গাণিতিক যুক্তি

বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিঃ
∴a² = ১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
বা, a = √১০০০০ = ১০০ মিঃ

∴ পরিসীমা = ৪a
= ৪ × ১০০
= ৪০০ মিঃ

দেওয়া আছে,
A = {x : 7≤ x <11} = {7, 8, 9, 10}
এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
∴ A ∩ B = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} = {7}

ধরি,
খালেকের বয়স - ক
সুতরাং, তার বাবার বয়স = ক + ২৮
প্রশ্নমতে, ক + ক + ২৮ = ৪০
২ক = ১২
ক = ৬
অর্থাৎ, খালেকের বয়স = ৬ ও তার বাবার বয়স = (৪০ - ৬) = ৩৪
১৩ বছর পর তাদের বয়স হবে, (৬ +১৩) + (৩৪ + ১৩)
= ৬৬
--------
অন্যভাবে করলে,
১৩ বছর পরে দুইজনেরই বয়স ১৩ X ২ = ২৬ বছর বাড়বে।
অর্থাৎ, ১৩ বছর পরে বয়সের সমষ্টি হবে (৪০+২৬) = ৬৬ বছর।

বর্তমান বেতন ১২০ টাকা হলে আগের বেতন ১০০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১ টাকা হলে আগের বেতন ১০০/১২০ টাকা।
বর্তমান বেতন ১১৪০০ টাকা হলে আগের বেতন (১০০ Χ ১১৪০০)/১২০ টাকা = ৯৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 হয়, তবে x²/9 + y²/25 + z²/16 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0

আমরা জানি, 
যদি বর্গফলের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে প্রতিটি বর্গফলও শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ,
∴ (x - 3)² = 0 
∴ x = 3
(y - 5)² = 0
∴ y = 5
এবং, 
(z - 4)² = 0
∴ z = 4

প্রদত্ত রাশি, 
x²/9 + y²/25 + z²/16
= (3²/9) + (5²/25) + (4²/16)
= (9/9) + (25/25) + (16/16)
= 1 + 1 + 1
= 3

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² +.......... + 25² = ? 

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 25

∴ S₂₅ = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6
= (25 × 26 × 51)/6
= 33150/6
= 5525

∴ধারাটির যোগফল = 5525 

প্রশ্ন: ৪০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯০ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করবে। 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার 
∴ ​৯০ কিলোমিটার = (৯০ × ১০০০) মিটার 
​= ৯০০০০ মিটার 
​
৯০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
​∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৯০০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪০০)/৯০০০০ সেকেন্ডে 
= ১৬ সেকেন্ডে

∴ ট্রেনটি খুঁটিকে অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ১৬ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে, তার গড় রান ৮৭ হবে?

সমাধান: 
তিনটি খেলায় মোট রান = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
চারটি খেলায় মোট রান = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮

∴ চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় ৮৯ রান করতে হবে। 

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 125 এবং 25, তাহলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 125
দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 25
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 25/125 = 1/5

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = 125 × (1/5)⁶
= 125 × 1/5⁶
= 5³/5⁶
= 1/5³
= 1/125

সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ 1/125

প্রশ্ন: 3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট- 

সমাধান:
3(x - 2) < 6
⇒ x - 2 < 6/3
⇒ x - 2 < 2
⇒ x - 2 + 2 < 2 + 2
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 4

∴ সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x < 4}

সুমন মোট বিনিয়োগ করে = (৫০০০ × ১২) + (১০০০ × ৯) = ৬৯০০০ টাকা
জামাল মোট বিনিয়োগ করে = ৪০০০ × ১২ = ৪৮০০০ টাকা
দিলীপ মোট বিনিয়োগ করে = ৭০০০ × ৯ = ৬৩০০০ টাকা
∴ তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ৬৯০০০ : ৪৮০০০ : ৬৩০০০ = ২৩ : ১৬ : ২১
এখন,
সুমন পাবে = ৩৯০০ × ২৩/৬০ = ১৪৯৫ টাকা

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1) 
⇒ (2a + 1)² = 81 
​⇒ (2a + 1)² = 9²
⇒ 2a + 1 = 9
​⇒ 2a = 9 - 1
⇒ 2a = 8
​⇒ a = 8/2
∴ a = 4

৬ টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে ১ টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৬C_২ = (৬×৫) / (২×১) = ১৫টি।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৪ = ২
সুতরাং √৪ একটি মূলদ সংখ্যা।
আর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা হয়।

পিতা, মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ৩২ × ৩ = ৯৬ বছর
মাতা ও কন্যার বয়সের সমষ্টি = ২৬ × ২ = ৫২ বছর
∴ পিতার বয়স = ৯৬ - ৫২ = ৪৪ বছর 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০,০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯,৯৯৯
∴ পার্থক্য = ১০০,০০০ - ৯৯,৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% মুনাফায় কত বছরে ১০,০০০ টাকার মুনাফা ৪,৮০০ টাকা হবে? 

সমাধান:
বার্ষিক সাদামাটা মুনাফা (Simple Interest) সূত্র:
SI = (P × R × T)/১০০

দেওয়া আছে,
SI = ৪৮০০, P = ১০০০০, R = ১২%

সমীকরণে বসাই:
৪৮০০ = (১০০০০ × ১২ × T​)/ ১০০
⇒ ৪৮০০ = ১২০০ × T
⇒ T = ৪৮০০/১২০০
T = ৪

∴ ৪ বছর। 

প্রশ্ন: cosecθ . secθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecθ . secθ
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= 1/(sinθ . cosθ)          
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)              [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= [sin²θ/(sinθ . cosθ)] + [cos²θ/(sinθ . cosθ)]
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= tanθ + cotθ 

প্রশ্ন: ৪/৯, ২/৫ ও ৪/৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ৪, ২ ও ৪ এর গ.সা.গু. = ২
এবং হর ৯, ৫ ও ৯ এর ল.সা.গু. = ৪৫

∴ গ.সা.গু. = ২/৪৫

প্রশ্ন: রহমান সাহেব একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা ৮ মাসের জন্য ধার নিয়েছেন। তিনি বার্ষিক ১২% হারে সরল সুদ হিসেবে ১২০০ টাকা পরিশোধ করেছেন। তিনি মূলত কত টাকা (মূলধন) ধার নিয়েছিলেন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সরল সুদ, SI = ১,২০০ টাকা
সুদের হার, r = ১২%
সময়, n = ৮ মাস = ৮/১২ = ২/৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল সুদ, SI = (P × r × n)/১০০
১২০০ = (P × ১২ × ২/৩)/১০০
⇒ ১২০০ = (P × ৮)/১০০
⇒ P = (১২০০ × ১০০) / ৮
⇒ P = ১২০০০০/৮
∴ P = ১৫০০০ টাকা

∴ তিনি মূলত ১৫০০০ টাকা ধার নিয়েছিলেন। 

প্রশ্ন: b^x = 64 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
b^x = 64
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার করলে:
b^x = y
⇒ x = log_b​y
⇒ x = log_b64

প্রশ্ন: করিম সাহেব ১০% লাভে বিক্রি করার পরিবর্তে ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করলে ৪৮ টাকা কম পায়। তার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ক টাকা  

১০% লাভে বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য = ক × (১১০/১০০) = ১১০ক/১০০  
১০% ক্ষতিতে বিক্রি করলে বিক্রয়মূল্য = ক × (৯০/১০০) = ৯০ক/১০০   

যেহেতু দুটি বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৪৮ টাকা কম পাওয়া গেছে।  

∴ (১১০ক/১০০) - (৯০ক/১০০) = ৪৮  
⇒ (১১০ক - ৯০ক)/১০০ = ৪৮  
⇒ ২০ক/১০০ = ৪৮
⇒ ক/৫ = ৪৮ 
⇒ ক = ৪৮ × ৫
∴ ক = ২৪০ টাকা

∴ তার ক্রয়মূল্য  ২৪০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ৯০°
= ৪৫°

• একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ হলো বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু কেন্দ্রে থাকে।
• পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ হলো বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু পরিধিতে থাকে।
• বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ সর্বদা কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ 12° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণটি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণটি = x°
তাহলে তার পূরক কোণ = (90° - x)

প্রশ্নানুসারে,
আসল কোণ 12° বাড়ালে নতুন কোণ হয় = x + 12
এবং এই নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান। অর্থাৎ, 
∴ x + 12 = 90 - x
⇒ x + x = 90 - 12
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

অতএব, আসল কোণটি ছিল 39° । 

প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
{(2x + 3)/5} ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6  ।

'CAUTIONS' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা n = 8 টি এবং প্রতিবারে নিতে হবে 4 টি অক্ষর, r = 4,
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = ⁿP_r = ⁸P₄
= 8!/(8-4)!
= 8.7.6.5
= 1680.

প্রশ্ন: যদি log_x144 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x144 = 4
⇒ x⁴ = 144 [loga^M =n হলে, aⁿ = M]
⇒ x⁴ = 16 × 9
⇒ x⁴ = 2⁴ × 3²
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√3)⁴
⇒ x⁴ = (2√3)⁴
∴ x = 2√3

প্রশ্ন: যদি sin θ = 1 হয়, তবে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আমরা জানি —
sin θ এর সর্বোচ্চ মান হলো 1  । 

এখন,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 1 হয় কেবল যখন θ এর মান = 90° হয়।

p = ১০,০০০/=, r = ২০%, n = ২
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(১ + (r/১০০))ⁿ
= ১০০০০(১ + (২০/১০০))^২
= ১৪,৪০০
∴ সুদ = ১৪,৪০০ - ১০,০০০ = ৪,৪০০/=

12 সদস্য বিশিষ্ট কোন কমিটির মধ্যে 9 জন মহিলা হলে পুরুষ হবে 3 জন
অর্থাৎ, পুরুষের সংখ্যা শতকরা = 3/12 × 100 = 25%