গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 10 একক এবং ভূমি 12 একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে:
সমান বাহু, a = 10 একক
ভূমি, b = 12 একক

আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (12/4) √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 √(400 - 144)
= 3 √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ একক

প্রশ্ন: রাইতুল তার ছোট নৌকাটি নিয়ে নদীপথে বাজারে যেতে লাগল। নদীতে স্রোত ছিল, তাই নৌকাটি স্রোতের অনুকূলে দ্রুত এগোচ্ছিল। রাইতুল  লক্ষ্য করল নৌকাটি স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘণ্টায় ৩৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করেছে।রাইতুল জানতো, স্থির পানিতে তার নৌকার গতিবেগ ৬ কিমি/ঘণ্টা। তখন নদীর স্রোতের গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার ছিল? 

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে ৬ ঘণ্টায় নৌকা যায় = ৩৬ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে ১ ঘণ্টায় নৌকা যায় = ৩৬/৪ = ৯ কি.মি.

স্রোতের বেগ + নৌকার বেগ = ৯ কি.মি.
নৌকার বেগ   = ৬ কি.মি.
∴ স্রোতের বেগ = ৯ - ৬ = ৩ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: 5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} 
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{3(x + 1)}
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 3 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 3
⇒ - x = 6
∴ x = - 6

প্রশ্ন: 5 ≤ 3p + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান হচ্ছে:

সমাধান:
5 ≤ 3p + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3p + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3p < 15
= 4/3 ≤ p < 15/3
= 4/3 ≤ p < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু (Critical points) দুটি হলো x = 5 এবং x = - 3

(x - 5)(x + 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 5) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 3)

অর্থাৎ, x < - 3 অথবা x > 5
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 3) ∪ (5, ∞)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৪^২ : π × ৩^২
= ১৬ : ৯

প্রশ্ন: 9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
log₃(9√3)
= log₃(9 × √3)
= log₃(9) + log₃(√3) [log_b(mn) = log_bm + log_bn]
= log₃(3²) + log₃(3^1/2)
= 2 × log₃(3) + (1/2) × log₃(3)
= 2 × 1 + (1/2) × 1
= 2 + 1/2
= 5/2

প্রশ্ন: ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
∴ ১০০° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ১০০)° 
= ৮০° ।

প্রশ্ন: ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড়, ৩, ৮, ১০ ও ১৪ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৩ + ৭ + ৯ + ১৫ + ২১)/৫ = (৩ + ৮ + ১০ + ১৪ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫/৫ = (৩৫ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫ = ৩৫ + ক
⇒ ক = ৫৫ - ৩৫
∴ ক = ২০ 

∴ ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড় = ৩, ৮, ১০, ১৪ ও ২০ এর গাণিতিক গড়।

মোট নমুনা ক্ষেত্র ১২ টি
মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা এর নমুনা ক্ষেত্র = {২H, ৪H, ৬H} = ৩ টি
∴মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১২ = ১/৪

প্রশ্ন: মকবুল ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং বুলবুল চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা হলে মকবুলের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করুন?

সমাধান: 
1 টি কলমের দাম = x টাকা
∴ 6 টি কলমের দাম = 6x টাকা

আবার,
1 টি খাতার দাম = y টাকা
∴ 3 টি খাতার দাম = 3y টাকা 

∴ মকবুলের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি = 6x + 3y 

প্রশ্ন: (secθ + tanθ) = 1/2 হলে (secθ - tanθ) এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
secθ + tanθ = 1/2

আমরা জানি, 
⇒ sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ (1/2)(secθ - tanθ) = 1
∴ secθ - tanθ = 2

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b² - 4ac = 0 
⇒ p² - 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p² = 32 
⇒ p = √32
∴ p = 4√2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ হলে আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক মিটার।
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(৩ক + ক) = ২ × ৪ক  = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান হওয়ায় = ৮ক মিটার।

∴ বর্গক্ষেত্রের বাহু = ৮ক/৪ = ২ক মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ক × ৩ক = ৩ক^২ বর্গমিটার।
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (২ক)^২ = ৪ক^২ বর্গমিটার।

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত (আয়তক্ষেত্র : বর্গক্ষেত্র) = ৩ক^২ : ৪ক^২ = ৩ : ৪

অতএব, আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩ : ৪।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = “ক” টি

শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = {(ক - ২) × ৫} জন

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৮ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৮ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৫ = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ১০ = ৪ক + ৮
∴ ক = ১৮

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি

∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৫ জন
= (১৮ - ২) × ৫ জন
= ১৬ × ৫ জন
= ৮০ জন

log_√5625 = log_√5(√5)⁸
= 8log_√5√5
= 8.1
= 8

x²-8x-8y+16+y²
= x²+y²+(-4)²+2xy+2y(-4)+2(-4)x-2xy
= (x+y-4)²-2xy

১/২ = ০.৫
২/৩ = ০.৬৭
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৫ = ০.৮০
সুতরাং ৪/৫ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a³ + b³ + 4(a - b)² এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

আমরা জানি, 
(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 52 - 4 × 6 = 25 - 24 = 1
∴ (a - b)² = 1

এবং, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 5³ - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
∴ a³ + b³ = 35

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 4(a - b)2
= 35 + 4 × 1
= 39

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি ২πr = ১৩২
বা, r = ১৩২/২π = ৬৬/π
∴ ক্ষেত্রফল = πr^২
= π × ৬৬/π × ৬৬/π
= ৪৩৫৬/π বর্গ সে. মি.

২৫% বৃদ্ধিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা
১২৫ টাকার দুধ ক্রয় করতে হয় ১০০ টাকায়
১ টাকার দুধ ক্রয় করতে হয় ১০০/১২৫ টাকায়
১০০ টাকার দুধ ক্রয় করতে হয় (১০০ ×১০০)/১২৫ টাকায় = ৮০ টাকায়
দুধ খাওয়া কমাতে হবে = ১০০ - ৮০ = ২০%

প্রশ্ন: ৩, ৪ ও ৫ সে.মি. ধার বিশিষ্ট তিনটি ছোট ঘনক গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হলো। ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় ঘনকের ধার = ক

∴ বড় ঘনকের  আয়তন = ছোট ঘনকগুলোর আয়তনের সমষ্টি
⇒ ক^৩ = ৩^৩ + ৪^৩ + ৫^৩
⇒ ক^৩ = ২৭ + ৬৪ + ১২৫
⇒ ক^৩ = ২১৬
⇒ ক^৩ = ৬^৩ 
⇒ ক = ৬

∴ বড় ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ৬ক^২
= (৬ × ৬^২) বর্গ সে.মি. 
= (৬ × ৩৬) বর্গ সে.মি.
= ২১৬ বর্গ সে.মি.

এবং, ছোট ঘনকগুলোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = {(৬ × ৩^২ ) + (৬ × ৪^২) + (৬ × ৫^২)} বর্গ সে.মি.
= {(৬ × ৯ ) + (৬ × ১৬) + (৬ × ২৫)} বর্গ সে.মি.
= (৫৪ + ৯৬ + ১৫০) বর্গ সে.মি.
= ৩০০ বর্গ সে.মি.

∴ নির্ণেয় অনুপাত = ৩০০ : ২১৬
= ২৫ : ১৮

১ টির ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
১ টিতে লাভ হয় ১/২-১/৩= ১/৬টাকা
১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/৬= ৫০ টাকা= ৫০%

( √5 + √( 5 - x ))/( √5 - √( 5 - x )) = 5 
[ যোজন-বিয়োজন করে পায় ]
⇒√5/√(5 - x ) = 6/4
উভয় পাশে বর্গ করে পায়,
⇒ 5/( 5- x ) = 36/16
⇒ 5/( 5 - x ) = 9/4
⇒ x = 25/9

x² + 4y² + 8x - 16y + 16
= x² + (2y)² + (4)² - 2.x.2y + 2.x.4 - 2.2y.4 + 4xy
=(x - 2y + 4)² + 4xy

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

Let the total number of students be x.
Then, (100−76)% of x = 204
⇒ 24% of x = 204
⇒ (24/100)x = 204
⇒ x = 204×(100/24)
⇒ x = 850

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালের মে মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৪ = ৩ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৩/৭

প্রশ্ন: একটি শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৪৮ লক্ষ। প্রতি হাজারে বৃদ্ধির হার ২০ জন। ২ বছর পর জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৪৮০০০০০
বার্ষিক বৃদ্ধির হার = ২০ প্রতি হাজারে = ২০/১০০০ = ০.০২ = ২%

∴ ২ বছর পর জনসংখ্যা (চক্রবৃদ্ধি হারে), A = P × (১ + r)^২
= ৪৮০০০০০ × (১.০২)^২
= ৪৮০০০০০ × ১.০৪০৪
= ৪৯৯৩৯২০

অতএব, ২ বছর পর জনসংখ্যা হবে ৪৯,৯৩,৯২০ জন।

প্রশ্ন: log₉(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/243)
= log₉(1/81)
= log₉(1/3⁴)
= log₉(3^-4)
= - 4 . log₉3  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 . log₉(√9)
= - 4 . log₉9^(1/2)
= - 4 . 1/2 . log₉9
= - 2 . 1  [log_aa = 1]
= - 2

(a^p+q ÷ a^2r) × (a^q+r ÷ a^2p) × (a^r+p ÷ a^2q)
= a^{(p+q - 2r)} × a^{(q+r - 2p)} × a^{(r+p - 2q)}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + 3y = 56....(i)
এবং y = 2x
এখন y = 2x মানটি (i) নং সমীকরণে বসাই,
x + 3(2x) = 56
⇒ x + 6x = 56
⇒ 7x = 56
⇒ x = 8

এখন,
y = 2x
⇒ y = 2 × 8 = 16

Sourov's monthly income = (2,34,000)/12 = Tk 19,500.

Jashim's monthly income = (3/2)×19,500 = Tk 29,250.

Gourob's monthly income = (2×29,250) = Tk 58,500.

(x^x)⁰+(y^y)⁰ 
=1+1
=2

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 1/3 সংখ্যাটির 1/5 অপেক্ষা 4 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x/3 = (x/5) + 4
বা, x/3 = (x + 20)/5
বা, 5x = 3(x + 20)
বা, 5x = 3x + 60
বা, 5x - 3x = 60
বা, 2x = 60
বা, x = 60/2
∴ x = 30