গাণিতিক যুক্তি

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³), (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3³) + (4/3 π 4³) + (4/3 π 5³)
= 4/3 π (3³+4³+5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লব এর ল.সা.গু)/(হর এর গ.সা.গু)
১, ২, ৩ এর ল.সা.গু = |১, ২, ৩ = ৬
৪, ৫, ৩ এর গ.সা.গু = ১

সুতরাং, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৬/১
                                      = ১

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০০ বছর। পিতার বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। পিতার বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি,
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (১০০ - x) বছর

প্রশ্নমতে,
x = ৪ (১০০ - x)
বা, x = ৪০০ - ৪x
বা, x + ৪x = ৪০০
বা, ৫x = ৪০০
বা, x = ৪০০/৫
∴ x = ৮০

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৮০ বছর

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি x² + qx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় এবং q > 0 হয়, তবে q এর মান কত?

সমাধান:  
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এর মূল সমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক শূন্য। 
অর্থাৎ, 
q² - 4 × 1 × 6 = 0
⇒ q² = 24
⇒ q = √24 = 2√6
∴ q = 2√6

যেহেতু, q > 0 সুতরাং, q = 2√6

বৃত্তঃস্থ চতুর্ভূজের ক্ষেত্রে,
<A + <C = ১৮০°
∴ <C = ১৮০° - ৯৫°
বা, <C = ৮৫°

প্রশ্ন: x = 3 + √8 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3 + √8
⇒ 1/x = 1/(3 + √8)
= (3 - √8)/((3 + √8)(3 - √8))
= (3 - √8)/{3² - (√8)²}
= (3 - √8)/(9 - 8)
∴ 1/x = 3 - √8

এখন,
x + 1/x = 3 + √8 + 3 - √8
= 6

আমরা জানি,
x² + (1/x²) = (x + 1/x)² - 2 . x . (1/x)
= (x + 1/x)² - 2
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৯০ মিটার। এর প্রস্থ ২০ মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৯০মিটার
প্রস্থ = ২০মিটার

পরিসীমা:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৯০ = ২(দৈর্ঘ্য + ২০)
৯০ = ২ × দৈর্ঘ্য + ৪০
৯০ - ৪০ = ২ × দৈর্ঘ্য
৫০ = ২ × দৈর্ঘ্য
দৈর্ঘ্য = ২৫ মিটার 

ক্ষেত্রফল:
= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২৫ × ২০
= ৫০০ বর্গমিটার 

∴আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ৫০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ax + by = a - b এবং bx - ay = a + b হলে, x মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ax + by = a - b ......(1)
bx - ay = a + b .........(2)

এখন, (1) কে a দিয়ে এবং (2) কে b দিয়ে গুণ করে যোগ করি, 
a²x + aby = a² - ab
b²x - aby = ab + b²
__________________
⇒ a²x + b²x = a² + b²
⇒ x(a² + b²) = a² + b²
⇒ x = (a² + b²)/(a² + b²)
∴ x = 1

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 160° হলে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 160°
⇒ ∠ACB = 20°

আবার, ∠A+ ∠B+ ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 20° = 180°
⇒ ∠A + 95° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 95°
∴ ∠A = 85°

P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7}
∴R = P-Q = {3, 5, 7}-{5, 7} = {3}
(P∪Q) = {3, 5, 7}
∴(P∪Q) × R = {3, 5, 7} × {3} = {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)² = 5²
বা, a² + 2ab + b² = 25 
বা, 13 + 2ab = 25 [a² + b² = 13] 
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: একটি পাইপের বহির্ব্যাস ৬ ইঞ্চি এবং অন্তর্ব্যাস ৫ ইঞ্চি। পাইপটির পুরুত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাইপের বহির্ব্যাস = ৬ ইঞ্চি
∴ পাইপের বহির্ব্যাসার্ধ = ৬ ÷ ২ = ৩ ইঞ্চি

পাইপের অন্তর্ব্যাস = ৫ ইঞ্চি
∴ পাইপের অন্তর্ব্যাসার্ধ = ৫ ÷ ২ = ২.৫ ইঞ্চি

∴ পাইপের পুরুত্ব = ৩ - ২.৫
= ০.৫ ইঞ্চি

³√(8+x) = 3
⇒ 8 + x = 27 [ঘন করে]
∴ x = 19

ধরি,
x = -5,
y = -2
∴ x² - y² = 25 - 4
= 21
এবং y² - x² = -21
x + y = -7,
x - y = -3
∴ x² - y² বৃহত্তম

প্রশ্ন: ৩/৭ এর শতকরা কত ৯/১৪ হবে?

সমাধান:
ধরি, ৩/৭ এর ক% = ৯/১৪
⇒ (৩/৭) × (ক/১০০) = ৯/১৪
⇒ ৩ক/৭০০ = ৯/১৪
⇒ ৩ক × ১৪ = ৯ × ৭০০
⇒ ৪২ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৪২
∴ ক = ১৫০%

অতএব, ৩/৭ এর ১৫০% হলো ৯/১৪।

প্রশ্ন: (a - 3)(b + 3) < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
অমিত সমীকরণটি বিশ্লেষণ করুন
(a - 3)(b + 3) <0 একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হতে হবে।

সম্ভাব্য ক্ষেত্রে:
a - 3 > 0 
 ⇒  a > 3
 b + 3 <0 
 ⇒  b < - 3
a - 3 < 0 
 ⇒  a < 3
 b + 3 > 0 
 ⇒  b > - 3

অতএব,
a - 3 > 0, b + 3 < 0 
ধনাত্মক × ঋণাত্মক = ঋণাত্মক

∴ a > 3, b < - 3

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 8 সে.মি.
উচ্চতা, h = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
 সিলিন্ডারের আয়তন, V = πr²h ঘনএকক
= (22/7) × 8² × 21 ঘন সে.মি.
= (22/7) × 64 × 21 ঘন সে.মি.
= 22 × 64 × 3 ঘন সে.মি.
= 4224 ঘন সে.মি.

∴সিলিন্ডারের আয়তন 4224 ঘন সে.মি. ।

মোট সময় = ২+৫ = ৭ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = ৬+৬ = ১২ মাইল
∴ গড় বেগ = ১২/৭ = ১ (৫/৭)

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মিটার, প্রস্থ 5 মিটার
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য P মি.

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য²+ (প্রস্থ)²}
বা, 13 = √{(P)²+ (5)²}
বা, 13 = √(P²+ 25)
বা, √(P²+ 25) =13
বা, P²+ 25 = 13²
বা, P²= 169 - 25
বা, P²= 144
বা, P = √144
∴ P = 12

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মি. = (12 × 100) বা 1200 সে. মি.

৪৫০ টাকার x% = ৪৫০ × x/১০০
আবার, ২০০ টাকার ৯% = ২০০ × ৯/১০০
∴ ৪৫০x/১০০
= ২০০ × ৮৯ / ১০০
বা, x = ২০০ × ৯ / ৪৫০ = ৪

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

x/2 + 3 = x/3 + 4
বা, x/2 - x/3 = 4 - 3
বা, (3x-2x)/6 = 1
বা, x/6 = 1
বা, x = 6

দেওয়া আছে, x + 1/x = √3
আমরা জানি, x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. 1/x (x + 1/x)
= (√3)³ - 3. √3
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: b² − 4ac > 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়- 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি-  
1. যদি b² − 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে। 
2. যদি b² − 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে। 
3. যদি b² − 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। 
4.  যদি b² − 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক 
∴ ৫ক ও ৬ক এর গ.সা.গু = ক 

প্রশ্নমতে, 
গ.সা.গু = ক 
∴ ক = ৪ 

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে- 
৫ক = ৫ × ৪ = ২০
এবং
৬ক = ৬ × ৪ = ২৪ 

এখন, 
২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ১২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০ ।

প্রশ্ন: a + b + c = 13 এবং a² + b² + c² = 51 হলে, ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 13
এবং a² + b² + c² = 51

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (13)² - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 169 - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 118
বা, (ab + bc + ca) = 118/2 
∴ ab + bc + ca = 59

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 150° হলে ∠A কোণের মান কত?

সমাধান:
একটি সরল রেখায় 180° থাকে।
 এখন
সরলরেখার সন্নিহিত কোণদ্বয়ের ∠ACE = 150°  হলে,
∠ACB = 180° - 150° = 30°

দেওয়া আছে,
∠B = ∠ABC = 75°
এবং ∠ACB = 30°
∴ ∠BAC = ∠A = 180° - (75° + 30°)
= 180° - 105°
= 75°

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

সমাধান: 
72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³
⇒ 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 8
⇒ 3^{3a - 5} = 8/72
⇒ 3^{3a - 5} = 1/9
⇒ 3^{3a - 5} = 1/3²
⇒ 3^{3a - 5} = 3^{- 2}
⇒ 3a - 5 = - 2
⇒ 3a = - 2 + 5
⇒ 3a = 3
⇒ a = 3/3
∴ a = 1 

আম পাওয়ার অনুপাত= 1/3 : 1/5 : 1/9
= 15:9:5 [সকল পক্ষকে 45 দ্বারা গুণ করে]
এখন, রাশিগুলোর যোগফল 29।
অতএব, প্রথম ভাই পাবে = 261 × 15/29 = 135
দ্বিতীয় ভাই পাবে = 261 × 9/29 = 81টি,
এবং তৃতীয় ভাই পাবে 261 × 5/29 = 45টি।

প্রশ্ন: যদি f(x) = 5 - 2x এবং f(3k) = f(k + 1) হয়, তবে f(k) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(3k) = f(k + 1) 
এবং f(x) = 5 - 2x

∴ f(3k) = 5 - 2(3k) 
= 5 - 6k

∴ f(k + 1) = 5 - 2(k + 1)
= 5 - 2k - 2
= 3 - 2k

প্রশ্নমতে,
5 - 6k = 3 - 2k
⇒ 6k - 2k = 5 - 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = 2/4
⇒ k = 1/2

∴ f(k) = 5 - 2(1/2)
= 5 - 1
= 4

৬ টি অঙ্কই ভিন্ন ভিন্ন এজন্য এদেরকে সাজালে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা হয়।
৬ টি জিনিসের মধ্যে ৩ টি কে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 6P₃ = 6!/(6 - 3)!
= 6!/3! = 6.5.4 = 120

প্রশ্ন: যদি x + y = √11 এবং x - y = √3 হয়, তবে 8xy(x² + y²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = √11 এবং x - y = √3
প্রদত্ত রাশি = 8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²} × {(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²} × {(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

-2x-3 > -7
বা, -(2x +3) > -7
বা, 2x + 3 < 7
বা, 2x < 4
বা, x < 2
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান সেট = {x∈R : x < 2}

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে এর অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
ধরি, ভূমি = লম্ব = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ অতিভুজ^২ = a^২ + a^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২a^২
⇒ অতিভুজ = √(২a^২)
⇒ অতিভুজ = a√২
∴ অতিভুজ = √২ × লম্ব

অর্থাৎ, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান যথাক্রমে x, (2x/3) ও (x/3)। ক্ষুদ্রতম কোণের মান রেডিয়ান এককে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে,
x, (2x/3) ও (x/3)

এখন,
x + (2x/3) + (x/3) = 180°
⇒ (3x + 2x + x)/3 = 180°
⇒ 6x/3 = 180°
⇒ 2x = 180°
⇒ x = 180°/2
∴ x = 90°

সুতরাং তিনটি কোণের মান হবে যথাক্রমে,
x = 90°
2x/3 = (2 × 90°)/3 = 60°
এবং x/3 = 90°/3 = 30°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 30°

আমরা জানি,
1° = π/180 রেডিয়ান
∴ 30° = 30° × (π/180) রেডিয়ান
= π/6 রেডিয়ান

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = π/6 রেডিয়ান

প্রশ্ন: x² + 5x + 6-এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 5x + 6
= x² + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)