গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে প্রত্যেকে ২০ টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৪০ টাকা হয়। ক্লাবের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সদস্য সংখ্যা = ক জন

প্রত্যেকে ২০ টাকা করে দিলে মোট চাঁদা = ২০ × ক = ২০ক টাকা

প্রশ্নমতে, ২০ক = ৯৪০
⇒ ক = ৯৪০/২০
= ৪৭

∴ সদস্য সংখ্যা = ৪৭ জন

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনটি সরলরেখার সমীকরণ হিসেবে গণ্য হয় না?

সমাধান: 
সরলরেখার সমীকরণ (মূল বিন্দুগামী) y = mx 
দুই অক্ষকে ছেদ করে এমন সরল রেখার সমীকরণ = x/a + y/b = 1 

অপশনগুলোর মধ্যে (গ) অপশনটি সরল রেখা নয়। 
কারণ, x = 1/y এই সমীকরণটির ঘাত হচ্ছে ২ ।
তাই উক্ত সমীকরণটি কোনো সরলরেখার সমীকরণ নয়।
.............................
............................................
অন্যভাবে বলা যায়,
সরলরেখার সমীকরণ একঘাত বিশিষ্ট সমীকরণ যেখানে xy সমন্বিত কোনো পদ নেই।
x = 1/y
∴ xy = 1
প্রদত্ত সমীকরণে xy সমন্বিত পদ থাকায় সমীকরণটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

অপশন আলোচনা:
এখন, দেওয়া বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

ক) x + y = 5 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং কোনো ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

খ) y = 3 → এটি একটি অনুভূমিক সরলরেখার সমীকরণ, যা y-অক্ষ বরাবর চলমান। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

গ) x = 1/y → এখানে x এবং y-এর মধ্যে ভগ্নাংশ সম্পর্ক আছে, অর্থাৎ এটি রৈখিক নয়। এটি একটি অরৈখিক (non-linear) সমীকরণ। এটি সরলরেখার সমীকরণ নয়।

ঘ) 2x - 7y = 4 → এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, কারণ x এবং y-এর ঘাত ১ এবং ভগ্নাংশ নেই। এটি সরলরেখার সমীকরণ।

প্রশ্ন: 5x + 3 ≥ 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3 ≥ 18 
⇒ 5x + 3 - 3 ≥ 18 - 3 ; [উভয়পাশে 3 বিয়োগ করে পাই] 
⇒ 5x ≥ 15
⇒ 5x/5 ≥ 15/5 ; [উভয়পাশে 5 দ্বারা ভাগ করে পাই] 
∴ x ≥ 3

প্রশ্ন: ৮, ১০ ও ১৬ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি
বা, প্রথম রাশি × চতুর্থ রাশি = দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি

এখানে, প্রথম রাশি = ৮, দ্বিতীয় রাশি = ১০ এবং তৃতীয় রাশি = ১৬

সূত্রমতে,
৮ × চতুর্থ রাশি = ১০ × ১৬
⇒ ৮ × চতুর্থ রাশি = ১৬০
⇒ চতুর্থ রাশি = ১৬০/৮
∴ চতুর্থ রাশি = ২০

অর্থাৎ, চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যাটি ২০

প্রশ্ন: একটি রেখার কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে? 

সমাধান:
- রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই। 
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।

Back Solving Method/Option Test:
18+9 = 27 ≠ 30
10+3 = 13 ≠ 30
63+3= 66 ≠ 30
16+7 = 23 ≠ 30
অপশন গুলোর কোনটিই প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্ত মানছে না। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি. ও ৯ সে.মি., এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি. = ১৫/১০০ = ০.১৫ মি.
এবং ৯ সে.মি. = ৯/১০০ = ০.০৯ মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি. = ৮/১০০ = ০.০৮ মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (০.১৫ + ০.০৯) × ০.০৮
= (১/২) × ০.২৪ × ০.০৮
= ০.১২ × ০.০৮
= ০.০০৯৬ বর্গ মি.

সুতরাং, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ০.০০৯৬ বর্গ মিটার।

xy > 0 এবং yz < 0 হওয়ায় দুটির গুনফল ঋনাত্নক হবে তাই xy × yz = xy²z ঋণাত্মক

এখানে,
এসিডঃপানি = ৩ঃ১
তাহলে এসিডের পরিমাণ = ৩/৪ × ৩২ লিটার
= ২৪ লিটার।
এবং পানির পরিমাণ = ১/৪ × ৩২ লিটার
= ৮ লিটার।

সুতরাং শর্তমতে,
দ্বিতীয় অনুপাতে এসিডের পরিমাণ একই থাকবে এবং শুধু পানির পরিমাণ পরিবর্তন হবে।
২৪/(৮ + ক) = ৩/২
বা, ৮/(৮ + ক) = ১/২
বা, ৮ + ক = ১৮
বা, ক = ৮ লিটার।

প্রশ্ন: রফিক সাহেব তার বেতনের ১/৪ অংশ বাড়িভাড়া, ১/১০ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৫ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = (১/৪) + (১/১০) + (১/৫)
= (৫ + ২ + ৪)/২০
= ১১/২০

∴ অবশিষ্ট থাকে = ১ - (১১/২০) = ৯/২০

∴ শতকরা অবশিষ্ট থাকে = (৯/২০)/১ × ১০০ 
= (৯ × ১০০)/২০ 
= (৯ × ৫)% 
= ৪৫%

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে দুইটিই ছয় উঠার সম্ভাভনা কত?

সমাধান:
যখন দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়, তখন মোট 36টি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, কারণ প্রথম ছক্কার জন্য 6 টি (1 থেকে 6) এবং দ্বিতীয় ছক্কার জন্যও 6 টি (1 থেকে 6) সম্ভাবনা রয়েছে। তাই, মোট সম্ভব ফলাফল হবে = 6 × 6 = 36
এখন, দুটি ছক্কায় দুইটি ছয় (6, 6) ওঠার একমাত্র একটি ফলাফল রয়েছে।

এখানে,
A = ১ম বার ৬
B = ২য় বার ৬

তাই,
P(দুইবারই ৬) = (১/৬) × (১/৬) = ১/৩৬

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × একবাহুর দৈর্ঘ্য 
= ৪ × ৪০ মিটার 
= ১৬০ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার। 

প্রশ্ন: আয়না থেকে 5 ফুট দূরত্বে দাঁড়িয়ে, আয়না থেকে আপনার প্রতিবিম্ব কতদূরে দেখা যাবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আয়না থেকে লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব ও প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান। 
অতএব, প্রতিবিম্ব 5 ফুট দূরে দেখা যাবে।

প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = √13
x - y = √5

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে ২৫ জন ছাত্র ক্রিকেট খেলে, ২৫ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। ১০ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্রিকেট খেলে = ২৫ জন 
ফুটবল খেলে = ২৫ জন
উভয় খেলা খেলে = ১০ জন
কোনো খেলাই খেলে না = ১০ জন

শুধু ক্রিকেট খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন
শুধু ফুটবল খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন

∴ মোট ছাত্রসংখ্যা = শুধু ক্রিকেট খেলে + শুধু ফুটবল খেলে + উভয় খেলা খেলে + কোনো খেলা খেলে না 
= ১৫ + ১৫ + ১০ + ১০ 
= ৫০ জন 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার = ক মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/৪
∴ ক = ৭ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= ২ × (২৮ + ৭) মিটার
= ২ × ৩৫ মিটার
= ৭০ মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা ৭০ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪৪০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম জোড় সংখ্যা = ক
∴ দ্বিতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ২
∴ তৃতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ৪

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ২)^২ + (ক + ৪)^২ = ৪৪০
⇒ ক^২ + ক^২ + ৪ক + ৪ + ক^২ + ৮ক + ১৬ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক + ২০ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক = ৪২০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক - ৪২০ = ০
⇒ ক^২ + ৪ক - ১৪০ = ০
⇒ ক^২ + ১৪ক - ১০ক - ১৪০ = ০
⇒ ক(ক + ১৪) - ১০(ক + ১৪) = ০
⇒ (ক + ১৪)(ক - ১০) = ০

∴ ক = ১০ (যেহেতু ক = - ১৪ ঋণাত্মক, তাই গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ প্রথম জোড় সংখ্যা = ১০
∴ দ্বিতীয় জোড় সংখ্যা = ১২
∴ তৃতীয় জোড় সংখ্যা = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১৪

অতএব, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১৪

√8/2 = 2√2/2 = √2 যা অমূলদ সংখ্যা।

QURBANI শব্দটিতে 7টি বর্ণ রয়েছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণ 3টি একত্রে রাখলে 5টি বর্ণ হয় যাদেরকে 5! উপায়ে সাজানো যায় আবার,
স্বরবর্ণ 3টি নিজেদের মধ্যে 3! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং শর্তসাপেক্ষে বর্ণগুলো সাজানোর মোট উপায় = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৯৬০ টাকায় পূর্বের তুলনায় ৪টি বই বেশি কেনা গেল। প্রতিটি বইয়ের পূর্বমূল্য কত ছিল?

সমাধান:
২০% হ্রাসে,
বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য (১০০/৮০) টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ৯৬০ টাকা হলে পূর্বমূল্য (১০০ × ৯৬০)/৮০ টাকা
= ১২০০ টাকা

৯৬০ টাকায় পূর্বের তুলনায় ৪টি বই বেশি কেনা যায়।

∴ ৪টি বইয়ের পূর্বমূল্য = (১২০০ - ৯৬০) = ২৪০ টাকা 
∴ ১টি বইয়ের পূর্বমূল্য = (২৪০/৪) = ৬০ টাকা 

∴ প্রতিটি বইয়ের পূর্বমূল্য = ৬০ টাকা।

মনে করি.
একটি কোণ ক তাহলে অপর কোণ (90 - ক)
শর্তমতে,
ক - (90-ক) = 8
বা, ক - 90 + ক = 8
বা, 2ক = 98
বা, ক = 49
সুতরাং অপর কোণ = 90 - ক
= 90 °- 49°
= 41°

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

শর্তমতে, 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১ 
⇒ (ক + ১২)/২ = ২ক - ২১ 
⇒ ক + ১২ = ২ × (২ক - ২১) 
⇒ ক + ১২ = ৪ক - ৪২ 
⇒ ৪ক - ক = ১২ + ৪২ 
⇒ ৩ক = ৫৪ 
⇒ ক = ৫৪/৩ 
∴ ক = ১৮ 

∴ সংখ্যাটি = ১৮

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, 
নামাজীর সংখ্যা = n

যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার শুভেচ্ছা জানায়, তবে মোট শুভেচ্ছার সংখ্যা হবে = ⁿC_r = ⁿC₂ = n!/2!(n - 2)!
= n(n - 1)(n - 2)!/2!(n - 2)! = n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে, 
n(n - 1)/2 = 45 
⇒ n² - n - 90 = 0
⇒ n² - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
হয়, 
n - 10 = 0
∴ n = 10

অথবা, 
n + 9 = 0
∴ n = - 9   ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন। 

প্রশ্ন: কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
বড় থেকে ছোট ক্রমটি হলো:
কিলোমিটার > হেক্টোমিটার > ডেকামিটার > মিটার > ডেসিমিটার > সেন্টিমিটার > মিলিমিটার

অপশন বিবেচনায় 
সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম হলো মিলিমিটার

১ সেন্টিমিটার= ১০ মিলিমিটার
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার
১ মিটার = ১০০০ মিলিমিটার
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার