গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৭৪ / ৪৭৫ · ১৭,৩০১–১৭,৪০০ / ৪৭,৮৩৩

১৭,৩০১.

3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3276
খ
3279
গ
3280
ঘ
3283

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ- 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷- 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

১৭,৩০২.

একটি বাঁশের ০.১৫ অংশ কাদায় ও ০.৬৫ অংশ পানিতে আছে। যদি পানির উপরে বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হয়, তাহলে সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১০ মিটার
খ
খ) ১৫ মিটার
গ
গ) ২০ মিটার
ঘ
ঘ) ২০ মিটার

ব্যাখ্যা

বাঁশটির কাদায় ও পানিতে আছে = (০.১৫ + ০.৬৫) অংশ
= ০.৮০ অংশ
= ৮০/১০০ অংশ
= ৪/৫ অংশ
ধরি
সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ১
পানির উপরে আছে = ১ - (৪/৫)
= (৫ - ৪)/৫
= ১/৫ অংশ
প্রশ্নমতে
১/৫ অংশ = ৩ মিটার
১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ = (৩ × ৫)/১ মিটার = ১৫ মিটার

১৭,৩০৩.

১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
৩
খ
৬
গ
৯
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫

∴ ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ৯

১৭,৩০৪.

a = √6 + √5 হলে, a² + a^{- 2} এর মান কত?

ক
18
খ
22
গ
28
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে, a² + a^{- 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √6 + √5
⇒ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6)² - (√5)²
⇒ 1/a = √6 - √5
∴ a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6

প্রদত্ত রাশি = a² + a^{- 2}
= a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (2√6)² - 2
= 4 × 6 - 2
= 22

১৭,৩০৫.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে ২৭ ও ৯ হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ১/৬
গ
গ) ১/৫
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

১৭,৩০৬.

একটি দাবা টুর্নামেন্টে আটজন অংশগ্রহণ করেছে। একক পদ্ধতিতে মোট কয়টি খেলা পরিচালনা করা যাবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 16
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 28

ব্যাখ্যা

দুইজন মিলে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে।
মোট খেলার সংখ্যা হবে
= ⁸C₂
= 28

১৭,৩০৭.

২ থেকে শুরু করে পরপর সাতটি জোড় সংখ্যার মধ্যক কত হবে?

ক
ক) ৬
খ
খ) ৮
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ১০

ব্যাখ্যা

২ থেকে শুরু করে ছয়টি জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২,১৪
এখানে,
n = ৭
∴ মধ্যক =(n +১)/২ তম পদ
=(৭ +১)/২ তম পদ
= ৪ তম পদ
= ৮

১৭,৩০৮.

যদি 9a² + 1/a² = 2 হয়, তবে 27a³ + 1/a³ এর মান কত?

ক
ক) 4√2
খ
খ) 2√2
গ
গ) - 2√2
ঘ
ঘ) 34√2

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
9a² + 1/a² = 2
(3a)² + (1/a)² = 2
(3a + 1/a)² - 2 .3a. 1/a = 2
(3a + 1/a)² = 2 + 6
(3a + 1/a)² = 8
3a + 1/a = √8
3a + 1/a = 2√2

27a³ + 1/a³ = (3a)³ + (1/a)³
= (3a + 1/a)³ - 3.3a.(1/a)(3a + 1/a)
= (2√2)³ - 9(2√2)
= 16√2 - 18√2
= - 2√2

১৭,৩০৯.

যদি C = 60° হয়, তাহলে (1 + tan²C)/(1 - tan²C) এর মান নির্ণয় করুন।

ক
- 2
খ
- 1
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি C = 60° হয়, তাহলে (1 + tan²C)/(1 - tan²C) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
(1 + tan²C)/(1 - tan²C)
= (1 + tan²60°)/(1 - tan²60°)
= [(1 + (√3)²]/[(1 - (√3)²]
= (1 + 3)/(1 - 3)
= 4/(- 2)
= - 2

১৭,৩১০.

log_√24 × log_√33 = কত?

ক
6
খ
2
গ
4
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√24 × log_√33 = কত?

সমাধান:
log_√24 × log_√33
= log_√2(√2)⁴ × log_√3(√3)²
= 4 log_√2√2 × 2 log_√3√3
= 4 · 1 × 2 · 1
= 8

১৭,৩১১.

বার্ষিক মুনাফা ৯% থেকে বেড়ে ১১% হওয়ায় মাসুদের আয় ৮ বছরে ২৫৬ টাকা বেড়ে গেল। তার মূলধন কত ছিল?

ক
১২০০ টাকা
খ
১৪০০ টাকা
গ
১৬০০ টাকা
ঘ
১৮০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক মুনাফা ৯% থেকে বেড়ে ১১% হওয়ায় মাসুদের আয় ৮ বছরে ২৫৬ টাকা বেড়ে গেল। তার মূলধন কত ছিল?

সমাধান:
এখানে,
মুনাফা বৃদ্ধি, r = (১১ - ৯)% = ২% = ২/১০০ = ১/৫০ টাকা
সময়, n = ৮ বছর
মুনাফা, I = ২৫৬ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, P = I/nr
বা, P = ২৫৬/{৮ × (১/৫০)}
বা, P = (২৫৬ × ৫০)/৮
∴ P = ১৬০০

∴ মূলধন = ১৬০০ টাকা

১৭,৩১২.

log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2 এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2 এর মান কত?

সমাধান:
log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2
= log₃3⁴ + log_√3(√3)⁵ - log_√2(√2)¹¹
= 4 + 5 - 11
= - 2

১৭,৩১৩.

দুটি সম্পূরক কোণ এর অনুপাত 3 : 2 হলে, বড় কোণটির মান কত?

ক
ক) 54°
খ
খ) 72°
গ
গ) 108°
ঘ
ঘ) 144°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণ এর অনুপাত 3 : 2 হলে, বড় কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণ দুটি 3x ও 2x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 180°
বা, 5x = 180°
∴ x = 36°

∴ বৃহত্তম কোণ = (3 × 36°) = 108°

১৭,৩১৪.

625(√5)^2a = 1 হলে, a এর মান কত?

ক
1
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 625(√5)^2a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (√5)^2a = 1/625
⇒ (√5)^2a = 1/5⁴
⇒ (√5)^2a = 1/(√5)⁸
⇒ (√5)^2a = (√5)^{- 8}
⇒ 2a = - 8
∴ a = - 4

১৭,৩১৫.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

ক
১০%
খ
২০%
গ
৩৬%
ঘ
৪০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π r^২
= π (১০০)^২
= π ১০০০০

আবার,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
= π (৮০)^২
= π৬৪০০
∴ ক্ষেত্রফল কমে = ১০০০০π - ৬৪০০π
= ৩৬০০π

১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা ৩৬ ভাগ কমবে।

১৭,৩১৬.

63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

ক
- 1
খ
1
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

সমাধান:
যেকোনো সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাওয়া যায়, N = a ×10ⁿ, যেখানে N > 0, 1≤ a ≤ 10 এবং n ∈ Z
যেমন: ৫০০ = ৫ × ১০^২
৩৩৩৩ = ৩.৩৩৩ × ১০^৩
০.২৫ = ২.৫ × ১০^-১

N = a × 10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀ (a × 10ⁿ) [উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে]
⇒ log₁₀N = log₁₀a + log₁₀10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀a + nlog₁₀10
⇒ log₁₀N = n + log₁₀a [ log10 10 = 1]
∴ log₁₀N= n + log₁₀a
logN = n + loga [ভিত্তি 10 উহ্য রেখে]
এখানে, n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক। অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করার পর ১০ এর যে ঘাত পাওয়া যায় সেই ঘাতকে পূর্ণক বলে।

প্রদত্ত সংখ্যাটি,
63.70
= 6.370 × 10¹
∴ 63.70 এর লগের পূর্ণক 1

১৭,৩১৭.

(x/5)^p = 1 হলে, p এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/5)^p = 1 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
(x/5)^p = 1
বা, (x/5)^p = (x/5)⁰
p = 0

১৭,৩১৮.

ক
6/5
খ
5/6
গ
1
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৭,৩১৯.

x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?

ক
x + 1
খ
x + 2
গ
x - 3
ঘ
x - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
ধরি
f(x) = x³ - 7x - 6
f( - 1) = ( - 1)³ - 7( - 1) - 6
= - 1 + 7 - 6
= 7 - 7
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( - 2) = ( - 2)³ - 7( - 2) - 6
= - 8 + 14 - 6
= 14 - 14
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( 3) = (3)³ - 7(3) - 6
= 27 - 21 - 6
= 27 - 27
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( 1) = (1)3 - 7(1) - 6
= 1 - 7 - 6
= 1 - 13
= - 12

x - 1, x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয়।

১৭,৩২০.

9টি জিনিসের মধ্যে 2টি এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার 5টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক
89
খ
90
গ
91
ঘ
92

ব্যাখ্যা

2টি একই জাতীয় জিনিস বাদ দিয়ে বাছাই করা যায় ⁷c₃ = 35
আবার,
2টি একই জাতীয় হলে মোট 8 ধরণের জিনিস হতে 5টি নিয়ে বাছাই করা যায়
=⁸c₅ = 56
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 35 + 56 = 91

১৭,৩২১.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …… ধারাটির ১ম আটটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 256/255
খ
খ) -(256/255)
গ
গ) -(255/256)
ঘ
ঘ) 255/256

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

১৭,৩২২.

২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৪৮ বর্গমিটার
খ
১৫২ বর্গমিটার
গ
১৬০ বর্গমিটার
ঘ
১৮০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার
= ১৬০ বর্গমিটার।

১৭,৩২৩.

একটি বৃত্তাকার পথে একজন সাইকেল চালক π/১২ রেডিয়ান/সেকেন্ড বেগে গতিশীল। বৃত্তাকার পথটি ৫ বার সম্পূর্ণ প্রদক্ষিণ করতে কত সময় লাগবে?

ক
১.৫ মিনিট
খ
২ মিনিট
গ
২.৫ মিনিট
ঘ
৩ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পথে একজন সাইকেল চালক π/১২ রেডিয়ান/সেকেন্ড বেগে গতিশীল। বৃত্তাকার পথটি ৫ বার সম্পূর্ণ প্রদক্ষিণ করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
একটি বৃত্ত একবার সম্পূর্ণ ঘুরলে ২π রেডিয়ান দূরত্ব অতিক্রম হয়।
৫ বার ঘুরলে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = (২π × ৫) = ১০π রেডিয়ান।

π/১২ রেডিয়ান/সেকেন্ড বেগে ১০π দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ১০π/(π/১২) সেকেন্ড
= ১২০ সেকেন্ড
= ২ মিনিট

১৭,৩২৪.

একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
২০০
খ
২৫০
গ
৩০০
ঘ
৩৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১.৫ কি.মি. পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

১.৫ কি.মি. = (১০০০ ×১.৫) মিটার = ১৫০০ মিটার

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার
= ৩০০ বার

১৭,৩২৫.

দু’টি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু. = ৪ হলে ল.সা.গু. কত?

ক
ক) ২৪০
খ
খ) ৩৬০
গ
গ) ৬০
ঘ
ঘ) ১২০

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ৫a, ৬a
∴ গ.সা.গু. a = ৪
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৬ × a
= ৩০ × ৪
= ১২০

১৭,৩২৬.

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

ক
৪৫°
খ
৯০°
গ
৭৫°
ঘ
৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°

১৭,৩২৭.

কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:

মনে করি,
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল = ‍a
দ্বিঘাত সমীকরণের অপর মূল = 1/a

∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = a.1/a = 1
∴ মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক = 1/2

১৭,৩২৮.

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর। ০৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৮ : ১। ০৬ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

ক
৯ : ১
খ
৭ : ৪
গ
৫ : ১
ঘ
১০ : ৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর। ০৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৮ : ১। ০৬ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর।

৬ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিল = {৬৬ - (৬ + ৬)} বছর
= (৬৬ - ১২) বছর
= ৫৪ বছর

মনে করি,
৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = ৮ক বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ক বছর

প্রশ্নমতে,
৮ক + ক = ৫৪
⇒ ৯ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৯
⇒ ক = ৬

৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৮ × ৬) বছর = ৪৮ বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ৬ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪৮ + ৬) বছর = ৫৪ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৬ + ৬) বছর = ১২ বছর

৬ বছর পর,
পিতার বয়স হবে = (৫৪ + ৬) বছর = ৬০ বছর
পুত্রের বয়স হবে = (১২ + ৬) বছর = ১৮ বছর

৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৬০ : ১৮
= ১০ : ৩

১৭,৩২৯.

নিচের কোনটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত?

ক
ক) 6 : 4 : 3
খ
খ) 6 : 5 : 4
গ
গ) 11 : 8 : 7
ঘ
ঘ) 13 : 12 : 5

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
এখানে,
4²+3² = 16+9 = 25 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
5²+4² = 25+16 = 41 ≠ 6² = 36 ; যা সম্ভব নয়।
8²+7² = 64+49 = 113 ≠ 11² = 121 ; যা সম্ভব নয়।
12²+5² = 144+25 = 169 = 13² = 169 ; যা সম্ভব।
∴ নির্ণেয় অনুপাতটি 13 : 12 : 5

১৭,৩৩০.

কামাল বশিরের ৫ বছরের ছোট। বশির টুটুলের ৫ বছরের বড়। কামাল ও টুটুলের বয়সের পার্থক্য কত?

ক
১৫
খ
১০
গ
৫
ঘ
০
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কামাল বশিরের ৫ বছরের ছোট। বশির টুটুলের ৫ বছরের বড়। কামাল ও টুটুলের বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
কামাল বশিরের ৫ বছরের ছোট
বশিরের বয়স = কামালের বয়স + ৫ বছর
বশির টুটুলের ৫ বছরের বড়
বশিরের বয়স = টুটুলের বয়স + ৫ বছর

এখন
কামালের বয়স + ৫ বছর = টুটুলের বয়স + ৫ বছর
কামালের বয়স - টুটুলের বয়স = ৫ - ৫
কামালের বয়স - টুটুলের বয়স = ০ বছর

১৭,৩৩১.

একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

ক
408 উপায়ে
খ
495 উপায়ে
গ
462 উপায়ে
ঘ
528 উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

সমাধান:
এখানে,
শিক্ষকের সংখ্যা = 12 জন
কমিটিতে স্থান দিতে হবে = 4 জন

∴ এদের মধ্য থেকে বাছাই করতে হবে = ¹²C₄
= 12!/4! . (12 - 4)!
= 12!/4! . 8!
= 12⋅11⋅10⋅9. 8! /8! . 4 . 3 . 2 . 1
= 495

∴ 495 উপায়ে বাছাই করা সম্ভব।

১৭,৩৩২.

একটি রম্বসের একটি কর্ণ 1000 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 48 মি.
খ
খ) 36 মি.
গ
গ) 12 মি.
ঘ
ঘ) 24 মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণ 1000 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
রম্বসের একটি কর্ণ = 1000 সে.মি. = 1000/100 = 10 মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
120 = (1/2) × 10 × d₂
120 = 5 × d₂
d₂= 120/5
d₂ = 24 মি.

১৭,৩৩৩.

একজন দালালের কমিশনের হার ৪% থেকে ৫% এ বৃদ্ধি পেলেও আয় অপরিবর্তিত থাকে। ব্যবসা শতকরা কত কমে গিয়েছে?

ক
ক) ১০%
খ
খ) ১৫%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দালালের কমিশনের হার ৪% থেকে ৫% এ বৃদ্ধি পেলেও আয় অপরিবর্তিত থাকে। ব্যবসা শতকরা কত কমে গিয়েছে?

সমাধান:
মনে করি,
ব্যবসায় টাকার পরিমাণ ১০০
∴ কমিশন = (১০০ × ৪%) = ৪ টাকা

আবার,
ধরি, ব্যবসায় নতুন টাকার পরিমাণ m
কমিশন = (m × ৫%) = m/২০ টাকা

প্রশ্নমতে,
m/২০ = ৪
বা, m = ৮০ টাকা

∴ ব্যবসায় টাকা কমেছে = (১০০ - ৮০) টাকা
= ২০ টাকা

১৭,৩৩৪.

৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে তেল ও পানির অনুপাত ৩ : ৪ হবে?

ক
৩৮ লিটার
খ
৩৪ লিটার
গ
২৮ লিটার
ঘ
২৪ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে তেল ও পানির অনুপাত ৩ : ৪ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তেল : পানি = ৭ : ৩
অনুপাত রাশির যোগফল = ৭ + ৩ = ১০

∴ মিশ্রণে তেলের পরিমাণ = ৬০ × (৭/১০) = ৪২ লিটার ।
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ × (৩/১০) = ১৮ লিটার

অতিরিক্ত পানি মেশানোর পর,
তেল : পানি = ৩ : ৪

ধরি,
মেশানোর পর মিশ্রণের পরিমাণ হয় ক লিটার

শর্তমতে,
৪২/(১৮ + ক) = ৩/৪
⇒ ১৬৮ = ৫৪ + ৩ক
⇒ ৩ক = ১৬৮ - ৫৪
⇒ ৩ক = ১১৪
⇒ ক = ১১৪/৩
∴ ক = ৩৮

সুতরাং, ৩৮ লিটার পানি আরও মিশাতে হবে।

১৭,৩৩৫.

a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

ক
37
খ
43
গ
47
ঘ
53

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ + (a- 1)⁴ = a⁴ + (1/a⁴)
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2 ⋅ a² ⋅ (1/a²)
= [{a + (1/a)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]² - 2
= (3² - 2)² - 2 [যেহেতু, a + a^{- 1} = 3 বা, a + (1/a) = 3]
= 7² - 2
= 47

১৭,৩৩৬.

একটি বইয়ের দাম ২৪০ টাকা এবং এই দাম প্রকৃত দামের ৮০%। বাকি দাম সরকার ভর্তুকি দিলে বই প্রতি কত টাকা ভর্তুকি দেয়া হয়।

ক
ক) ৫০ টাকা
খ
খ) ৪০ টাকা
গ
গ) ২০ টাকা
ঘ
ঘ) ৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

৮০ টাকা বইয়ের দাম হলে প্রকৃত দাম ১০০ টাকা
২৪০ টাকা হলে বইয়ের প্রকৃত দাম (১০০×২৪০)/৮০ = ৩০০ টাকা।
∴সরকার ভর্তুকি দেয় (৩০০ - ২৪০) = ৬০ টাকা।

১৭,৩৩৭.

xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3 এর রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে গেলে c এর মান কত?

ক
ক) - 6
খ
খ) - 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3

রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে
তাহলে,
- c = (-1/2)c + 3
c = (c/2) - 3
c - (c/2) = - 3
(2c - c)/2 = - 3
c/2 = -3
c = - 6

১৭,৩৩৮.

যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

ক
ক) 18√2
খ
খ) 12√3
গ
গ) 9√2
ঘ
ঘ) 18√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
বা, 1/x = √3 - √2

এখন,
x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
∴ x + 1/x = 2√3

আমরা জানি,
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√3)³ - 3. 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

১৭,৩৩৯.

sin225° = কত?

ক
- 1/√2
খ
1/√2
গ
√2/3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sin225° = কত?

সমাধান:
sin225° = sin(2 × 90° + 45°)
= - sin45°
= -1/√2

১৭,৩৪০.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮ বর্গ সে.মি.
খ
১২ বর্গ সে.মি.
গ
২৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
৪৮ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.। রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৬ বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.

১৭,৩৪১.

নদীতে লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ২৫ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ৬০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে পুনরায় যথাস্থানে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

ক
ক) ৪ ঘণ্টা
খ
খ) ৫ ঘণ্টা
গ
গ) ৬ ঘণ্টা
ঘ
ঘ) ৭ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নদীতে লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ২৫ কি.মি. ও ৫ কি.মি.। নদী পথে ৬০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে পুনরায় যথাস্থানে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের গতিবেগ = (২৫ + ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৩০ কি.মি./ঘণ্টা

৩০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/৩০ ঘণ্টা
= ২ ঘণ্টা

আবার,
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের গতিবেগ = (২৫ - ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ২০ কি.মি. /ঘণ্টা

২০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/২০ ঘণ্টা
= ৩ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগবে = (২ + ৩) ঘণ্টা
= ৫ ঘণ্টা

১৭,৩৪২.

রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

ক
একটি
খ
দুইটি
গ
অসংখ্য
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

১৭,৩৪৩.

6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 6x² - 7x + 5

ভাগশেষ উপপাদ্যের অনুসারে,
f(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 6 - 7 + 5
= 11 - 7
= 4

∴ 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হবে।

১৭,৩৪৪.

৪৫ কোন সংখ্যার ৩০% এর সমান?

ক
ক) ১০০
খ
খ) ১৫০
গ
গ) ২০০
ঘ
ঘ) ১৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৫ কোন সংখ্যার ৩০% এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = p
P এর ৩০% = ৪৫
বা, p × (৩০/১০০) = ৪৫
বা, p = (৪৫ × ১০০)/৩০
বা, p = ১৫০

১৭,৩৪৫.

যদি ⁿC_r = 15 এবং ⁿP_r = 360 হয় তবে r = ?

ক
24
খ
16
গ
12
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁿC_r = 15 এবং ⁿP_r = 360 হয় তবে r = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
r! × ⁿC_r = ⁿP_rবা, r! × 15 = 360
বা, r! = 360/15
বা, r! = 24
বা, r! = 4!
∴ r = 4

১৭,৩৪৬.

পৃথিবীর বাইরে একটি গ্রহে যদি ১৫ দিনে ১ মাস ও ৭ মাসে ১ বছর হয়, তাহলে ঐ গ্রহের ৮৪৫ দিন পেরোলে কত বছর হবে?

ক
ক) ৭
খ
খ) ৮
গ
গ) ৬
ঘ
ঘ) ৯
ঙ
ঙ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পৃথিবীর বাইরে একটি গ্রহে যদি ১৫ দিনে ১ মাস ও ৭ মাসে ১ বছর হয়, তাহলে ঐ গ্রহের ৮৪৫ দিন পেরোলে কত বছর হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পৃথিবীর বাইরে একটি গ্রহে
১৫ দিনে = ১ মাস
৮৪৫ দিনে = ৮৪৫/১৫ মাস
= ৫৬ মাস ৫ দিন

আবার,
৭ মাসে = ১ বছর
৫৬ মাস ৫ দিন = ৮ বছর ৫ দিন।
[অপশনে ৮ বছর থাকায় উত্তর হবে ৮ বছর]

১৭,৩৪৭.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 20, 28, 40 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 7 অবশিষ্ট থাকবে?

ক
982
খ
782
গ
822
ঘ
847

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 20, 28, 40 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 7 অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
12, 20, 28, 40 এর ল. সা. গু এর সাথে 7 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

12 = 2 × 2 × 3
20 = 2 × 2 × 5
28 = 2 × 2 × 7
40 = 2 × 2 × 2 × 5

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2³
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5¹
7 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 7¹
ল. সা. গু = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

∴ সংখ্যাটি = 840 + 7 = 847

১৭,৩৪৮.

একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায় অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 13 মিটার
খ
খ) 14মিটার
গ
গ) 15 মিটার
ঘ
ঘ) 17 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে 15 মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায় অপর প্রান্ত ঘর থেকে 8 মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

মনেকরি
দেয়ালের দৈর্ঘ্য AB = 15 মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব BC= 8মিটার
মই এর দৈর্ঘ্য AC = ?

আমরা জানি,
AC² = AB²+ BC²
AC² = 15² + 8²
AC² = 225 + 64
AC² = 289
AC² = 17²
AC = 17

১৭,৩৪৯.

দুটি সংখ্যার গ. সা. গু ও ল. সা. গু যথাক্রমে ১২ ও ১৪৪। একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

ক
ক) ৮০
খ
খ) ৪৮
গ
গ) ৭২
ঘ
ঘ) ৮৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু ও ল. সা. গু যথাক্রমে ১২ ও ১৪৪। একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ ১২
সংখ্যাটি ৪৮

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ. সা. গু
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = ১২ × ১৪৪
∴ অপর সংখ্যা = (১২ × ১৪৪)/৪৮
= ৩৬

সংখ্যা দুটির যোগফল = ৪৮ + ৩৬ = ৮৪

১৭,৩৫০.

নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ২ কি.মি. হলে স্রোতের অনুকূলে ৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

ক
৯ ঘণ্টা
খ
১২ ঘণ্টা
গ
১০ ঘণ্টা
ঘ
১৫ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ২ কি.মি. হলে স্রোতের অনুকূলে ৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১০ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১০ + ২) = ১২ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০ - ২) = ৮ কি.মি./ঘণ্টা

এখন,
৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/১২ = ৬ ঘণ্টা
এবং, ৭২ কি.মি. পথ পুনরায় ফিরে আসতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/৮ = ৯ ঘণ্টা

∴ মোট সময় লাগবে = (৬ + ৯) ঘণ্টা = ১৫ ঘণ্টা

১৭,৩৫১.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
72
গ
27
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = x + 10(9 - x) = 90 - 9x

অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = 10x + (9 - x) = 9x + 9

প্রশ্নমতে, (9x + 9) - (90 - 9x) = 45
⇒ 9x + 9 - 90 + 9x = 45
⇒ 18x - 81 = 45
⇒ 18x = 45 + 81
⇒ 18x = 126
⇒ x = 126/18
⇒ x = 7

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 7) = 90 - 63 = 27

১৭,৩৫২.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হচ্ছে-

ক
ক) ব্যাসার্ধ
খ
খ) ব্যাসার্ধের অর্ধেকের সমান জ্যা
গ
গ) ব্যাস
ঘ
ঘ) কেন্দ্র হতে দূরবর্তী জ্যা টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হচ্ছে-

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
অর্থাৎ, ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব। বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী। যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। দুইটি পরস্পরছেদী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ তাদের সাধারণ জ্যা-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান। কোনো বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তটির একটি জ্যা বলা হয়। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস। বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা-টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতম।
- কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে। বৃত্তের সমান জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত। বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা, দূরবর্তী জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর।

১৭,৩৫৩.

দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২০/১২০। এদের একটি ৫/৮ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?

ক
৭/১৯
খ
৪/১৫
গ
৬/২১
ঘ
৫/২৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ২০/১২০। এদের একটি ৫/৮ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
অপর ভগ্নাংশটি = ভগ্নাংশ দুটির গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ
= (২০/১২০)/(৫/৮)
= (২০/১২০) × (৮/৫)
= ৪/১৫

১৭,৩৫৪.

1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

ক
a(a + 1)
খ
a²
গ
a(a + 1)/2
ঘ
a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 2a - 1

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2a - 1 - 1)/2} + 1
= {2(a - 1)/2} + 1
= a - 1 + 1
= a

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(2a - 1 + 1)/2} × a
= (2a/2) × a
= a²

১৭,৩৫৫.

729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
5
গ
7
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃729
= log₃3⁶
= 6 log₃3
= 6 × 1
= 6

১৭,৩৫৬.

নিচের কোন পরিমাপটি সঠিক?

ক
১০০০ মিলিয়ন = ১০০০০ কোটি
খ
১০০০ মিলিয়ন = ১০ কোটি
গ
১০০০ মিলিয়ন = ১০০ কোটি
ঘ
১০০০ মিলিয়ন = ১০০০০০ কোটি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি সঠিক?

সমাধান:
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ মিলিয়ন = ১০ কোটি
১০০০ মিলিয়ন = ১০০ কোটি

১৭,৩৫৭.

কোনো আসল টাকার ৫ বছরের সুদ, সুদ-আসলের ১/৬ অংশ। সুদের হার কত?

ক
৪%
খ
৫%
গ
৬%
ঘ
৮%

ব্যাখ্যা

মনেকরি
সুদ-আসল = ৬ টাকা
সুদ = (৬ এর ১/৬) টাকা = ১ টাকা

আসল = (৬ - ১) টাকা = ৫ টাকা

৫ টাকার ৫ বছরের সুদ ১ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ১/(৫×৫) টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (১×১০০)/(৫×৫) টাকা
= ৪ টাকা

১৭,৩৫৮.

একটি পণ্য ২৫% লাভে বিক্রয় করা হলে, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত হবে-

ক
৫ : ৪
খ
৮ : ৫
গ
৭ : ৪
ঘ
৯ : ৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পণ্য ২৫% লাভে বিক্রয় করা হলে, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত হবে-

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০
২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫

∴ বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১২৫ : ১০০
= ৫ : ৪

১৭,৩৫৯.

একজন ব্যাটসম্যান খেলার শেষ বলে ছয় মেরে ১০০ রানে অপরাজিত ছিলেন, যেখানে তিনি বাউন্ডারি মেরেছেন ১০ টি এবং ওভার বাউন্ডারি মেরেছেন ৫ টি। তিনি দৌড়ে কত শতাংশ রান নিয়েছিলেন?

ক
২২%
খ
২৫%
গ
৩০%
ঘ
৪০%

ব্যাখ্যা

১০০ রানের মধ্যে দৌড়ে নিয়েছিলেন {১০০ - (৪×১০ + ৬×৫)} = ৩০ রান
অর্থাৎ, ৩০ শতাংশ রান

১৭,৩৬০.

এর সমাধান-

ক
11/7
খ
13/5
গ
5
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর সমাধান-

সমাধান:

১৭,৩৬১.

এক নটিক্যাল মাইলে কত মিটার?

ক
ক) ১৭৫০.১৮ মি.
খ
খ) ১৮৫৩.১৮ মি.
গ
গ) ১৬৫০.২০ মি.
ঘ
ঘ) ১৯৫৩.১৮ মি

ব্যাখ্যা

এক নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫৩১ কিলোমিটার = ১৮৫৩.১৮ মিটার।

১৭,৩৬২.

টাকায় ৫টি মার্বেল বিক্রয় করায় ১২% ক্ষতি হয়। ১০% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

ক
ক) ৪টি
খ
খ) ৩টি
গ
গ) ২টি
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা '' '' = ১০০/৮৮ টাকা

আবার ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০
'' ১ '' '' '' = ১১০/১০০
'' ১০০/৮৮ '' '' '' = (১১০×১০০) / (১০০×৮৮) = ১১০/৮৮

১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি মার্বেল
∴ ১ '' '' '' '' = (৫×৮৮) / ১১০ = ৪ টি মার্বেল

১৭,৩৬৩.

যদি 5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
- 1
খ
- 2
গ
1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1
ধরি,
5^a = x
∴ x + 8x + 16x = 1
⇒ 25x = 1
⇒ x = 1/25
⇒ 5^a = 5^{- 2}∴ a = - 2

১৭,৩৬৪.

রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি?

ক
১টি
খ
অসংখ্য
গ
২টি
ঘ
প্রান্ত বিন্দু নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি?

সমাধান:

রেখাংশ:

- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।

- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।

- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:

- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।

- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

১৭,৩৬৫.

একটি বইয়ের মূল্য ৪০ টাকা।এ মূল্য প্রকৃত মূল্যের ৮০%। বাকি মূল্য সরকার ভর্তুকি দিয়ে থাকেন। সরকার প্রতি বইয়ে কত টাকা ভর্তুকি দিয়ে থাকেন?

ক
ক) ৬
খ
খ) ৮
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্নানুসারে, ৮০% = ৪০ টাকা
∴ ১% = ৪০/৮০ টাকা
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য অর্থাৎ, ১০০% = (৪০ × ১০০)/৮০ টাকা = ৫০ টাকা।
অতএব সরকার প্রতি বইয়ে ভর্তুকি দেয় (৫০ - ৪০) টাকা = ১০ টাকা।

১৭,৩৬৬.

5 + √3 হলো একটি-

ক
মূলদ সংখ্যা
খ
অমূলদ সংখ্যা
গ
স্বাভাবিক সংখ্যা
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + √3 হলো একটি-

সমাধান:
এখানে,
5 একটি মূলদ সংখ্যা এবং √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সুতরাং তাদের যোগফল হবে একটি অমূলদ সংখ্যা।

কারণ:
- একটি মূলদ সংখ্যা ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সবসময় একটি অমূলদ সংখ্যা গঠন করে।
- সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা।
- যে সংখ্যাটি নিজের চেয়ে ছোট নিজের সকল উৎপাদক এর যোগফল এর সমান তাকে আদর্শ সংখ্যা বলে।

১৭,৩৬৭.

(x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

ক
x = (6, 1)
খ
x = (2, 3)
গ
x = (1, 1)
ঘ
x = (4, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - 6) = (x - 6)/x
⇒ x(x - 6) = (x - 6)
⇒ x² - 6x - x + 6 = 0
⇒ x(x - 6) - 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x - 1) = 0
∴ x = 6, 1

১৭,৩৬৮.

৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩ এর গ.সা.গু কত?

ক
ক) ১/২৪
খ
খ) ২৪
গ
গ) ৩/২৪
ঘ
ঘ) ১/১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলি হলো ৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩
লবগুলো হলো ৩, ৫, ১।
হরগুলো হলো ৪, ৮, ৩।

লবগুলোর গ.সা.গু হলো ১
হরগুলোর ল.সা.গু হলো ২৪

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/২৪

১৭,৩৬৯.

y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

ক
(12, 5)
খ
(17, 5)
গ
(9, 5)
ঘ
(6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
y = 5 ...... (১)
x = 3y + 2 ........ (২)
১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 5

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 3 × 5 + 2
⇒ x = 15 + 2
⇒ x = 17

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (17, 5).

১৭,৩৭০.

তিনজন খেলোয়াড়ের রানের সমষ্টি ২০৫। প্রথম ও দ্বিতীয় জনের অনুপাত ৪ : ৩ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় জনের অনুপাত ৫ : ২ হলে, প্রথম জন কত রান করেছে?

ক
১০০ রান
খ
৭৫ রান
গ
৯০ রান
ঘ
৬৫ রান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনজন খেলোয়াড়ের রানের সমষ্টি ২০৫। প্রথম ও দ্বিতীয় জনের অনুপাত ৪ : ৩ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় জনের অনুপাত ৫ : ২ হলে, প্রথম জন কত রান করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনজনের মোট রান = ২০৫
প্রথম : দ্বিতীয় = ৪ : ৩
দ্বিতীয় : তৃতীয় = ৫ : ২

প্রথম : দ্বিতীয় : তৃতীয় = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) : (২ × ৩)
= ২০ : ১৫ : ৬

সুতরাং, তিনজনের অনুপাত = ২০ : ১৫ : ৬
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ২০ + ১৫ + ৬ = ৪১ অংশ

∴ প্রথম খেলোয়াড়ের = (২০/৪১) × ২০৫ = ২০ × ৫ = ১০০ রান

সুতরাং, প্রথম জন ১০০ রান করেছে।

১৭,৩৭১.

x পূর্ণ সংখ্যা এবং হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত?

ক
11
খ
12
গ
13
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13

∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

১৭,৩৭২.

x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

ক
ক) a + b
খ
খ) ab
গ
গ) a - b
ঘ
ঘ) a/b

ব্যাখ্যা

a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²;
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
∴ x = a + b

১৭,৩৭৩.

৫০০ টাকায় ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৫০০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

ক
৫%
খ
৬%
গ
১০%
ঘ
১২%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০০ টাকায় ৪ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ একত্রে ৫০০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৫০০ × ৪) বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৬০০ × ৫) বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৫০০ × ১০০)/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা বা ১০%

১৭,৩৭৪.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬π বর্গ মিটার এবং পরিধি ৮π মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

ক
১২ মিটার
খ
৮ মিটার
গ
৪ মিটার
ঘ
৬ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬π বর্গ মিটার এবং পরিধি ৮π মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬π বর্গ মিটার এবং পরিধি ৮π মিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২
বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
⇒ ২πr = ৮π
⇒ ২r = ৮

∴ বৃত্তের ব্যাস ৮ মিটার।

১৭,৩৭৫.

ABCD রম্বসের পরিসীমা কোনটি?

ক
ক) 20 একক
খ
খ) 14 একক
গ
গ) 28 একক
ঘ
ঘ) 12 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের পরিসীমা কোনটি?

সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ ΔAOD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AD = √(AO² + OD²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
=√25
= 5

∴ রম্বসের একবাহুর দৈর্ঘ্য 5 একক
∴ রম্বসের পরিসীমা = 5 × 4 একক
= 20 একক

১৭,৩৭৬.

(3/5)³ (3/5)^{- 6}= (3/5)^{2x - 1} হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

(3/5)³ (3/5)^{- 6}=(3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{3 - 6}= (3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{- 3} = (3/5)^{2x - 1}
- 3 = 2x - 1
- 3 + 1 = 2x
- 2 = 2x
x = - 2 /2
x = - 1

১৭,৩৭৭.

2sinθ/cosθ(1+tan²θ) simplifies to-

ক
ক) Cosθ
খ
খ) Sinθ
গ
গ) Sin2θ
ঘ
ঘ) tanθ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
Sin2θ = 2tanθ/1 +tan²θ
এখানে, 2sinθ/cosθ(1+tan²θ) = 2tanθ/(1 +tan²θ) = Sin2θ

১৭,৩৭৮.

কোনো শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

ক
৩৮ বছর
খ
৫৮ বছর
গ
৬৮ বছর
ঘ
৫৭ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৫ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ১৭ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১৫ বছর
∴ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২০ × ১৫) বছর
= ৩০০ বছর

আবার,
শিক্ষকসহ ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১৭ বছর
∴ শিক্ষকসহ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২১ × ১৭) বছর
= ৩৫৭ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (৩৫৭ - ৩০০) বছর
= ৫৭ বছর।

১৭,৩৭৯.

একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় ৩ জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

ক
ক) ৩টি
খ
খ) ৪টি
গ
গ) ৫টি
ঘ
ঘ) ৬টি

ব্যাখ্যা

খেলা অনুষ্ঠিত হওয়ার মোট উপায় = ³C₂ = 3!/{2!(3-2)!} = 3!/2! = 3

১৭,৩৮০.

2^{(a - 1)} = 4√2 হলে, a এর মান কত?

ক
3/2
খ
5/2
গ
1/2
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{(a - 1)} = 4√2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2^{(a - 1)} = 4√2
⇒ 2^{(a - 1)}= 2². 2^1/2
⇒ 2^{(a - 1)} = 2^{(2 + 1/2)}
⇒ a - 1 = 5/2
⇒ a = 1 + (5/2)
∴ a = 7/2

১৭,৩৮১.

৪৮ টাকা ডজন আমড়া কিনে প্রতিটি ৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে, শতকরা কত লাভ হবে?

ক
ক) ২০%
খ
খ) ৩০%
গ
গ) ৪০%
ঘ
ঘ) ৫০%

ব্যাখ্যা

১২ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ১ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = ৪৮/১২ = ৪ টাকা
১ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য = ৬ টাকা
১ টি আমড়াতে লাভ = ৬ - ৪
= ২ টাকা
∴ লাভের হার = (২ × ১০০)/৪
= ৫০%

১৭,৩৮২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
12 মিটার
খ
14 মিটার
গ
16 মিটার
ঘ
18 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 9√3
বা, a²/4 = 9
বা, a² = 36
∴ a = 6

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a = 3 × 6 = 18 মিটার

১৭,৩৮৩.

1/cosecθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/cosecθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sinθ = 1/cosecθ

∴ 1/cosecθ এর সর্বোচ্চ মান হল sin⁡θ এর সর্বোচ্চ মানের সমান।

এখন,
- 1 < sinθ < 1
∴ - 1 < 1/cosecθ < 1

সুতরাং 1/cosecθ এর সর্বনিম্ন মান -1 এবং সর্বোচ্চ মান 1

১৭,৩৮৪.

৮৭ কোন সংখ্যার ৭৫%?

ক
ক) ১২০
খ
খ) ১১৬
গ
গ) ১১৮
ঘ
ঘ) ১২৪

ব্যাখ্যা

ধরি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে
x এর ৭৫% = ৮৭
x × ৭৫/১০০ =৮৭
x = ৮৭ × ১০০/৭৫
∴ x = ১১৬

১৭,৩৮৫.

P ={ x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং Q = { x ∈ N : জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

ক
{4, 6, 10}
খ
{4, 6, 8}
গ
{6, 8, 10}
ঘ
{2, 4, 6}

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
P ={ x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = { x ∈ N : জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8,10}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8,10}
= {4, 6, 8}

১৭,৩৮৬.

m এর মান কত হলে 4x² - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

ক
ক) 12
খ
খ) 14
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

4x² - mx + 16 = (2x)² - 2.2x.4 + 4² - mx + 16x
= (2x - 4)² + 16x - mx

4x² - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে যদি
16x - mx = 0
16x = mx
m = 16

১৭,৩৮৭.

যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক
54
খ
60
গ
64
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a² + b² = 117

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
⇒ 2ab = 15² - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

১৭,৩৮৮.

একটি বইয়ের মূল্য 24 টাকা। এই মূল্য প্রকৃত মূল্যের 80%। বাকি মূল্য সরকার ভর্তুকি দিয়ে থাকেন। সরকার প্রতি বইয়ে কত টাকা ভর্তুকি দেন?

ক
2 টাকা
খ
4 টাকা
গ
6 টাকা
ঘ
8 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য 24 টাকা। এই মূল্য প্রকৃত মূল্যের 80%। বাকি মূল্য সরকার ভর্তুকি দিয়ে থাকেন। সরকার প্রতি বইয়ে কত টাকা ভর্তুকি দেন?

সমাধান:
বাজার মূল্য = প্রকৃত মূল্যের 80%

আমরা জানি,
p = br
এখানে,
p = 24 টাকা এবং r = 80% = 80/100

∴ 24 = b × r
বা, b = 24/r
বা, b = 24/(80/100)
বা, b = (24 × 100)/80
∴ b = 30
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য 30 টাকা
∴ ভর্তুকি মূল্য = (30 - 24) = 6 টাকা।

১৭,৩৮৯.

৩১ থেকে ৫৯ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক
৫ টি
খ
৬ টি
গ
৭ টি
ঘ
৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩১ থেকে ৫৯ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যেসকল সংখ্যা, ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যাতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয় তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

৩১ থেকে ৫৯ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা সমূহ = ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩
∴ ৩১ থেকে ৫৯ এর মধ্যে মোট মৌলিক সংখ্যা = ৬ টি

নোট:
৩১ থেকে ৫৯ এর মধ্যে বলায় ৩১ সংখ্যাটি সহ এবং ৫৯ সংখ্যাটি ছাড়া হিসেব করতে হবে।

১৭,৩৯০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ১ : ২ হলে, ত্রিভুজটি হবে-

ক
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ
গ) স্থুলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

কোনো ত্রিভুজের দুটি কোণের সমষ্টি অপর কোণের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।

১৭,৩৯১.

একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল 20 হলে প্রথম পনেরটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 300
খ
খ) 150
গ
গ) 130
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

১৭,৩৯২.

একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ৮ ঘণ্টা পথ চলার পর ঘণ্টায় ৭০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সম্পূর্ণ যাত্রায় তার গড় গতিবেগ ৬০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সে মোট কত ঘণ্টা যাত্রা করেছিল?

ক
১২ ঘণ্টা
খ
১৬ ঘণ্টা
গ
১৮ ঘণ্টা
ঘ
২২ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৫০ কি.মি. বেগে ৮ ঘণ্টা পথ চলার পর ঘণ্টায় ৭০ কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সম্পূর্ণ যাত্রায় তার গড় গতিবেগ ৬০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সে মোট কত ঘণ্টা যাত্রা করেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সে মোট ক ঘণ্টা যাত্রা করে

৮ ঘণ্টায় অতিক্রম করে = (৫০ × ৮) কি.মি.
= ৪০০ কি.মি.

(ক - ৮) ঘণ্টায় অতিক্রম করে = ৭০ × (ক - ৮) কি.মি.
= ৭০ক - ৫৬০ কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(৪০০ + ৭০ক - ৫৬০)/ক = ৬০
বা, ৭০ক - ১৬০ = ৬০ক
বা, ৭০ক - ৬০ক = ১৬০
বা, ১০ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০/১০
∴ ক = ১৬

∴ সে মোট ১৬ ঘণ্টা যাত্রা করেছিল।

১৭,৩৯৩.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 41 সে.মি. এবং 9 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

ক
21 সে.মি.
খ
40 সে.মি.
গ
37 সে.মি.
ঘ
17 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও লম্ব যথাক্রমে 41 সে.মি. এবং 9 সে.মি হলে ভূমির পরিমাণ কত?

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
অতিভূজ² = ভূমি² + লম্ব²
∴ 41² = ভূমি² + 9²
⇒ ভূমি² = 1681 - 81
⇒ ভূমি = √1600
∴ ভূমি = 40 সে.মি.

১৭,৩৯৪.

ছয়টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল ২৪ হলে শেষ তিনটির যোগফল কত হবে?

ক
২৭
খ
৩০
গ
৩৩
ঘ
৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ছয়টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল ২৪ হলে শেষ তিনটির যোগফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ছয়টি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ২৪
⇒ ৩ক + ৩ = ২৪
⇒ ৩ক = ২৪ - ৩
⇒ ৩ক = ২১
⇒ ক = ২১/৩
⇒ ক = ৭

অর্থাৎ শেষ তিনটি সংখ্যা হবে, (৭ + ৩) = ১০,
(৭ + ৪) = ১১ এবং (৭ + ৫) = ১২

∴ শেষ তিনটি সংখ্যার যোগফল = ১০ + ১১ + ১২ = ৩৩

১৭,৩৯৫.

৪০ মিটার দীর্ঘ রশিকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাতে ভাগ করলে দীর্ঘতম অংশটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
২০ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
১০ মিটার
ঘ
৩০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০ মিটার দীর্ঘ রশিকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাতে ভাগ করলে দীর্ঘতম অংশটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩ + ৭ + ১০
= ২০

∴ দীর্ঘতম অংশের দৈর্ঘ্য = ৪০ × (১০/২০) মিটার
= ২০ মিটার ।

১৭,৩৯৬.

যদি log₁₀x = - 3 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
0.1
খ
0.01
গ
0.001
ঘ
0.0001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀x = - 3 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀x = - 3
⇒ x = 10^{- 3}
⇒ x = 1/10³
⇒ x = 1/1000
∴ x = 0.001

১৭,৩৯৭.

৩০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ১২ দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে। কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

ক
ক) ৬ দিন
খ
খ) ৮ দিন
গ
গ) ১০ দিন
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ১২ দিনে সম্পূর্ণ করতে পারে। কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
যেহেতু, কাজ শুরু করার ৮ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে যায়।
∴ অবশিষ্ট শ্রমিক = (৩০ - ১৫) জন
= ১৫ জন

∴ অবশিষ্ট দিন = (১২ - ৮) দিন
= ৪ দিন

৩০ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = ৪ দিনে
∴ ১ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৩০ × ৪) দিনে
∴ ১৫ জনে কাজটি সম্পূর্ণ করে = (৩০ × ৪)/১৫ দিনে
= ৮ দিন

১৭,৩৯৮.

পুনরাবৃত্তি না করে 1, 3, 0, 3, 5, 5 অঙ্কগুলি দ্বারা 100000 এর চেয়ে বৃহত্তর কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
30
খ
150
গ
180
ঘ
260

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত 6 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 3, 2টি 5 আছে।
এ ছয়টি অঙ্ক দ্বারা 6!/(2!2!) = 180 টি সংখ্যা গঠন করা যায়।
0 দ্বারা আরম্ভ হয় এরুপ সংখ্যা = 5!/2!2! = 30 টি
100000 এর চেয়ে বৃহত্তর সংখ্যা গঠন করা যাবে = (180 - 30) টি = 150 টি

১৭,৩৯৯.

a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত?

ক
(a² - 2a - 2) (a² - 2a + 2)
খ
(a² - 2a + 2) (a² + 2a - 2)
গ
(a² + 2a + 2) (a² + 2a - 2)
ঘ
(a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a⁴ + 4
= a⁴+ 4 + 4a² - 4a²
= (a²)² + 2. a². 2 + (2)² - (2a)²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a) (a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

১৭,৪০০.

কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ২?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৩১
গ
গ) ৩২
ঘ
ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা

৩, ৫ ও ৬ এর লসাগু ৩০
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩০ + ২ = ৩২