গাণিতিক যুক্তি

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x+1) মিটার
বাহুদ্বয়ের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার।
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (3/2)(x + x+ 1) বর্গ মিটার
প্রশমতে, (3/2)(2x+1) = 30
বা, 2x + 1 = 20
বা, 2x = 19
বা, x = 9.5
∴বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = (9.5 + 1) = 10.5 মিটার।

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ আয়তন a³ = ৩৪৩
∴ a = ৭
∴ একটি তলের ক্ষেত্রফল = a²
= ৪৯ বর্গমিঃ

প্রশ্ন: Q = {x ∈ N: 5x ≤ 30} হলে, Q-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
Q = {x ∈ N : 5x ≤ 30},
5x ≤ 30
⇒ x ≤ 6 অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল স্বাভাবিক সংখ্যা Q সেটের উপাদান।
∴ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁶ = 64

∴ Q-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 64 - 1 = 63টি

প্রশ্ন:

সমাধান:

মোট ছাত্রী সংখ্যা = (২০ X ৫০০) / ১০০ = ১০০ জন।
মোট ছাত্র সংখ্যা = ৫০০ - ১০০ = ৪০০ জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩০ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৫০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম সংখ্যা = ক 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক 

প্রশ্নমতে, 
৩০ - (ক/৩) = ৪(৭৫ - ক) - ৫০ 
⇒ (৯০ - ক)/৩ = ৩০০ - ৪ক - ৫০ 
⇒ ৯০ - ক = ৩(২৫০ - ৪ক)
⇒ ৯০ - ক = ৭৫০ - ১২ক 
⇒ ১১ক = ৬৬০ 
⇒ ক = ৬৬০/১১ 
∴ ক = ৬০ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬০  
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৭৫ - ক = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৬০ এবং ১৫

প্রশ্ন: ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

লব  ১০ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৩০
হর ৩ ও ৪ এর গ.সা.গু = ১

∴ ১০/৩ এবং ১৫/৪ এর ল.সা.গু = ৩০/১
= ৩০

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৫ ঘন্টায় একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ চৌবাচ্চাটি ১০ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ৩ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো চৌবাচ্চাটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,

৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৫ অংশ
∴ ৩ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ৩/৫ অংশ

∴ ৩ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = ১ - (৩/৫) = ২/৫ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
১০ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/১০ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে চৌবাচ্চাটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৫) - (১/১০) অংশ
= (২ - ১)/১০
= ১/১০ অংশ

১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৫ অংশ পূর্ণ হয় = (২/৫) × (১০/১) ঘণ্টায়
= (২ × ১০)/(৫ × ১) ঘণ্টায়
= ২০/৫ ঘণ্টায়
= ৪ ঘণ্টায়

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (৩ + ৪) ঘণ্টা = ৭ ঘণ্টা

মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ঃ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৯
∴ দুধ = (৪৫৯×৭)/৯ = ৩৫৭ লিটার এবং
পানি = (৪৫৯×২)/৯ = ১০২
∴ ৩৫৭ : (১০২ + a) = ৭ঃ৩ [a লিটার পানি যোগ করে]
বা, ৩৫৭/(১০২+a) = ৭/৩
বা, ৫১/(১০২ + a) = ১/৩
বা, a + ১০২ = ১৫৩
∴ a = ৫১

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি এবং ৮০% ছাত্র ক্রিকেট পছন্দ করে। ঐ স্কুলের কত শতাংশ ছাত্র ০৩টি খেলাই পছন্দ করে?

সমাধান:
ফুটবল খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৭০ = ৩০%
হকি খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৭৫ = ২৫%
ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে না = ১০০ - ৮০ = ২০%

একসাথে তিনটির অন্তত একটি পছন্দ করে না = ৩০ + ২৫ + ২০
= ৭৫%

∴ তিনটি খেলাই পছন্দ করে = (১০০ - ৭৫)% 
= ২৫%

প্রশ্ন: যদি 7 - 2x ≤ 15, হয়, তাহলে x-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া অসমতা,
7 - 2x ≤ 15
⇒ - 2x ≤ 8  ; [দুই পাশ থেকে 7 বিয়োগ করে পাই]
∴ x ≥ - 4  ; [দুই পাশকে - 2 দিয়ে ভাগ করি (ভাগ করার সময় ঋণাত্মক সংখ্যা হওয়ায় অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে]

সুতরাং, সমাধান সেট x ∈ [- 4, ∞) 

প্রশ্ন: cos(θ - 30°) = 1/2 হলে, sinθ = কত?

সমাধান:
cos(θ - 30°) = 1/2 
বা, cos(θ - 30°) = cos60°
বা, (θ - 30°) = 60°
বা, θ =  60° + 30°
∴ θ = 90°

∴ sin90° = 1

প্রশ্ন: (2/√5), - 2, 2√5, - 10, ............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ, a = 2/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/(2/√5)
= - 2 × √5/2
= - √5

আমরা জানি n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= (2/√5) × (-√5)⁶
= (2/√5) × {(-√5)²}³
= (2/√5) × (5)³
= (2/√5) × 125
= 250/√5
= (250 × √5)/5
= 50√5

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

সমাধান: 
9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9, b = - b এবং c = 81

এখন সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবার শর্ত হলো, b² - 4ac = 0
b² = 4ac
⇒ (- b)² = 4 × 9 × 81  ;[মান বসিয়ে]
⇒ b² = 36 × 81
⇒ b = ±√(36 × 81) = ±√(6² × 9²)
⇒ b = ±√(6 × 9)²
∴ b = ± 54

ধরি, আফিফের বয়স = 3x
তামিমের বয়স = 5x
তাহলে, 3x + 5x = 48
∴ x = 6
আফিফের বয়স = 18
তামিমের বয়স = 30

প্রশ্ন: ১০০ টাকায় ২৫টি আম ক্রয় করে ১০০ টাকায় ২০টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে? 

সমাধান: 
২৫ টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১ টি আমের ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা = ৪ টাকা 

আবার, 
২০ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১ টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা = ৫ টাকা 

১ টি আম বিক্রয়ে লাভ হয় = (৫ - ৪) টাকা = ১ টাকা 

৪ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১/৪ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৪ টাকা 
= ২৫ টাকা 

∴ শতকরা লাভ হবে = ২৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, x এবং 2x 

প্রশ্নমতে, 
x + x + 2x = 180°
বা, 4x = 180°
∴ x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের লিখিত মুল্য ক্রয়মূল্যের 40% বেশি। কত ছাড় দিলে তার 12% লাভ হবে?  

সমাধান:
ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে,
লিখিতমূল্য = 100 + 40 = 140 টাকা
এবং 
১২% লাভে বিক্রয়মূল্য = 100 + 12 = 112 টাকা।

∴ ছাড় দিতে হবে = (140 - 112) = 28 টাকা।
∴ শতকরা ছাড় দিতে হবে = (28/140) × 100 = 20%

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 60°

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr²
= (60°/360°) × π(6)²
= (1/6) × 36π
= 6π
= (6 × 3.1416)
= 18.85 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল 6π বর্গ সে.মি. বা 18.85 বর্গ সে.মি.।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 6²
AOB অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রফল = (9π)/2
সাদা রঙের স্থানের ক্ষেত্রফল = 36 - (9π)/2 বর্গমিটার

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ১১২ বসবে।

প্রশ্ন: যে পরিমাণ খাদ্যে ২০০ জন লোকের ২০ সপ্তাহ চলে, ঐ পরিমাণ খাদ্যে কত জন লোকের ১০ সপ্তাহ চলবে?

সমাধান:
২০ সপ্তাহ খাদ্য চলে ২০০ জন লোকের
১ সপ্তাহ খাদ্য চলে ২০০ × ২০ জন লোকের
∴ ১০ সপ্তাহ খাদ্য চলে (২০০ × ২০)/১০ জন লোকের
= ৪০০ জন লোকের। 

প্রশ্ন: p + q = 10 এবং p - q = 2 হলে p² + q² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 10 
p - q = 2

আমরা জানি, 
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
⇒ 2(p² + q²) = 10² + 2²
⇒ 2(p² + q²) = 100 + 4
⇒ 2(p² + q²) = 104
⇒ (p² + q²) = 104/2
∴ (p² + q²) = 52

4 জন এর কমিটি গঠন করতে হলে 3 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা সদস্য থাকতে হবে।
সুতরাং কমিটি গঠনের উপায় = ⁷c₃ × ⁴c₁
= 35 × 4
= 140

8^2/3 + 81^1/4 = 7k
⇒ 2^6/3 + 3^4/4 = 7k
⇒ 4+3 = 7k
⇒ k = 1

x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= x²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন:

সমাধান: 

log_x324 = 4
x⁴ = 324
x⁴ = (3√2)⁴
x = 3√2

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ৮০০০ টাকা 
সময়, n = ৩ বছর 
মুনাফার হার, r = ১০%

আমরা জানি,
মুনাফার হার, I = pnr/১০০ 
= (৮০০০ × ৩ × ১০)/১০০
= ২৪০০ টাকা 

 x² -x - (a+1)(a+2)= x² -x - (a+1)(a+1+1)
= x² -x - m(m+1) (let, a+1 = m)
= x²- m² -x -m
= (x+m)(x-m) -1(x+m)
= (x+m) (x-m-1)
= (x+a+1) (x-a-2)