গাণিতিক যুক্তি

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 2 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a²
= √3/4 × 2²
= √3/4 × 4
= √3

প্রশ্ন: রেখা'র ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার ০.৬ অংশ হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা ক
এবং অপর সংখ্যাটি খ।

প্রশ্নমতে,
ক = খ এর ০.৬ অংশ
বা, ক = খ × ০.৬
বা, ক/খ = ০.৬
বা, ক/খ = ৬/১০
বা, ক/খ = ৩/৫

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

প্রশ্ন: একজন দোকান মালিক সাধারণত ৪০% লাভ রেখে জিনিস বিক্রি করেন। ব্যবসা গুটিয়ে ফেলার কারণে বর্তমান মূল্যের ১০% কমে জিনিস বিক্রি শুরু করেন। এতে তাঁর শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
৪০% লাভে
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৪০  টাকা = ১৪০ টাকা

বর্তমান মূল্যের ১০% কমে
বিক্রয়মূল্য  = ১৪০ - ১৪০ এর ১০%
= ১৪০ - ১৪
= ১২৬ টাকা

তাঁর শতকরা লাভ = (১২৬ - ১০০)% = ২৬%

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সেমি এবং আয়তন 48π ঘন সেমি হলে, কোণকটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সেমি
আয়তন = 48π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × (6)² × h = 48π
⇒ (1/3) × 36 × h = 48
⇒ 12 × h = 48
⇒ h = 48/12
⇒ h = 4 সেমি

∴ কোণকটির উচ্চতা 4 সেমি। 

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস 14 সে.মি. এবং উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = 14 সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 10 সে.মি.

আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
∴ আয়তন = π × (7)² × 10
= π × 49 × 10
= 490π ঘন সে.মি.

অতএব, নির্ণেয় আয়তন = 490π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: x²+ x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
 x² + x - 20 > 0
⇒ x² + 5x - 4x - 20 > 0
⇒ x(x + 5) - 4(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 4) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = -5 এবং x = 4।

(x + 5)(x - 4) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:

উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 4) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -5)

অর্থাৎ, x < -5 অথবা x > 4।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (-∞, -5) ∪ (4, ∞)

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
= 11 টি।
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11, 13, 17, 19
আবার, 10 থেকে 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 10, 15, 20

মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (4 + 3) টি
= 7টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 7/11 

৬৪ কেজি মিশ্রণে বালির পরিমাণ (৬৪ × ২৫/১০০) = ১৬ কেজি
∴ পাথরের পরিমাণ = (৬৪-১৬) = ৪৮ কেজি।
এখন, ৪০% = ৪৮ কেজি
∴ ১০০% = (৪৮×১০০)/৪০ কেজি
= ১২০ কেজি
১২০ কেজিতে বালির পরিমাণ (১২০-৪৮) = ৭২ কেজি
∴ বালি মিশাতে হবে (৭২-১৬) = ৫৬ কেজি

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 8 
x - y = 4

আমরা জানি, 
xy  = {(x + y)² - (x - y)²}/4
⇒ xy = {(8)² - (4)²}/4
⇒ xy = (64 - 16)/4
⇒ xy = 48/4
∴ xy = 12

৩টি কমলার ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি কমলার ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি কমলার বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি কমলার বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২) - (১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ । ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ১ : ২ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ২ : ৩ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = [৬০ × (২/৫)] = ২৪ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = [৬০ × (৩/৫)] = ৩৬ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ১ : ২ 

প্রশ্নমতে, 
২৪ : (৩৬ + x) = ১ : ২
বা, ২৪/(৩৬ + x) = ১/২
বা, ৪৮ = ৩৬ + x 
বা, x = ৪৮ - ৩৬ 
বা, x = ১২
∴ x = ১২ 

∴ ১২ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x² + x - 30 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x² - 11x + 30
              = x² - 5x - 6x + 30
              = x(x - 5) - 6(x - 5)
              = (x - 5)(x - 6)
২য় রাশি =  x² + x - 30           
             =  x² - 5x + 6x - 30
             = x(x - 5) + 6 (x - 5) 
             =  (x - 5) (x + 6)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 5) (x + 6)(x - 6) 

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. এবং এর ক্ষেত্রফল ৬৬ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসটির অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি,
∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৬৬ = (১/২) × ক × ১২
বা, ৬ক = ৬৬
∴ ক = ১১

∴ অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১১ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার জমির বাহু তিনটি যথাক্রমে 25 মিটার, 20 মিটার এবং 15 মিটার। যদি প্রতি বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে 3.50 টাকা খরচ হয়। তাহলে পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 25 m, b = 20 m এবং c = 15 m

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (25 + 20 + 15)/2
= 60/2
= 30 মিটার 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √{30 × (30 - 25) × (30 - 20) × (30 - 15)​}
= √(30 × 5 × 10 × 15​)
= √22500
= 150 বর্গ মিটার

∴ 1 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 টাকা 
∴ 150 বর্গ মিটারে ঘাস লাগাতে খরচ = 3.50 × 150 = 525 টাকা

সুতরাং, পুরো জমিতে ঘাস লাগাতে মোট 525 টাকা খরচ হবে। 

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সেমি
বৃত্তের পরিধি =2πr সেমি
প্রশ্নমতে,
বা, 2πr - 2r = 90
বা, 2r =90/(3.1416 - 1)
বা, r = 45/(3.1416 - 1) = 21.01 সেমি

প্রশ্ন: একটি ট্রাক ভর্তি অবস্থায় X থেকে Y পর্যন্ত ৬০ কি.মি./ঘন্টায় যায় এবং খালি অবস্থায় Y থেকে X পর্যন্ত ৯০ কি.মি./ঘন্টায় ফিরে আসে। ট্রাকটির গড় গতিবেগ কত কি.মি./ঘন্টা?

সমাধান:
ভর্তি অবস্থায় বেগ v₁ = ৬০ কি.মি./ঘন্টা
খালি অবস্থায় বেগ v₂ = ৯০ কি.মি./ঘন্টা

গড় গতিবেগ = {2 × (v₁ × v₂)} / (v₁ + v₂)
= {2 × (৬০ × ৯০} / (৬০ + ৯০)
= ১০৮০০ / ১৫০
= ৭২ কি.মি./ঘন্টা

∴ ট্রাকটির গড় গতিবেগ ৭২ কি.মি./ঘন্টা। 

এখানে,
৫১ = ৩ × ১৭,
৮৫ = ৫ × ১৭,
১৫৩ = ৯ × ১৭
এবং ১৮৭ = ১১ × ১৭
∴ গ.সা.গু = ১৭

[8-10(8-10)^-1]^-1 এর মান 
=[8-10(-2)^-1]^-1
=[8+10/2]^-1
=[13]^-1
=1/13

প্রশ্ন: [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)] এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + cosec²θ)]
= [1/(1 + sin²θ)] + [1/(1 + (1/sin²θ))] 
= [1/(1 + sin²θ)] + [sin²θ/(1 + sin²θ)]
= (1 + sin²θ)/(1 + sin²θ)
= 1 

প্রশ্ন: যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b
এবং,
⇒ (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1}
⇒ (2b/b)^(2b/b) = (2b)^{(2b/b) - 1}
⇒ 2² = (2b)^{(2 - 1)}
⇒ 4 = 2b
∴ b = 2

x = 2y = 3z
∴ y = x/2
এবং
z = x/3

xyz = 36
বা, x.x/2.x/3 = 36
বা, x³ = 2 × 3 × 36
বা, x³ = 216
∴ x = 6