গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: p⁴ + 6p² - 7 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান:
p⁴ + 6p² - 7
= (p²)² + 2.p².3 + 3² - 9 - 7
= (p² + 3)² - 4²
= (p² + 3 + 4)(p² + 3 - 4)
= (p² + 7)(p² - 1)
= (p² + 7) (p² - 1²)
= (p² + 7)(p + 1)(p  - 1)

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 20² = 400
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 10² [r = 20/2 = 10 cm]
= 314

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = (400 - 314)
= 86 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম ও রাজশাহীর দূরত্ব ৪২০ কিমি। একটি বাস চট্টগ্রাম থেকে সকাল ৬:৩০ মিনিটে ছেড়ে বিকাল ৪:৩০ মিনিটে রাজশাহী পৌঁছালে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?

 সমাধান:
ছাড়ার সময় = ৬:৩০
পৌঁছানোর সময় = ১৬ : ৩০ [৪:৩০ মিনিটকে ২৪ ঘন্টা ফরম্যাটে = ১৬ : ৩০]

∴ মোট সময় = ১০ ঘন্টা

গড় গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪২০ / ১০
= ৪২ কিমি/ঘন্টা

∴ গতিবেগ ৪২ কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: যদি a + b = 3 এবং ab = 2 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 3
 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (3)³ – 3 × 3 × 2 + 4 (3² - 4.2) [মান বসিয়ে]
=27 - 18 + 4(9 - 8)
= 27 - 18 + 4 × 1
= 27 - 18 + 4
= 13 

:. নির্ণেয় মান 13

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০০। একটি সংখ্যা ৭৫ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭৫ × অপর সংখ্যা = ৯০০ × ১৫
⇒ অপর সংখ্যা = (৯০০ × ১৫)/৭৫
⇒ অপর সংখ্যা = ৯০০/৫ 
⇒ অপর সংখ্যা = ১৮০

∴ অপর সংখ্যাটি হলো ১৮০।

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দু কয়টি? 

সমাধান: 
 - রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি। 

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

f(-1) = (-1)³ + 2(-1) + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
= (81+1)/2 × {( 81-1)/4} +1
= 82/2 × 80/4 +1
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ∠C = 90° , AC = 5 সে.মি. হলে AB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে,
∠C = 90°
AC = 5 সে.মি.
∴ AC = BC = 5 সে.মি.

মনে করি,
ABC সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে, AC = ভূমি, BC = লম্ব, AB = অতিভুজ

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = 5² + 5²
⇒ AB² = 25 + 25
⇒ AB² = 50
⇒ AB = √50
⇒ AB = √(25 × 2)
⇒ AB = 5√2

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান: 
x² - 6x + 9
= x² - 2.x.3 + 3²
= (x - 3)²

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - 3)² = (x - 3) (x - 3)

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা
এবং 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা
∴ লাভ = (৬ক - ৫ক) টাকা
= ক টাকা

∴ শতকরা লাভ = (ক/৫ক) × ১০০% 
= ২০% । 

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭ বছর ও ২ বছর ছিল। তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭ + ৩) বছর = ৩০ বছর এবং মেয়ের বয়স = (২ + ৩) বছর = ৫ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (৩০ + ৫) বছর = ৩৫ বছর এবং (৫ + ৫) বছর = ১০ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ : ১০
= ৭ : ২ বছর।

প্রশ্ন: a = 3, b = 2, c = 4 এবং d = 1 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 3 + 2 - 4 + 1
= 2

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ২০% লাভে বিক্রয় করা হলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য হয় ৪০০০ টাকা। মোবাইলটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
মোবাইলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০)
= ১২০ টাকা

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) = ২০ টাকা

২০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ১ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/২০ টাকা
∴ ৪০০০ টাকা লাভ হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৪০০০)/২০ টাকা
= ২৪০০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩০, ৭০ ও ৩৮৫ এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
৩০ = ১ × ২ × ৩ × ৫
৫০ = ১ × ২ × ৫ × ৭
৩৮৫ = ১ × ৫ × ৭ × ১১

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৫ × ৭ × ১১
= ৩০ × ৭ × ১১
= ২১০ × ১১
= ২৩১০

প্রশ্ন: যদি 1/5 (2x + 3) ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
1/5 (2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6 

30, 40 এর গড় = (30 + 40)/2
= 35
∴ গড় ব্যবধান = {।30 - 35। + ।40 - 35।}/2
= (5 + 5)/2
=10/2
= 5

A = 90°
∴ B + C = 90°
বা, C = 90° - B
বা, sinC = sin(90° - B)
= cosB
∴ sin²B + sin²C
= sin²B + cos²B
= 1

x³ - x = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, x(x² - 1) = (x - a)(x - b)(x -c)
বা, (x - 0)(x + 1)(x - 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, (x - 1)(x - 0)(x + 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
∴ a > b > c
∴ x - 1 = x - a,
x - 0 = x - b,
x + 1 = x - c
∴ a = 1
∴ b = 0
∴ c = -1

p^m × pⁿ × p^-r 
= p^m+n-r

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5 × 5 × 5 × 5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

HCF = 17
Let numbers are = 17x, 17y
LCM = 17xy = 714 (given)
xy = 42
Possible pairs are (1, 42), (2, 21), (3, 14), (6, 7)
Possible numbers are (17, 714), (34, 357), (51, 238), (102, 119)
but given that both numbers are of three digits
∴ numbers are = (102, 119)
∴ sum of numbers = 102 + 119 = 221

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-চতুর্থাংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ। ভাগফল ৯৬ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের এক চতুর্থাংশ = ৯৬/৪ = ২৪
ভাগশেষ = ভাজকের এক-তৃতীয়াংশ = ২৪/৩ = ৮

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২৪ × ৯৬) + ৮
= ২৩০৪ + ৮ 
= ২৩১২

Hints:
x²-√5x+1=0
x+1/x = √5
x-1/x = 1 

So, x²-(1/x)²=(x+1/x) (x-1/x) = √5

ধরি, আয়তক্ষেত্রের উচ্চতা = h
বৃত্তের ব্যাস = 4a তাহলে ব্যাসার্ধ = 4a/2 = 2a
সুতরাং,
4a × h = 4Πa²
∴ h = Πa

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

x³ + 1 = 0
⇒ (x + 1)(x² - x + 1) = 0
∴ x = -1, যা বাস্তব
আবার,
ax²+ bx + c = 0 সমীকরণের মূল
x = {-b ± √(b² - 4ac)}/2a
⇒ x = 1 ± √(1 - 4.1.1)/2
⇒ x = {1 ± √(-3)}/2 = 1 ± √(3i)/2
যা দুইটি অবাস্তব সংখ্যা

∴ উক্ত সমীকরণের বাস্তব মূলের সংখ্যা ১ টি।