গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: ২৮৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
২৮৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ( ২ × ২) × (২ × ২) × ২ × (৩ × ৩)

এখানে, ২ জোড়া বিহীন
∴ ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি f(a) = a³ + ka² - 4a - 8 হয়, তাহলে k -এর কোন মানের জন্য f(- 1) = 0 হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(a) = a³ + ka² - 4a - 8
⇒ f(- 1) = (- 1)³ + k (- 1)² - 4(- 1) - 8
⇒ f(- 1) = - 1 + k + 4 - 8
∴ f(- 1) = k - 5 

যেহেতু, 
f(- 1) = 0
⇒ k - 5 = 0
∴ k = 5

১০০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে মোট নম্বর = ৭০ x ১০০ = ৭০০০
৪০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ৪০ x ৬২.৫ = ২৫০০
তাহলে, ৬০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = ৭০০০ – ২৫০০ = ৪৫০০
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ৪৫০০/৬০ = ৭৫

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোনো মূলধন ১০ বৎসরে সুদে-আসলে তিনগুণ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
আসল = x টাকা 
∴ সুদে-আসলে ৩ গুণ = ৩x টাকা 
∴ সুদ = (৩x - x) টাকা 
= ২x টাকা 

x টাকার ১০ বৎসরের সুদ = ২x টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বৎসরের সুদ = ২x/(x × ১০) টাকা 
∴ ১০০ টাকার ১ বৎসরের সুদ = (২x × ১০০)/(x × ১০) টাকা 
= ২০ টাকা 

∴ শতকরা সরল সুদের হার = ২০ টাকা । 

৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১১২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৭
∴ গ.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ = ১৬

 প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
{(2x + 3)/5} ≥ 3
 ⇒ 2x + 3 ≥ 15 
 ⇒ 2x ≥ 12 
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান = 6

প্রশ্ন: একজন মালি সারি ও কলামে গাছ লাগিয়েছেন, যেখানে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার চেয়ে চার কম। যদি মোট সারি ও কলামের সংখ্যা ১০০ হয়, তবে মোট গাছের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কলামের সংখ্যা = ক 
সারির সংখ্যা = ক - ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক - ৪ = ১০০
⇒ ২ক = ১০৪
⇒ ক = ১০৪/২
∴ ক = ৫২

অতএব, কলামের সংখ্যা = ৫২
তাহলে, সারির সংখ্যা = ৫২ - ৪ = ৪৮

∴ গাছের মোট সংখ্যা = ৫২ × ৪৮ = ২৪৯৬ টি

প্রশ্ন: (x - 3)(x + b) = x² - 9 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x + b) = x² - 9
⇒ (x - 3)(x + b) = (x - 3)(x + 3)
⇒ x + b = x + 3
⇒ x + b - x = 3
∴ b = 3

এক্ষেত্রে,
বাছাই করার উপায় = ^{(13 - 3)}c_{(7 - 3)}
= ¹⁰C₄
= 210

করিম ১ ঘন্টায় যায় ৩ মাইল। এবং আগে রওনা দেওয়ায় বাকি থাকে (৪৫ - ৩) = ৪২ মাইল

উভয়ে একত্রে ১ ঘন্টায় অতিক্রম করে (৩ + ৪) = ৭ মাইল
উভয়ে একত্রে ৪২ মাইল অতিক্রম করে ৪২/৭ = ৬ ঘন্টায়

৬ ঘন্টায় রহিম টাঙ্গাইল থেকে ঢাকা অভিমূখে ৬ × ৪ = ২৪ কিমি হেটে করিমের সাথে দেখা হয়।

প্রশ্ন: 4000 টাকার উপর প্রতি বছর 5% বার্ষিক সরল মুনাফা দিলে কত বছরে মুনাফা আসলে 4400 টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সুদ, I = (4400 - 4000) = 400
আসল, P = 4000
সুদের হার, r = 5%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, n = I/Pr
= 400/(4000 × 5%)
= 400/{4000 × (5/100)}
= 400/200
= 2 

∴ সময় লাগবে = 2 বছর।

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 12 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাস 10 সে.মি. হলে তার আয়তন কত?

সমাধান:
প্রদত্ত আছে, কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে.মি.
কোণকের ভূমির ব্যাস = 10 সে.মি.
∴ কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 10/2 = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
= 1/3 × π × (5)² × 12
= 1/3 × π × 25 × 12
= π × 25 × 4 
= 100π

∴ কোণকটির আয়তন = 100π ঘন সে.মি.

১২- ৫ = ৭; ১৬ - ৯ = ৭
এখন,
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
∴ ১২, ১৬ এর লসাগু = ২ × ২ × ৩ × ২ × ২ = ৪৮
সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যা = ৪৮ - ৭ = ৪১

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1)   ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে,
৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৫৪

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৮ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৬ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৬ অংশ = ১/৩ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (১ - ১/৩) = ২/৩ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৮ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৬) - (১/৮)
= (৪ - ৩)/২৪
= ১/২৪

১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ পূর্ণ হয় = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ১৬) ঘণ্টা = ১৮ ঘণ্টা 

প্রশ্ন:

সমাধান:

নিয়ম-১ঃ
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২² × ৩²
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯টি।
নিয়ম-২ঃ
৩৬ = ১ × ৩৬ = ২ × ১৮ = ৩ × ১২ = ৪ × ৯ = ৬ × ৬
৩৬ সংখ্যাটির ভাজক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ = ৯টি।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন?

সমাধান:
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়।

নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ

উৎস: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি

আমরা জানি
১ গ্রাম = ১০০০ মিলিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০ ডেসিগ্রাম
১ গ্রাম = ১০০ সেন্টিগ্রাম
১ কিলোগ্রাম = ১০০০ গ্রাম

৫৬ মিটার দৈর্ঘ্যের ১/৪ হলো বিস্তার।
∴বিস্তার= ৫৬/৪ = ১৪ মিটার।
∴ পরিসীমা = ২(৫৬+১৪) = ১৪০ মিটার।

(x² - 6x + 5)/(x² - 25)
= (x² - 5x - x + 5)/(x² - 25)
= {x(x-5) - 1(x-5)}/{(x-5)(x+5)}
= (x-5)(x-1)/(x-5)(x+5)
= (x−1)/(x+5)

প্রশ্ন: x² - (p + q)x + pq = 0 এর সমাধান সেট হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - (p + q)x + pq = 0
⇒ x² - px - qx + pq = 0
⇒ x(x - p) - q(x - p) = 0
⇒ (x - p)(x - q) = 0

হয়,
x - p = 0
∴ x = p

অথবা,
x - q = 0
∴ x = q

∴ x = p, q

সুতরাং সমাধান সেট = {p, q}

প্রশ্ন: যদি 2q = 2/q + 3 হয়, তবে 8q³ - 8/q³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2q = 2/q + 3
⇒ 2q - 2/q = 3
⇒ 2(x - 1/q) = 3
⇒ q - 1/q = 3/2

∴ 8q³ - 8/q³
= 8(q³ - 1/q³)
= 8 {(x - 1/q)³ + 3. q. 1/q(q - 1/q)}
= 8 {(3/2)³ + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, a = 16 মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 মি.
আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = a/4 √(4b²-a²)
= 16/4 √(4×10²-16²)
= 4√(400-256)
= 4×12
= 48 বর্গ মি.

ধরি, S = ৭+৭৭+৭৭৭+……………
S/7 = 1+11+111+………
9S/7 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………
= (10+10²+10³+………+10ⁿ) – (1+1+1+………+n)
= 10(1+10+10²…………10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 7/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 70(10n-1)/81 – 7n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+ …………… n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}

প্রশ্ন: যদি x - y = 14 এবং xy = 120 হয়, তাহলে x + y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x - y = 14
এবং xy = 120

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (14)² + 4 × 120
⇒ (x + y)² = 196 + 480
⇒ (x + y)² = 676
⇒ x + y = √676
∴ x + y = 26

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের ১৫ জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার ৪ জনকে নিয়ে কতটি ভিন্ন কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে ৩ জন নির্দিষ্ট সদস্য কমিটিতে রাখা যাবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি (15 - 3) = 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹²C₄
= 12!/{4! × (12 - 4)!}
= 12!/(4! × 8!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 8!)
= 495

a, b, c প্রত্যেকে বাস্তব সংখ্যা হলে,
(b + c). a = b.a + c.a [বিতরণ বিধি]
(a + b) + c = a + (b + c)[সহ সংযোগ বিধি]
a.b = b.a[বিনিময় বিধি]
(a.b).c = a.(b.c)[ সহসংযোগ বিধি]

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ২/৫ অংশ মাটির নিচে, ১/৫ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ৪ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = X মিটার 

তাহলে,
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (২/৫ + ১/৫) × X অংশ
= (৩X/৬) অংশ 

আবার,
পানির উপরে আছে = {X - (৩X/৫)} = (২X/৫) অংশ 

প্রশ্নমতে,
২X/৫ = ৪
বা, ২X = ২০
বা, X = ২০/২
∴ x = ১০

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১০ মিটার।

প্রশ্ন: x - 2y - 10= 0 এবং 2x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y - 10 = 0 এবং 2x + y - 3 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল:
x - 2y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = x - 10
∴ y = (1/2)x - 5  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 1/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
2x + y - 3 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 2x + 3  
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁× m₂
= (1/2) × (- 2) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ = - ৭

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
১৫তম পদ, a_১৫ = ২ + (১৫ - ১) × (- ৭)
= ২ + ১৪ × (- ৭)
= ২ - ৯৮
= - ৯৬