার্থবিদ্যায় পাশ + রসায়নে পাশ) - উভয় বিষয়ে পাশ
= (৮০% + ৭০%) - ৫৫%
= ১৫০% - ৫৫%
= ৯৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = মোট ছাত্র - কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ
= ১০০% - ৯৫%
= ৫%

সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করেছে ৫% ছাত্র। 

১৭,৮৭৫.
টাকায় ৬ টি মার্বেল বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়। ৮% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? 
  1. ক
    ক) ৩ টি 
  2. খ
    খ) ৪ টি 
  3. গ
    গ) ৫ টি 
  4. ঘ
    ঘ) ২ টি 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: টাকায় ৬ টি মার্বেল বিক্রয় করায় ১০% ক্ষতি হয়। ৮% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে? 

সমাধান: 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৯০) টাকা 

৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৮) টাকা = ১০৮ টাকা 

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৮ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০৮/১০০) টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০৮/১০০) × (১০০/৯০) টাকা = ১.২ টাকা 

১.২ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৬ টি মার্বেল 
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে (৬/১.২) টি মার্বেল = ৫ টি
১৭,৮৭৬.
৫ বছর আগে অপুর বয়স তপুর বয়সের ৮/৯ অংশ ছিল। বর্তমানে তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৪৪ বছর। অপুর বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ১৮ বছর
  2. খ
    ২১ বছর
  3. গ
    ২২ বছর
  4. ঘ
    ২৪ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ বছর আগে অপুর বয়স তপুর বয়সের ৮/৯ অংশ ছিল। বর্তমানে তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৪৪ বছর। অপুর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
৫ বছর আগে তপুর বয়স ছিল = ৯ক বছর
৫ বছর আগে অপুর বয়স ছিল = ৮ক বছর

তপুর বর্তমান বয়স = (৯ক + ৫) বছর
অপুর বর্তমান বয়স = (৮ক + ৫) বছর

শর্তমতে,
৯ক + ৫ + ৮ক + ৫ = ৪৪
⇒ ১৭ক = ৪৪ - ১০
⇒ ১৭ক = ৩৪
∴ ক = ২

∴ অপুর বর্তমান বয়স = (৮ × ২) + ৫ = ২১ বছর
১৭,৮৭৭.
3x - 3x - 1 = 54 হলে x3 এর মান কত?
  1. ক
    81
  2. খ
    64
  3. গ
    32
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 3x - 1 = 54 হলে x3 এর মান কত?

সমাধান: 
3x - 3x - 1 = 54
বা, 3x - 3x . 3- 1 = 54
বা, 3x - 3x/3 = 54
বা, 3x(1 - 1/3) = 54
বা, 3x . 2/3 = 54
বা, 3x = (54 × 3)/2 
বা, 3x = 81
বা, 3x = 34
বা, x = 4
বা, x3 = 43
∴ x3 = 64
১৭,৮৭৮.
কোনো ত্রিভুজের তিন কোণের দ্বি-খন্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?
  1. ক
    ক) বহিঃকেন্দ্র
  2. খ
    খ) ভরকেন্দ্র
  3. গ
    গ) পরিকেন্দ্র
  4. ঘ
    ঘ) অন্তঃকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।
১৭,৮৭৯.
4 + 5 + 6 +..........+ 80 =?
  1. ক
    3234
  2. খ
    5044
  3. গ
    3246
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 + 5 + 6 +..........+80 =?

সমাধান:
(1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...........+ 80) - 1 - 2 - 3
= {80(80 + 1)/2} - 6
= (40 × 81) - 6
= 3240 - 6
= 3234
১৭,৮৮০.
একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ১৫ সে.মি.
  2. খ
    ১০ সে.মি.
  3. গ
    ১৩ সে.মি.
  4. ঘ
    ৯ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি., ১৮ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গ সে.মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ১৫০ = (১/২) × (১২ + ১৮) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১৫০ × ২)/৩০
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ১০ 

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১০ সে.মি.। 
১৭,৮৮১.
কোনো এক স্থানে সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা ৩০° সেলসিয়াস। প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৮° সেলসিয়াস ও শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৯° সেলসিয়াস হলে, চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা কত?
  1. ক
    ক) ৩৩° সেলসিয়াস
  2. খ
    খ) ৩৬° সেলসিয়াস
  3. গ
    গ) ৩৯° সেলসিয়াস
  4. ঘ
    ঘ) ৪৩° সেলসিয়াস
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো এক স্থানে সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা ৩০° সেলসিয়াস। প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৮° সেলসিয়াস ও শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা ২৯° সেলসিয়াস হলে, চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সপ্তাহের গড় তাপমাত্রা = ৩০° সেলসিয়াস
∴ সপ্তাহের মোট তাপমাত্রা = (৩০ × ৭)° সেলসিয়াস 
= ২১০° সেলসিয়াস।

আবার, 
প্রথম ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা = ২৮° সেলসিয়াস 
∴ প্রথম ৩ দিনের মোট তাপমাত্রা = (২৮ × ৩)° সেলসিয়াস
= ৮৪° সেলসিয়াস।

শেষ ৩ দিনের গড় তাপমাত্রা = ২৯° সেলসিয়াস
∴ শেষ ৩ দিনের মোট তাপমাত্রা = (২৯ × ৩)° সেলসিয়াস 
= ৮৭° সেলসিয়াস।

∴ চতুর্থ দিনের তাপমাত্রা = ২১০° - (৮৪ + ৮৭)° সেলসিয়াস 
= ২১০° - (৮৪ + ৮৭)° সেলসিয়াস 
= (২১০ - ১৭১)° সেলসিয়াস
= ৩৯° সেলসিয়াস।
১৭,৮৮২.
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে? 
  1. ক
    ভরকেন্দ্র
  2. খ
    লম্বকেন্দ্র
  3. গ
    পরিকেন্দ্র
  4. ঘ
    অন্তকেন্দ্র
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে? 

সমাধান: 
পরিকেন্দ্র: 
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র। 

লম্বকেন্দ্র: 
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে। 

ভরকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 

অন্তকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।
১৭,৮৮৩.
একটি সংখ্যা অপর সংখ্যাটির অর্ধেক। সংখ্যা দুটির যোগফল ৯০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৫৬
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৬৫
  4. ঘ
    ৭২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর সংখ্যাটির অর্ধেক। সংখ্যা দুটির যোগফল ৯০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
ছোট সংখ্যাটি = ক/২

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/২) = ৯০
⇒ (২ক + ক)/২ = ৯০
⇒ ৩ক/২ = ৯০
⇒ ৩ক = ৯০ × ২
⇒ ৩ক = ১৮০
⇒ ক = ৬০

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬০
১৭,৮৮৪.
ঢাকা থেকে টাঙ্গাইলের দূরত্ব ৪৯ মাইল। সিফাত ঘণ্টায় ৪ মাইল বেগে হাঁটে এবং রিফাত ঘণ্টায় ৫ মাইল বেগে হাঁটে। সিফাত ঢাকা থেকে রওনা হওয়ার ১ ঘণ্টা পর রিফাত টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা রওনা হয়েছে। রিফাত কত মাইল হাঁটার পর সিফাতের সাথে দেখা হবে?
  1. ক
    ২৫ কি. মি.
  2. খ
    ১৫ কি. মি.
  3. গ
    ৩০ কি. মি.
  4. ঘ
    ২৭ কি. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঢাকা থেকে টাঙ্গাইলের দূরত্ব ৪৯ মাইল। সিফাত ঘণ্টায় ৪ মাইল বেগে হাঁটে এবং রিফাত ঘণ্টায় ৫ মাইল বেগে হাঁটে। সিফাত ঢাকা থেকে রওনা হওয়ার ১ ঘণ্টা পর রিফাত টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা রওনা হয়েছে। রিফাত কত মাইল হাঁটার পর সিফাতের সাথে দেখা হবে?

সমাধান:
সিফাত ১ ঘন্টায় যায় ৪ মাইল। এবং আগে রওনা দেওয়ায় বাকি থাকে (৪৯ - ৪) = ৪৫ মাইল

∴ উভয়ে একত্রে ১ ঘন্টায় অতিক্রম করে = (৪ + ৫) = ৯ মাইল

∴ উভয়ে একত্রে ৪৫ মাইল অতিক্রম করে = ৪৫/৯ = ৫ ঘন্টায়

∴ ৫ ঘন্টায় রিফাত টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা অভিমূখে = (৫ × ৫) = ২৫ কি. মি. হেটে সিফাতের সাথে দেখা হয়।
১৭,৮৮৫.
loga√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
loga√216 = 3/2
⇒ a(3/2) = √216
⇒ (a3/2)2 = (√216)2
⇒ a3 = 216
⇒ a3 = 63
∴ a = 6
১৭,৮৮৬.
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 18 সেমি এবং উক্ত সমান্তরাল বাহু দুইটির দূরত্ব 6 সেমি হলে, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 90 বর্গ সেমি
  2. খ
    খ) 100 বর্গ সেমি
  3. গ
    গ) 120 বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ঘ) 150 বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা
ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল
= 1/2 × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব 
= 1/2 × (12 + 18) × 6
= 1/2 × 30 × 6
= 90 বর্গ সেমি
১৭,৮৮৭.
৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৫০০ টাকা হলে, সুদের হার কত?
  1. ক
    ক) ৬%
  2. খ
    খ) ৮%
  3. গ
    গ) ১০%
  4. ঘ
    ঘ) ১২%
ব্যাখ্যা

(৫০০×৪)+(৬০০×৫)
= ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫০০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ৫০০/৫০০০ টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (৫০০×১০০)/৫০০০ টাকা
= ১০ টাকা বা ১০%

১৭,৮৮৮.
4, 2, 1, (1/2), (1/4) ……………... ধারাটির পরের সংখ্যাটি কত হবে?
  1. ক
    8
  2. খ
    1/8
  3. গ
    1/16
  4. ঘ
    1/16
ব্যাখ্যা
প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী সংখ্যার অর্ধেক।
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
4/2 = 2
2/2 = 1
1/2 = 1/2
(1/2) / 2 = 1/4
(1/4) / 2 = 1/8 এবং আরও।
অতএব, ধারাটির পরের সংখ্যাটি হবে 1/8
১৭,৮৮৯.
p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) p = (q + r)/2
  2. খ
    খ) q = (p + r)/2
  3. গ
    গ) r = (p + s)/2
  4. ঘ
    ঘ) q = (p + s)/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
p, q, r ও s সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ।
∴ সমান্তর ধারাটি p + q + r + s

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার যেকোন পদ এর পূর্ববর্তী ও পরবর্তী পদের গাণিতিক গড়ের সমান।
২য় পদ = (১ম পদ + ৩য় পদ)/২
∴ q = (p + r)/2
১৭,৮৯০.
y এর মান কত হলে (9x2 - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    12
  2. খ
    10
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে (9x2 - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x2 - xy + 16
= (3x)2 - 2 × 3x × 4 + 42
= (3x - 4)2

অতএব,
- xy = - 2 × 3x × 4
⇒ - xy = - 24x
⇒ y = 24

∴ y এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

১৭,৮৯১.
কোনো ধারার n তম পদ 3n.2n + 1 হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    202
  2. খ
    204
  3. গ
    206
  4. ঘ
    208
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n.2n + 1 হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n.2n + 1

১ম পদ = 3 . 1 . 21 + 1= 3 . 22 = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 22 + 1 = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 23 + 1 = 144

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144
= 204
১৭,৮৯২.
শতকরা বার্ষিক ৮ টাকা হারে সরল মুনাফায় ৭৫০ টাকায় ৪ বছরের মুনাফা কত?
  1. ক
    ক) ২৬০ টাকা 
  2. খ
    খ) ২৪০ টাকা 
  3. গ
    গ) ২৫০ টাকা 
  4. ঘ
    ঘ) ২৮০ টাকা 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৮ টাকা হারে সরল মুনাফায় ৭৫০ টাকায় ৪ বছরের মুনাফা কত?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা  ৮ টাকা 
১ টাকার ১ বছরের মুনাফা  ৮ /১০০ টাকা 
৭৫০ টাকার ৪ বছরের মুনাফা  (৮ × ৭৫০ × ৪)/১০০ টাকা 
                                           = ২৪০ টাকা
১৭,৮৯৩.
একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?
  1. ক
    4
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলমের দাম 5 টাকা এবং একটি ডায়েরির দাম 10 টাকা। রানা x টি কলম এবং (x + 2) টি ডায়েরি কিনল। মোট দাম অনূর্ধ্ব 80 টাকা হলে সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান: 
কলমের দাম = 5x টাকা
এবং ডায়েরির দাম = 10(x + ২)  টাকা

∴ মোট দাম = 5x + 10(x + ২)
= 5x + 10x + 20
= 15x + 20

প্রশ্নমতে, 
15x + 20 ≤ 80
⇒ 15x ≤ 80 - 20
⇒ 15x ≤ 60
⇒ x ≤ 60/15
∴ x ≤ 4

সুতরাং x-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান 4

অতএব, সর্বাধিক 4টি কলম কিনেছে। 

১৭,৮৯৪.
কামালের আয় জামালের দ্বিগুণ, জামালের আয় মাহিমের তিনগুণ। তাদের গড় আয় ২০০০০ টাকা হলে, জামালের আয় কত?
  1. ক
    ৬০০০ টাকা
  2. খ
    ১২০০০ টাকা
  3. গ
    ১৮০০০ টাকা
  4. ঘ
    ৩৬০০০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কামালের আয় জামালের দ্বিগুণ, জামালের আয় মাহিমের তিনগুণ। তাদের গড় আয় ২০০০০ টাকা হলে, জামালের আয় কত? 

সমাধান:
 ধরা যাক, মাহিম, জামাল ও কামালের আয় যথাক্রমে ক টাকা, ৩ক টাকা ও ৬ক টাকা।

প্রশ্নমতে,
(ক + ৩ক + ৬ক)/৩ = ২০০০০ 
ক + ৩ক + ৬ক = ৩ × ২০০০০ 
⇒ ১০ক  = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০

∴ জামালের আয় = (৩ × ৬০০০) টাকা
= ১৮০০০ টাকা

১৭,৮৯৫.
A = 30° হলে 1+(tan2)A/1-(tan2)A এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
1+(tan2)A/1-(tan2)A
= 1 / (1-(tan2)A/1+(tan2)A)
= 1/cos2A
= sec60°
= 2
১৭,৮৯৬.
যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে B - A এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    {1, 4}
  2. খ
    {Ø, 6}
  3. গ
    {2, 4}
  4. ঘ
    Ø
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে B - A এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {2, 4, 6}

প্রদত্ত রাশি, 
B - A = {2, 4, 6} - {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= Ø

১৭,৮৯৭.
যদি (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    252
  4. ঘ
    - 252
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0

ব্যবহৃত সূত্র:
(1.) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) যদি a + b + c = 0, তবে a3 + b3 + c3 = 3abc
(2.) যদি (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = 0, তবে x = a, y = b এবং z = c

প্রশ্ন অনুযায়ী,
⇒ (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z + 7)2 = 0 অতএব, ⇒ x = 3, y = 4, z = - 7

অতএব,
? = x3 + y3 + z3
⇒ ? = 33 + 43 + (-7)3
⇒ ? = 27 + 64 - 343
⇒ ? = 91 - 343
⇒ ? = - 252
১৭,৮৯৮.
যদি A = {2, 3}, B = {1, 2} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-
  1. ক
    ক) {(2, 1) (2, 2) (3, 1)}
  2. খ
    খ) {(2, 1) (3, 1) (3, 2)}
  3. গ
    গ) {(1, 2) (3, 1) (3, 2)}
  4. ঘ
    ঘ) {(1, 2) (1, 3) (2, 3)}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {2, 3}, B = {1, 2} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-

সমাধান: 
A = {2, 3}
B = {1, 2} 

A × B = {2, 3} × {1, 2} 
= {(2,1), (2, 2), (3,1), (3, 2)}
A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা করে  অন্বয়টি {(2,1), (3,1), (3, 2)}
১৭,৮৯৯.
একটি থলেতে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ২/৩
  2. খ
    ১/৫
  3. গ
    ৩/৫
  4. ঘ
    ৪/৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (৪ + ৫ + ৬) টি = ১৫ টি 
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫
নীল বলের সংখ্যা = ৬ টি 
সুতরাং নীল বলের অনুকুল ফলাফল = ৬

বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = নীল বলের অনুকুল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ৬/১৫ = ২/৫ 
∴ বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ২/৫
= (৫ - ২)/৫
= ৩/৫
১৭,৯০০.
যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে সময় বেশি দেখায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে?
  1. ক
    ৩৬ দিন
  2. খ
    ৪২ দিন
  3. গ
    ৪৮ দিন
  4. ঘ
    ২৪ দিন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট করে সময় বেশি দেখায়, তাহলে কতদিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে?

সমাধান:
যদি কোন ঘড়ি সময় বেশি দেখাতে থাকে তাহলে তাকে সঠিক সময় দিতে হলে ১২ ঘণ্টা বা ৭২০ মিনিট সময় বেশি দেখাতে হবে।

এখন,
ঘড়িটি ২০ মিনিট বেশি দেখায় ১ দিনে
∴ ঘড়িটি ৭২০ মিনিট বেশি দেখাবে (১ × ৭২০)/২০ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ ৩৬ দিন পর ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় দিবে।