গাণিতিক যুক্তি

x² = 3x
⇒ x² - 3x = 0
⇒ x(x - 3) =0
∴ x = 0, 3
সমাধান সেট = {0, 3}

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

প্রশ্ন: ৯০ কোন সংখ্যার ৭৫%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
৭৫% এর ক = ৯০
⇒ (৭৫/১০০) × ক = ৯০
⇒ ক = (৯০ × ১০০)/৭৫
⇒ ক = ১২০

৫০% কমে দৈনিক মজুরী (১০০ - ১০০ এর ৫০%) টাকা
= (১০০ - ১০০ এর ৫০/১০০) টাকা
= ৫০ টাকা
৬০% বৃদ্ধিতে বর্তমান দৈনিক মজুরী = (৫০ + ৫০ এর ৬০%) টাকা
= (৫০ + ৫০ এর ৬০/১০০) ''
= (৫০ + ৩০) ''
= ৮০ টাকা

বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (২৭ - ৩) = ২৪, (৪০ - ৪) = ৩৬ এবং (৬৫ - ৫) = ৬০ এর গ.সা.গু. -
২৪)৩৬(১
     ২৪
     ー
     ১২) ২৪ (২
          ২৪
          ー
          ০
এবং ১২)৬০(৫
           ৬০
            ー
            ০
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ১২

প্রশ্ন: 3x + y = 13 এবং x + y = 5 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + y = 13 ...................(1)
x + y = 5 ...................(2)

(2) নং হতে পাই,
x + y = 5
⇒ x = 5 − y

এখন,
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + y = 13
⇒ 3(5 − y) + y = 13
⇒ 15 - 3y + y = 13
⇒ 15 - 2y = 13
⇒ - 2y = 13 - 15 
⇒ - 2y = - 2 
∴ y = 1

প্রশ্ন: যদি x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
ধরি, x = 1 এবং y = 3
তাহলে, 
ক) x + y + xy
= 1 + 3 + 1 × 3
= 4 + 3
= 7 ; বিজোড় সংখ্যা

খ) x + y 
= 1 + 3 
= 4 ; জোড় সংখ্যা

গ) x + y + 1 
= 1 + 3 + 1
= 5 ; বিজোড় সংখ্যা

ঘ) x² + y² + 1 
= (1)² + (3)² + 1
= 1 + 9 + 1
= 11 ; বিজোড় সংখ্যা

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) x + y

ধরি, আম পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(A) এবং লিচু পছন্দ করা ছাত্রের সেট = n(B)
এখানে n(A) = 20, n(B) = 15 এবং n(A ∪ B) = 30, n(A ∩ B) = ?
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 30 = 20 + 15 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 35 - 30 = 5

প্রশ্ন: ১টি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. কত হবে?

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
অতিভুজের দৈর্ঘ্য, h = 12 সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ h² = a² + a²
⇒ 12² = a² + a²
⇒ 144 = 2a²
⇒ a² = 144/2
⇒ a² = 72 

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটিই ভূমি ও উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল = 1/2 × a × a
= 1/2 a²
= 1/2 × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাস 8 সে. মি. এবং উচ্চতা 21 সে. মি. হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = 21 সে. মি.
ব্যাস = 8 সে. মি.
∴ ব্যাসার্ধ = 8/2 = 4 সে. মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × 4² × 21
= 22 × 16 × 3
= 22 × 48
= 1056 ঘন সে. মি.

সুতরাং, বেলনের আয়তন 1056 ঘন সে. মি.। 

P(A) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}

P(B) = {{0}, {3}, {0, 3}, ∅}

∴ P(A) - P(B) = {{1},{0, 1}}

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৩০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= (১৬ + ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে = ৩০/২০ ঘণ্টা
= ৩/২ ঘণ্টা

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= (১৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ১২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ ৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৩০/১২ = ৫/২ ঘণ্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = (৩/২) + (৫/২) ঘণ্টা।
= (৩ + ৫)/২ ঘণ্টা
= ৮/২  ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

যেহেতু, 1 জন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে, সেহেতু অবশিষ্ট 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে 3 সদস্য বিশিষ্ঠ কমিটি গঠন করা যায়,
^{(5 + 4)}C₃ উপায়ে।
= ⁹C₃
= 9!/{3! (9 - 3)!
= 9!/3!6!
= (9 × 8 × 7 × 6!)/ (3 × 2 × 1 × 6!)
= 84 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে, এর পরিসীমা কত? 

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
কর্ণ = a√2

দেওয়া আছে,
a​√2 = 6√2 
∴ a = 6

সুতরাং, পরিসীমা = 4a = 4 × 6 = 24 একক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
ক^২ + ক^২ = (৩√২)^২
২ক^২= ১৮
ক^২ = ৯
∴ক = ৩

∴ক্ষেত্রফল = ১/২ ×৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি চাকা ২.৬৪ কিলোমিটার পথ যেতে ৩০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
২.৬৪ কিলোমিটার = ২.৬৪ × ১০০০ = ২৬৪০ মিটার

চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ২৬৪০/৩০০ মিটার 
= ৮৮/১০ = ৪৪/৫ মিটার

∴ চাকাটির পরিধি = ৪৪/৫ মিটার

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
⇒ ২πr = ৪৪/৫
⇒ r = ৪৪/(৫ × ২π)
⇒ r = ৪৪/{৫ × ২ × (২২/৭)}
⇒ r = ৪৪ × ৭/(৫ × ২ × ২২)
⇒ r = ৩০৮/(২২০)
⇒ r = ৭/৫
∴ r = ১.৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাসার্ধ ১.৪ মিটার।

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা।
৪০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৪০ = ১৪০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৪০ টাকায়।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৪০/৮০ টাকায়।
বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = (১৪০ X ৪০)/৮০ টাকায়।
= ৭০ টাকায়।

ধরি,
বড় সংখ্যাটি x
তাহলে, ছোট সংখ্যাটি x/2
প্রশ্নমতে,
x X (x/2) = 18
=> x² = 36
∴ x = 6

উভয় বিষয়ে ফেল x হলে,
100% = 70% + 60% - 50% + x
⇒ x = 150% - 130%
⇒ x = 20%

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) হলো যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √৪৯ = ৭; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।
খ) √(১৬/২৫) = ৪/৫; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।
গ) ০.৬২৫ = ৬২৫/১০০০ = ৫/৮; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১৮ = √(৯ × ২) = ৩√২; যেহেতু ২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১৮ একটি অমূলদ সংখ্যা। 

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) √১৮

প্রশ্ন: Q = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
Q-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
 = 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰
 - 1 = 1 - 1 = 0

প্রশ্ন: যদি sinA = tanA হয়, তাহলে A = কত?

সমাধান:
sinA = tanA
⇒ sinA= sinA/cosA
⇒ 1 = 1/cosA
⇒ cosA = 1
⇒ cosA = cos0°
∴ A = 0°

এখানে, x = 1 - t বা, t = 1 - x আবার, y = 2t + 1 
বা, y = 2(1 - x) + 1
বা, y = 2 - 2x + 1
বা, y = 3 - 2x
∴ 2x + y = 3

ভূমি = a, লম্ব = b = 12, অতিভূজ = c
∴ পরিসীমা a + b + c = 30 বা, a + c = 30 - 6 = 18
∴ a + c = 18 = 13 + 5
যেখানে, 12² + 5² = 13²
∴ অতিভূজ = 13

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ aⁿ⁺⁵। যদি 5ম পদ 1024 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ aⁿ⁺⁵
5ম পদ = 1024
n = 5 হলে,
a_{5 ​}= a^{5 + 5} = a¹⁰

প্রশ্নমতে, 
a¹⁰= 1024
⇒ a¹⁰ = 2¹⁰
⇒ a = 2

∴a এর মান 2 

১০০০ টাকায় ৮ মাসের লাভ ১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১২মাসের লাভ = (১০০ × ১২ × ১২০)/(১০০০ × ৮)
= ১৮ টাকা

প্রশ্ন: 3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
3x - y = 9 ............ (1)
2x + y = 11 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
3x - y + 2x + y = 9 + 11
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(4) - y = 9
⇒ 12 - y = 9
⇒ y = 12 - 9
⇒ y = 3

∴ x = 4 এবং y = 3

প্রশ্ন: ৮% বার্ষিক হারে ২ বছরের জন্য কোনো আসলের উপর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৬৪ টাকা হলে, আসল কত?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
হার, r = ৮%
সময়, n = ২ বছর

সরল মুনাফা:
I = Pnr/১০০
= (P × ২ × ৮)/১০০
= ০.১৬P

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা:
CI = P{১ + (r/১০০)}^২ - P
= P{১ + (৮/১০০)}^২ - P
= P{(১০৮/১০০)^২ - P
= P(১.০৮)^২ - P
= P × ১.১৬৬৪ - P
= ০.১৬৬৪P

প্রশ্নমতে,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা − সরল মুনাফা = ৬৪ টাকা
⇒ ০.১৬৬৪P - ০.১৬P = ৬৪
⇒ ০.০০৬৪P = ৬৪
⇒ P = ৬৪/০.০০৬৪
∴ P = ১০,০০০

∴ আসল = ১০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩২ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩২ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের বাহু = √৩২
= √(১৬ ×২)
= ৪√২ মিটার 

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বাহু × √২
= (৪√২× √২) মিটার
= ৮ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিবৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৮ মিটার