গাণিতিক যুক্তি

আমরা জানি,
I = Prn
r = I/Pn
r = ১৫০০/(৩০০০ × ৫)
r = ১/১০
r = ১০%
শতকরা বার্ষিক মুনাফার হার ১০ টাকা।

দেওয়া আছে,
(2x + y, 5) = (7, x - y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
2x + y = 7 ------- (১)
এবং x - y = 5 ------- (২)

এখন সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই,
3x = 12,
সুতরা x = 4

এখন x এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
2 × 4 + y = 7,
বা, y = 7 - 8
বা, y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় মান, (x, y) = (4, - 1)।

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭৫ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৪০। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৬ × ১০) = ৫৬০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭৫
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭৫ × ৪) = ৩০০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৪০
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৪০) = ২০০

এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)

∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি -  প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৬০ - ৩০০ - ২০০
= ২৬০ - ২০০
= ৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৬০।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৪) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৪ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ১৬ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ৩ক = ২ + ১৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন
= (৩ × ১৮) + ২ জন
= ৫৪ + ২ জন
= ৫৬ জন

সুতরাং, ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৬ জন।

√(x²) = x

সমীকরণের চলকের ক্ষেত্রে যেকোনো চলকের বর্গমূল ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক দুইটাই ধরা হয়ে থাকে। তবে, যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার মূল (Principal Square Root) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
অর্থাৎ,
√(x²) এর মান হবে x

(√x)² = ±x

এক্ষেত্রে, x এর মান ঋণাত্মক হলে জটিল সংখ্যা চলে আসবে।
x = -3 হলে,
(√-1)²  (√3)²
= (i)² (√3)²
= -1 (√3)²
= -3
অর্থাৎ,
(√x)² এর মান x বা -x যেকোনো একটা হতে পারে।

প্রশ্ন: tanθ = 3/4 হলে cosecθ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
tanθ = 3/4
⇒ cotθ = 4/3

আমরা জানি,
cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ cosec²θ = 1 + cot²θ
⇒ cosec²θ = 1 + (4²/3²) 
⇒ cosec²θ = 25/9
⇒ cosecθ = 5/3

গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= ২, ২, ৬ এর গ.সা.গু./৩, ৫, ২০ এর ল.সা.গু.
= ২/৬০
= ১/৩০

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ৯ ও ১৬ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

একটি ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5
এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য এমন সংখ্যা = 2, 3, 5, 6.
সুতরাং মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার

x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩ × ৭৭০০
বা, ১২x  = ২৩১০০
বা, x = ২৩১০০/১২
বা, x = ১৯২৫

পদসংখ্যা= {(শেষ পদ-প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
               ={(৯৬ - ১২)/৪} + ১
               = (৮৪/৪) + ১
               =২১ + ১
               = ২২

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 8 মিটার, BC = 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 20√3 বর্গমিটার হলে, ∠B = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 8 মিটার
BC = 10 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 20√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sinθ 
⇒ 20√3 = (1/2) × 8 × 10 × sin ∠B
⇒ 20√3 = 40 × sin ∠B  
⇒ sin ∠B = 20√3/40
⇒ sin ∠B = √3/2 
⇒ sin ∠B = sin 60°
⇒ ∠B = 60°

প্রশ্ন: ক : খ = ৭ : ৫, খ : গ = ৩ : ৪; যদি ক-এর ৬৯৩ টাকা থাকে, তবে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৭ : ৫
খ : গ = ৩ : ৪

∴ ক : খ : গ = (৭ × ৩) : (৫ × ৩) : (৪ × ৫)
= ২১ : ১৫ : ২০
অতএব, ক : খ : গ = ২১ : ১৫ : ২০

∴ ক-এর ২১ অংশ = ৬৯৩ টাকা
∴ ক-এর ১ অংশ = ৬৯৩/২১ = ৩৩ টাকা

∴ গ-এর ২০ অংশ = ২০ × ৩৩ = ৬৬০ টাকা

সুতরাং, গ-এর টাকার পরিমাণ ৬৬০ টাকা।

প্রশ্ন: একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরী সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির অর্ধেক?

সমাধান: 
ধরি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = R
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = R/2 

আমরা জানি, 
গোলকের আয়তন V = (4/3)πr³ 

এখন, 
বড় গোলকের আয়তন  = (4/3)πR³ 
ছোট গোলকের  আয়তন  = (4/3)π(R/2)³ = (1/8) × (4/3)πR³

∴ ছোট গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তন ÷ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR³} ÷ {(1/8) × (4/3)πR³}
= 1/(1/8) 
= 8 

সুতরাং, বড় গোলকটি গলিয়ে ৮টি সমান ছোট গোলক তৈরি করা সম্ভব।

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2  ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার, 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

বাসটি ৫০ মাইল যায় ১ ঘণ্টায়
∴ ১৮৫ মাইল যায় = (১৮৫ X ৬০)/ ৫০ মিনিটে
= ২২২ মিনিটে।

পরবর্তী ১০০ মাইল যেতে সময় লাগবে = ২২২ - ১২০ = ১০২ মিনিট।

প্রশ্ন: X এবং Y, ৫ : ৮ অনুপাতে কিছু টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করে। যদি বছরের শেষে ৫ : ৪ অনুপাতে লাভ ভাগ করা হয় এবং X, ১২ মাসের জন্য বিনিয়োগ করে, তবে Y কত মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
X এবং Y-এর বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৮
লাভ ভাগের অনুপাত = ৫ : ৪
X বিনিয়োগ করেছে ১২ মাস
এবং Y বিনিয়োগ করেছে = m মাস 

আমরা জানি, 
ব্যবসায় লাভের ভাগাভাগি হয় = বিনিয়োগ × সময় ; অর্থাৎ মূলধন × সময় অনুপাতে।

লাভের অনুপাত = (X-এর বিনিয়োগ × X-এর সময়) : (Y-এর বিনিয়োগ × Y-এর সময়)
⇒ ৫ : ৪ = (৫ × ১২) : (৮ × m)
⇒ ৫/৪ = ৬০/৮m
⇒ ৫ × ৮m = ৪ × ৬০
⇒ ৪০m = ২৪০
⇒ m = ২৪০/৪০
∴ m = ৬

উত্রাং, Y, ৬ মাসের জন্য বিনিয়োগ করেছিল।

প্রশ্ন: 
 

ধরি, সংখ্যা দুইটি ক ও খ।
প্রশ্নমতে, ক² + খ² = ৮০ এবং (ক-খ)² = ৩৬
ক² + খ² = (ক-খ)² + ২কখ
বা, ২কখ = ৮০-৩৬ = ৪৪
বা, কখ = ২২

প্রশ্ন: A = Φ হলে P(A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = Φ 
- ফাঁকা সেট হলো সকল সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান নেই। 
P(A) = {Φ}

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর বেতনের অনুপাত ৫ : ৭ : ৯। ক ও গ-এর বেতনের যোগফল খ-এর বেতনের চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি। খ-এর বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ : গ = ৫ : ৭ : ৯

ধরি, ক-এর বেতন = ৫x
খ-এর বেতন = ৭x
গ-এর বেতন = ৯x

তাহলে,
ক ও গ-এর মোট বেতন = ৫x + ৯x = ১৪x

প্রশ্ন অনুযায়ী,
ক ও গ মিলে খ-এর চেয়ে ২১০০ টাকা বেশি পায়
অর্থাৎ,
⇒ ১৪x - ৭x = ২১০০ 
⇒ ৭x = ২১০০ 
⇒ x = ২১০০/৭ 
∴ x = ৩০০ টাকা 

∴ খ-এর বেতন = ৭ × ৩০০ = ২১০০ টাকা।

সুতরাং, খ-এর বেতন ২১০০ টাকা। 

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণত অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৯+১২
= ৪১
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণত অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5x + 1)] = log₁₀[10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

মনে করি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে, ক - ১৭৫ + ১৩০ = ২৯৭
বা, ক = ২৯৭ + ১৭৫ - ১৩০
∴ ক = ৩৪২

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ মিটার ও ১২ মিটার। ত্রিভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার ও ১২ মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৯^২ + ১২^২ = ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২২৫ = ১৫^২ 
∴ অতিভুজ = ১৫ মিটার

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের পরিসীমা হলো এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।
∴ পরিসীমা = ৯ + ১২ + ১৫ = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: 8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 8 - 3x ≥ 2x + 18
⇒ - 3x - 2x ≥ 18 - 8
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ 10/5 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

xy > 0 হলে,
x > 0 অথবা y > 0

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নীচে, এক তৃতীয়াংশ পানি মধ্যে এবং ১২ ফুট পানির উপরে আছে, খুঁটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ক ফুট।

প্রশ্ন অনুযায়ী,
মাটির নিচে = ১/২ ক
পানির মধ্যে = ১/৩ ক
পানির উপরে = ১২ ফুট

সব অংশ যোগ করলে মোট দৈর্ঘ্য হবে,
ক = ১/২ক + ১/৩ক + ১২
⇒ ক - ৫/৬ক = ১২
⇒ ১/৬ক = ১২
⇒ ক = ১২ × ৬
ক = ৭২

∴ খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য = ৭২ ফুট।

প্রশ্ন: ΔABC এর একটি কোণ 35° এবং এর একবাহুর উপর বর্গের ক্ষেত্রফল অপর 2 বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে অপর একটি কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
শর্তানুসারে, ত্রিভুজটির এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, a² = b² + c²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, এই শর্তটি কেবল তখনই সত্য হয় যখন ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সুতরাং, ত্রিভুজটির একটি কোণ অবশ্যই 90°

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
দেওয়া আছে, একটি কোণ = 35°
আরেকটি কোণ = 90° (সমকোণ)

অতএব, অপর কোণটি হবে = 180° - (90° + 35°)
= 180° - 125°
= 55°

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০/১০০ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১৫০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১৩০ X ১৫০ / ১০০ টাকা।
= ১৯৫ টাকা।

প্রশ্ন: x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি যদি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - 10x + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ x² - 10x + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16।

প্রশ্ন: a⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= (a³)² - 8²
= (a³ + 8)(a³ - 8)
= (a³ + 2³)(a³ - 2³)
= (a + 2)(a² - 2a + 4)(a - 2)(a² + 2a + 4)
= (a + 2)(a - 2)(a² + 2a + 4)(a² - 2a + 4)

কোণগুলো যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x ধরে পাই,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
x = 45°
∴ ক্ষুদ্রতম কোন = 45°।
∴ এর সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°।