গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সেন্টিমিটার এবং ৬ সেন্টিমিটার হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
​সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (৯ + ৬) সে.মি.
= ২ × ১৫ সে.মি.
= ৩০ সে.মি.

অতএব, সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩০ সে.মি.।

মনে করি, বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = x² বর্গ মিটার 
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (x - 10) মিটার
রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (x - 10)² বর্গ মিটার
প্রশ্নমতে,
x² - (x² - 10)² = 10,000
20x = 10,100
x = 505
∴ রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (505 - 10)² = (495)² বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z। যদি অতিভুজ ভূমির দ্বিগুণ হয় এবং লম্ব 3 সে.মি. হয়, তবে অতিভুজ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = 2y এবং x = 3
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
z² = x² + y²
⇒ (2y)² = 3² + y²
⇒ 4y² - y² = 9 
⇒ 3y² = 9
⇒ y² = 3
⇒ y = √3

∴ অতিভুজ z = 2y = 2√3 

a - [a - {a - (a - (a - 1))}]
= a - [a - {a - (a - a + 1)}]
= a - [a - {a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1

প্রশ্ন: ৫ জন তাঁতি ৫ দিনে ৫ টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে ১০ জন তাঁতি ১০ দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে? 

সমাধান: 
৫ জন তাঁতি ৫ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৫ টি 
∴ ১ জন তাঁতি ১ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৫/(৫ × ৫) টি 
∴ ১০ জন তাঁতি ১০ দিনে মাদুর তৈরি করে = (৫ × ১০ × ১০)/(৫ × ৫) টি 
= ২০ টি 

∴ ২০ টি মাদুর তৈরি করতে পারবে।

সমতলটির 12 টি কৌণিক বিন্দু থেকে ৩টি রেখা দিয়ে একটি ত্রিভুজ আঁকা যায়।
সুতরাং ত্রিভুজ সংখ্যা ¹²C₃
= 12! ÷ {3! × (12-3)!}
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (3 × 2 × 1 × 9!)
= 12 × 11 × 10 × 9! ÷ (6 × 9!)
= 12 × 11 × 10 ÷ 6
= 220

প্রশ্ন: "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"BALLOON" শব্দটিতে মোট 7টি অক্ষর রয়েছে।
এদের মধ্যে 'L' অক্ষরটি 2 বার এবং 'O' অক্ষরটি 2 বার পুনরাবৃত্তি হয়েছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে সাজানোর মোট উপায় হবে:
= 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1 × 2 × 1)
= 5040/4
= 1260
অতএব, "BALLOON" শব্দটির অক্ষরগুলোকে মোট 1260 উপায়ে সাজানো যায়।

√(1-cos²θ)/tanθ
= cotθ.sinθ
= cosθ/sinθ.sinθ
= cosθ

3 বাহুর সমাবেশ থেকে একটি ত্রিভুজ গঠিত হয়
∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা ⁴c₃ = 4 টি
কিন্তু {1, 2, 3}{1, 2, 4}{1, 3, 4} সমাবেশ গুলো ত্রিভুজ গঠন করতে পারেনা।
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি 

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কী?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - x - 6 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = -1, c = - 6

নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac = (-1)² - 4 × 1 × (- 6) = 1 + 24 = 25 > 0
তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

মূলদ্বয় নির্ণয় সূত্র অনুযায়ী,
x = {- b ± √(b² - 4ac)}/2a
=- (-1) ± √{(-1)² - 4 × 1 × (- 6)}/2.1
= 1 ± √(1 + 24)/2
= (1 ± √25)/2
= (1 ± 5)/2

∴ x₁ = 3 এবং x₂ = - 2

বিকল্প সমাধান:
x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒(x - 3)(x + 2) = 0

∴(x - 3) = 0 
⇒ x = 3

অথবা,
(x + 2) = 0
⇒ x = - 2

∴ x = 3, - 2

x² - x - 72
= x² - 9x + 8x - 72
= x(x - 9) + 8(x - 9)
= (x - 9)(x + 8)

৬টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ × ৪৩ = ২৫৮
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৪ × ২৯ = ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৫৮ + ১১৬
সুতরাং ১০টি সংখ্যার গড় = ৩৭৪/১০
= ৩৭.৪

প্রশ্ন: একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় নেয়, স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সেই সময়ের দ্বিগুণ সময় লাগে। সম্পূর্ণ যাতায়াতে মোট ১৫ ঘণ্টা সময় লাগে। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির কত ঘণ্টা সময় লাগে?

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা

∴ মোট যাতায়াতের সময় = x + ২x = ১৫
⇒ ৩x = ১৫
⇒ x = ১৫ ÷ ৩
∴ x = ৫ ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির ৫ ঘণ্টা সময় লাগে।

এখানে, 2x + 3y = 36
বা, 2x = 36 - 3y
আবার,  2x + y = 16
বা,  36 - 3y + y = 16
বা,  -2y = 16 - 36 = -20
বা,  y = 10

তাহলে,  2x = 36 - 3y
বা, 2x = 36 - 3×10 = 36 - 30 = 6
বা, x = 3
সুতরাং, (x, y) = (3, 10)

প্রশ্ন: 6√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆6√6 = x
⇒ 6^x = 6√6
⇒ 6^x = 6¹ × 6^1/2
⇒ 6^x = 6^{1 + (1/2)}
⇒ 6^x = 6^3/2
⇒ x = 3/2

(1/a+1)/(1-1/a²)
={(1+a)/a}/{(a²-1)/a²}
={(1+a)/a}/{(a+1)(a-1)/a²}
=a/(a-1)

ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x এর ৬০% = ৪৮
বা, ৬০x/১০০ = ৪৮
বা, x = (৪৮ × ১০০)/৬০ = ৮০

প্রশ্ন: ১/৩ এর শতকরা কত ৫/৬ হবে?

সমাধান:
১/৩ এর ক% = ৫/৬
বা, (১/৩) এর (ক/১০০) = ৫/৬
বা, ক/৩০০ = ৫/৬
বা, ৬ক = ১৫০০
বা, ক = ২৫০

∴ ক = ২৫০%

প্রশ্ন: বৃত্তাকার একটি পুকুরের ব্যাসার্ধ একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধের তিনগুণ। পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে কতগুণ বেশি?

সমাধান:
ধরি,
বাগানের ব্যাসার্ধ = r
পুকুরের ব্যাসার্ধ = 3r (প্রশ্নে বলা হয়েছে তিনগুণ)

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = π⋅(ব্যাসার্ধ)²

এখন, 
বাগানের ক্ষেত্রফল = πr²
পুকুরের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π⋅9r² = 9πr²

পুকুরটির ক্ষেত্রফল বাগানটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে বেশি = 9πr² -πr² = 8πr²
অতএব, পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের 8 গুণ বেশি

ধরি, ভগ্নাংশটির লব x এবং হর y. সুতরাং প্রশ্নানুসারে-
x+y = 7 ………… (i)
x-y = 3 …………. (ii)
(i) + (ii) ⇒ x+y+x-y = 7+3
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই-
5+y = 7
⇒ y = 2
∴ ভগ্নাংশটি 5/2.

ব্যাসার্ধ r হলে,
আয়তন/পৃষ্টের ক্ষেত্রফল = ((4/3)πr³)/(4πr²) = r/3
বা, r/3 = 5/3
∴ r = 5

1/28+1/14 – 1/42
= (3+6-2)/84
= 7/84
= 1/12
So, Reacquired time 12 min.

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত? 

সমাধান: 
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৩২১০
০, ১, ২, ৩ ও ৫ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৫

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল = (৫৩২১০ - ১০২৩৫) 
= ৪২৯৭৫। 

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 13 -7 = 6
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d
= 7+ (15 -1) x 6
= 7 + 14 x 6
= 91

1/( |(x - 1)| ) < 2
ধনাত্মক হলে, 1/ (x - 1) < 2
x – 1 < 1/2
x < 3/2
ঋণাত্মক হলে,1/ - (x - 1) < 2
x – 1 > - 1/2
x > 1/2
(- ∞, 1/2) ∪ (∞, 3/2)

প্রশ্ন: 2x + 3y - 9 = 0 এবং mx - 6y + 12 = 0 রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, y = mx + c দ্বারা একটি সরলরেখা প্রকাশ করা হয়, যেখানে m হলো রেখার ঢাল এবং c হলো y-অক্ষের ছেদাংশ।

প্রথম রেখার ঢাল নির্ণয়:
2x + 3y - 9 = 0
⇒ 3y = - 2x + 9
⇒ y = (- 2/3)x + 3

অতএব, প্রথম রেখার ঢাল,
m₁ = - 2/3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল নির্ণয়:
mx - 6y + 12 = 0
⇒ -6y = - mx - 12
⇒ y = (m/6)x + 2

অতএব, দ্বিতীয় রেখার ঢাল,
m₂ = m/6

সমান্তরাল রেখার শর্ত:
দুটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হয়।
⇒ m₁ = m₂
⇒ - 2/3 = m/6
⇒ m =  (- 2/3) × 6
⇒ m = - 4

∴ m এর মান = - 4

প্রশ্ন: এক হালি ডালিম ২০০ টাকায় ক্রয় করে অপর এক ব্যক্তির কাছে প্রতিটি ডালিম ৪০ টাকা করে বিক্রয় করলে প্রতিটি ডালিম বিক্রিতে শতকরা কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
হালি = ৪টি 
৪টি ডালিম ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা
∴ ১টি ডালিমের ক্রয় মূল্য = ২০০/৪ = ৫০ টাকা

১টির বিক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা

∴ প্রতিটি ডালিমে ক্ষতি = ৫০ - ৪০ = ১০ টাকা

∴ ৫০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০ টাকা 
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০/৫০ = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, প্রতিটি ডালিম বিক্রয় করলে ২০% ক্ষতি হয়।

শর্টকাট:
শতকরা ক্ষতি = (ক্ষতির পরিমাণ/ক্রয় মূল্য) × ১০০
= (১০/৫০) × ১০০
= ০.২ × ১০০
= ২০%

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২) 
= ১৫০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৪% হার সরল সুদে ৫ বছরে সুদাসল ৬০০ টাকা হলে আসল কত টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা
এখানে,
সুদের হার = ৪%
সময় = ৫ বছর
সুদাসল (আসল + সুদ) = ৬০০ টাকা

আমরা জানি,
সুদ, I = pnr/১০০

আবার,
সুদাসল = আসল + সুদ
∴ সুদ = সুদাসল - আসল

তাহলে,
৬০০ - P = (P × ৪ × ৫)/১০০
বা, ৬০০ - P = (২০P) / ১০০
বা, ৬০০ - P = P/৫
বা, ৬০০ = P + (P/৫)
বা, ৬০০ = (৫P + P)/৫
বা, ৬P = ৬০০ × ৫
বা, P = ৫০০ টাকা

∴ আসল = ৫০০ টাকা

প্রশ্ন:কোনো স্কুলে একদিন ১৩৫ জন ছাত্র অনুপস্থিত ছিল। অনুপস্থিতির হার ৩% হলে ঐ স্কুলে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
৩ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০ জন 
১ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা ১০০/৩ জন 
১৩৫ জন অনুপস্থিত হলে মোট ছাত্রসংখ্যা (১০০ × ১৩৫)/৩ জন
= ৪৫০০

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ মিটার হলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের ১ টি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
∴ ঘনকের ১ টি তলের ক্ষেত্রফল = (৩)^২ বর্গমিটার
= ৯ বর্গমিটার 

আমরা জানি, 
ঘনকের মোট তল = ৬ টি 
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = (৯ × ৬) বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার।