গাণিতিক যুক্তি

২০% বৃদ্ধিতে ১০০ টাকার পণ্যের দাম = ১২০ টাকা
আবার,২০% হ্রাসে ১০০ টাকার পণ্যের দাম = ৮০ টাকা
∴ ১২০ টাকার পণ্যের দাম = (৮০ × ১২০)/১০০
= ৯৬ টাকা
∴ মূল্য হ্রাস পায় = ১০০ - ৯৬
= ৪%

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি গাড়িযোগে ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে কিছুদূর অতিক্রম করে ঘণ্টায় ৪০ কিলোমিটার বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। সে মোট ৫ ঘণ্টায় মোট ২৪০ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করে। সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে কত কিলোমিটার গিয়েছিল?

সমাধান: 
ধরি,
ঘণ্টায় ৬০ কি.মি বেগে যায় = x কি.মি 
∴ ঘণ্টায় ৪০ কি.মি বেগে যায় = (২৪০ - x) কি.মি

প্রশ্নমতে,
(x/৬০) + (২৪০ - x)/৪০ = ৫
বা, {২x + ৩(২৪০ - x)}/১২০ = ৫
বা, (২x + ৭২০ - ৩x)/১২০ = ৫
বা, (৭২০ - x)/১২০ = ৫
বা, ৭২০ - x = ৬০০ 
বা, - x = ৬০০ - ৭২০ 
বা, - x = -১২০ 
∴ x = ১২০

∴ সে ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে ১২০ কিলোমিটার গিয়েছিল।

৩ এর ক% = ৭.৫
বাঁ, ৩ এর ক/১০০ =৭.৫
বাঁ, ক = (১০০ × ৭.৫) / ৩
বাঁ, ক = ২৫০

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৮ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: ΔPQR ত্রিভুজের QR বাহুকে S বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠PRS কোণটি নিচের কোনটির সমান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
উক্ত ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ ∠PRS এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ ∠P ও ∠Q

∴ বহিঃস্থ কোণ ∠PRS = ∠P + ∠Q 

ছাত্রীর শতকরা হার = (৪×১০০)/১১ = ৩৬.৩৬

|x-3| < 5 অসমতাটির সমাধান:
-5 < x-3 < 5
Or, -5+3 < x-3+3 < 5+3
Or, -2 < x < 8

প্রশ্ন: কয়েকটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:
 

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ, নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

√60 + √15 - √135
= √(4 × 15) + √15 - √(9 × 15)
= √15 (√4 + 1 - √9)
= √15 (2 + 1 - 3)
= √15 × 0
= 0

এখানে,
P = ১৯২,
r = ৪(১/৬)%
= ২৫/৬%
= ২৫/(৬×১০০) = ১/২৪,
I = ৪৮
∴ n = ?

∴ I = pnr
বা, n = I/pr = ৪৮/(১৯২×১/২৪)
= (৪৮×২৪)/১৯২
= ৬ বছর

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 81 এবং প্রথম পদ 16 হয়, তাহলে ধারাটির চতুর্থ পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 16
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 81
যেখানে,
a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 81
⇒ 16 × r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 81/16 = (3/2)⁴
∴ r = 3/2

∴ চতুর্থ পদ = ar³
= 16 × (3/2)³
= 16 × 27/8
= 2 × 27
= 54

উত্তর - পূর্ব দিকে OA = 130 কি.মি [O জাহাজের অবস্থান]
দক্ষিণ দিকে AB = 120 কি.মি
∴ পূূর্বদিকে জাহাজ থেকে স্পিডবোটের দূরত্ব OB =?
চিত্রানুসারে,
OB = √(OA² - AB²)
     = √(130² - 120²)
     = √2500
     = 50 কি.মি

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂x² - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂ [x²/(x - 4)] = 4
⇒ x²/(x - 4) = 2⁴ = 16
⇒ x² = 16(x - 4)
⇒ x² = 16x - 64
⇒ x² - 16x + 64 = ০
⇒ (x - 8)² = ০
⇒ x = 8

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 21} + (2 × 21)
= (22 × 3) + 42
= 66 + 42
= 108 সে.মি । 

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 85 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 85  
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 85 এবং 
পদসংখ্যা = 85 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(85 + 1) × 85}/2
= (86 × 85)/2 
= 43 × 85 
= 3655  ।

প্রশ্ন: জাহিদ একটি আয়তাকার বাগানের চারদিকে হাঁটতে বের হলো। বাগানটির দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার। বাগানের পরিসীমায় অবস্থিত এমন দুটি বিন্দু আছে, যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব সবচেয়ে বেশি। ঐ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগান যার দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার
এবং প্রস্থ ৮ মিটার

এখন, 
আয়তাকারের পরিসীমার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব হয় ঠিক বিপরীত কোণের মধ্যে দূরত্ব অর্থাৎ কর্ণের দৈর্ঘ্য।
∴ কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)  ; [পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে]
= √(১৫^২ + ৮^২)
= √(২২৫ + ৬৪)
= √২৮৯
= ১৭ মিটার

সুতরাং, পরিসীমার দুটি বিন্দুর মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব = ১৭ মিটার

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y × 5¹
= 5^{y + 1}

প্রশ্ন: যদি একটি বাস ১৩৫ কি.মি. যায় ৩ ঘন্টায়, তাহলে একই গতিতে ২৪৩ কি.মি. যেতে বাসটির কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১৩৫ কি.মি. দূরত্বে সময় লাগে = ৩ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ১৩৫/৩
= ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, ২৪৩ কি.মি. যেতে কত সময় লাগবে,
সময় = দূরত্ব/গতিবেগ
= ২৪৩/৪৫ 
= ৫.৪ ঘণ্টা

সুতরাং, বাসটির ২৪৩ কি.মি. যেতে লাগবে ৫.৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: x³ + 2x² - 5x + a বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² - 5x + a

যেহেতু (x - 1) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 1 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(1) এর মান নির্ণয় করি,
f(1) = (1)³ + 2(1)² - 5(1) + a
= 1 + 2 - 5 + a
= - 2 + a

শর্তমতে,
f(1) = 0
বা, - 2 + a = 0
∴ a = 2

a < b এবং b < c
∴ a < c

প্রশ্নঃ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ একক। যদি দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ হয় তবে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৪৮ বর্গ একক

ধরি, প্রস্থ = ক একক
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ৩ক একক

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
৩ক × ক = ৪৮
বা, ৩ক^২ = ৪৮
বা, ক^২ = ১৬
বা, ক = ৪

∴ প্রস্থ = ৪ একক
দৈর্ঘ্য = ৩ × ৪ = ১২ একক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(১২ + ৪)
= ২ × ১৬
= ৩২ একক

ধরি ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ২৮% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য = ১০০ - ২৮ = ৭২
∴ বিক্রয়মূল্যঃক্রয়মূল্য = ৭২ঃ১০০ = ১৮ঃ২৫

প্রশ্ন: ৭০০ টাকা A, B ও C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করো যেন A পায় B এর অর্ধেক এবং B পায় C এর অর্ধেক। তাহলে, C কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ধরি, C পায় = ক টাকা
তাহলে, B পায় = C-এর অর্ধেক = ক/২
এবং A পায় = B-এর অর্ধেক = (ক/২)/২ = ক/৪

দেওয়া আছে, 
এখন তিনজনের মোট টাকা = ৭০০ টাকা
⇒ A + B + C = ৭০০
⇒ (ক/৪) + (ক/২) + ক = ৭০০
⇒ (ক + ২ক + ৪ক)/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক/৪ = ৭০০
⇒ ৭ক = ৭০০ × ৪
⇒ ক = ২৮০০/৭
∴ ক = ৪০০

সুতরাং, C পায় ৪০০ টাকা।

৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০
৩টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩
১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৪৩
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০
= ৩৪.৩

প্রশ্ন: x + (1/x) = √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + (1/x) = √3

আমরা জানি, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x . {x + (1/x)}
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: ৭৮০মি. ও ৯৭০ মি. লম্বা বিপরীত মুখী দুইটি ট্রেন একটি আরেকটিকে কত সময়ে অতিক্রম করবে যদি তাদের গতি যথাক্রমে ৭২ ও ৫৪ কি.মি./ঘন্টা হয়?

সমাধান: 
প্রথম ট্রেনের ক্ষেত্রে ৭২কি.মি/ঘন্টা = ৭২০০০/৩৬০০ 
= ২০ মিটার/সেকেন্ড

দ্বিতীয় ট্রেনের ক্ষেত্রে ৫৪ কি.মি/ঘন্টা = ৫৪০০০/৩৬০০ 
= ১৫ মিটার/সেকেন্ড

বিপরীত মুখী ট্রেন হওয়ায় আপেক্ষিক গতি = ২০ + ১৫ 
= ৩৫ মিটার/সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ৯৭০ + ৭৮০ মিটার 
= ১৭৫০ মিটার

তাহলে সময় = ১৭৫০/৩৫ 
= ৫০ সেকেন্ড

∴একটি ট্রেন আরেকটি ট্রেনকে অতিক্রম করতে সময় নিবে ৫০ সেকেন্ড। 

ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের,
ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫
বা, a² = ৫০
∴ a = √৫০ = ৫√২

∴ অতিভূজ = √(a² + a²)
= √(২a²)
= a√২
= ৫√২.√২
= ১০ মিঃ

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮.৫ শতাংশ সমান ৬৮?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৮.৫% = ৬৮
⇒ ক × (৮.৫/১০০) = ৬৮
⇒ ক × (৮৫/১০০০) = ৬৮
⇒ ক = (৬৮ × ১০০০)/৮৫
∴ ক = ৮০০

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HH, HT, TH, TT} = ৪ টি নমুনা বিন্দু
১ম মুদ্রায় টেল এবং ২য় মুদ্রায় হেড এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ১ টি
∴ সম্ভাবনা = ১/৪