গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেন্টিমিটার এবং ভূমি 10 সেন্টিমিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 13 সেন্টিমিটার
এবং ভূমি, b = 10 সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (10/4) × √{(4 × 13²) - 10²}
= (10/4) × √{(4 × 169) - 100}
= (10/4) × √(676 - 100)
= (10/4) × √576
= (10/4) × 24
= (5/2) × 24
= 5 × 12
= 60 বর্গ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2}  [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

এখানে A = {1,2} এবং B = {2,5}
সুতরাং P(A) = {{1}, {2}, {1,2}, { }}
এবং P(B) = {{2}, {5}, {2,5}, { }}
সুতরাং ‌P(A)∩P(B) = {{ }, {2}}.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি [1/(x - 7)(x - 9)] < 0 অসমতাটির সমাধান?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা:
1 / (x − 7)(x − 9) < 0

প্রশ্ন: rsinθ = 2 এবং rcosθ = 2√3 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 2 .......... (1)
rcosθ = 2√3 .......... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (2)² + (2√3)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 4 + (4 × 3)
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = 4 + 12
⇒ r²(1) = 16 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 16
⇒ r = √16
⇒ r = 4

∴ r এর মান 4

প্রশ্ন: Q সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 127 হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 127
⇒ 2ⁿ = 127 + 1
⇒ 2ⁿ = 128
⇒ 2ⁿ = 27
∴ n = 7

∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 7

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা, 
১০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা, 
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা, 
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬)/১ মিনিটে
= ৬ মিনিটে

প্রশ্ন: তিন অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান: 
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০

তাদের বিয়োগফল = ৯৯৯ - ১০০ = ৮৯৯

∴ পার্থক্য = ৮৯৯

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, (x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2 
⇒ (x + 1/x)² = 2²
⇒ x² + 1/x² + 2.x.1/x = 4 [বর্গ করে] 
⇒ x² + 1/x² = 4 - 2
⇒ x² + 1/x² = 2 ......(1)
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².1/x² = 4 [আবার বর্গ করে]
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 4 - 2
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 2 .....(2)

∴ প্রদত্ত রাশি, 
(x² + 1/x²)(x⁴ + 1/x⁴) = (2)(2) = 4

{x² - (1/x²)}²
= {x² + (1/x²)}^{2 -} 4 . x . (1/x)
= 3² - 4
= 5
∴ {x² - (1/x²)} = √5
সুতরাং, {x² - (1/x²)}³ = 5√5

ধরি, সংখ্যাটি ক
ক/৩ – ক/৪ = ৫
বা, ক/১২ = ৫
বা, ক = ৬০

প্রশ্ন: 100 মিটার একটি ট্রেন ঘণ্টায় 18 কি.মি বেগে চলে, রাস্তার পাশে দাড়িয়ে থাকা একটি ব্যাক্তিকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 100 মি
গতি = 18 কি.মি/ঘণ্টা 
= 18 × (1000/3600) = 5 মি/সে 

আমরা জানি,
 দূরত্ব = গতি × সময় 
∴ সময় = দূরত্ব​/গতি = 100/5 = 20 সেকেন্ড 

অতএব, ট্রেনটি ব্যক্তিকে অতিক্রম করতে 20 সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: 2x - 3y + 4 = 0 সরলরেখাটির ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
2x - 3y + 4 = 0
বা, 3y = 2x + 4
বা, y = (2/3)x + 4/3

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2/3
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল 2/3 

প্রশ্ন: যদি tan A = 5/12 হয়, তাহলে cos A এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tan A = লম্ব/ভূমি = 5/12
অর্থাৎ, লম্ব = 5, ভূমি = 12

পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই,
​∴ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
​= (5² + 12²) 
​= (25 + 144) 
∴ অতিভুজ ​= √169 = 13

এখন,
cos A = ভূমি/অতিভুজ 
​= 12/13

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹/4^x = 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4    [4¹ = 4]

মনে করি, 4^x = y
সুতরাং,
y + 4/y = 4
⇒ (y² + 4)/y = 4 
⇒ y² + 4 = 4y
⇒ y² - 4y + 4 = 0
⇒ y² - 2.y.2 + 2² = 0
⇒ (y - 2)² = 0
⇒ y - 2 = 0
⇒ y = 2
⇒ 4^x = 2            [y = 4x  বসিয়ে]
⇒ (2²)^x = 2¹      [2¹ = 2]
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৭৫ জন ইংরেজিতে পাস করেছে। ইংরেজিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৫৫ জন হলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ইংরেজিতে ফেল করে = (১০০ - ৭৫) জন  
= ২৫ জন 

এখন, 
২৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/২৫ জন 
∴ ৫৫ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ × ৫৫)/২৫ জন 
= ২২০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ২২০ জন।

পূর্ব রাশি : উত্তর রাশি
= ৫ : ৭

∴ প্রশ্নমতে,
x/৫ = ৯১/৭
বা, ৭x = ৫ × ৯১
বা, x = ৬৫

∴ রাশি দুটির যোগফল = ৬৫ + ৯১ = ১৫৬।

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ২ টি করে কমলা কিনে ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে p% লাভ হবে? 

সমাধান: 
p% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p) টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p)/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = {(১০০ + p) × ৫}/১০০ টাকা 
= (১০০ + p)/২০ টাকা 

(১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কমলা 
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (২ × ২০)/(১০০ + p) টি কমলা 
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = {(২ × ২০) × ৩৫}/(১০০ + p) টি কমলা 
= (২ × ২০ × ৩৫)/(১০০ + p) টি কমলা 
= ১৪০০/(১০০ + p) টি কমলা

প্রশ্ন: s + 1/s = 2 হলে s⁵ - 1/s⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
s + 1/s = 2
বা, s² + 1 = 2s
বা, s² - 2s + 1 = 0
বা, (s - 1)² = 0
বা, s - 1 = 0
∴ s = 1

∴ ‍s⁵ - 1/s⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

ধরি সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
৬ + ৮ + ১০ = ৭ + ৯ + ক
বা, ২৪ = ১৬ + ক
বা, ক = ৮

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12 
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0) 

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = ?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2².2^{n - 2}
= 5.2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5.2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ (5 - 1)
= 2ⁿ . 4
= 2ⁿ . 2²
= 2^{n + 2}

প্রশ্ন: x² − 1 − y(y − 2) এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
x² − 1 − y(y − 2)
= x² − 1 − y² + 2y 
= x² − (y² − 2y + 1) 
= x² − (y − 1)²
= (x + y − 1) (x − y + 1)

ধরি,
মইয়ের ভূমি সংলগ্ন প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব x মি.

মইটি দেয়ালের সাথে সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে,
৪² + x² = ৫²
বা, ১৬ + x² = ২৫
বা, x² = 9
বা, x = 3

মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব ৩ মি.

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তাহলে (a³ + b³ + c³ )² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 0

আমরা জানি, 
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc

প্রদত্ত রাশি, 
(a³ + b³ + c³)² = (3abc)² = 9a²b²c²

প্রশ্ন: রাহিমের বয়স করিমের বয়সের দ্বিগুণ। ১০ বছর পরে রাহিমের বয়স হবে করিমের বয়সের ১.৫ গুণ। করিমের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্তমানে রাহিমের বয়স = করিমের বয়সের দ্বিগুণ
১০ বছর পরে রাহিমের বয়স = করিমের বয়সের ১.৫ = ৩/২ গুণ

ধরি, বর্তমানে করিমের বয়স = ক বছর
রাহিমের বয়স = ২ক বছর

এবং ১০ বছর পরে, করিমের বয়স = ক + ১০
এবং রাহিমের বয়স = ২ক + ১০

প্রশ্নমতে, 
(২ক + ১০) = (৩/২) × (ক + ১০)
⇒ ৪ক + ২০ = ৩ক + ৩০ 
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩০ - ২০ 
∴ ক = ১০ 

∴ করিমের বর্তমান বয়স ১০ বছর। 

এখানে ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r =৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-১)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ২
বা, (১/২)^(n-১) = ২/১২৮
বা, (১/২)^(n-১) = ১/৬৪
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৬
বা, n - ১ = ৬
বা, n = ৬ + ১
বা, n = ৭

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য 132° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - 2) × 180°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = 360°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = 132°
বা, {(n - 2) × 180°/n} - (360°/n) = 132°
বা, {(n - 2) × 180° - 360°}/n = 132°
বা, 180°n - 360° - 360° = 132°n
বা, 180°n - 720° = 132°n
বা, 180°n - 132°n = 720°
বা, 48°n = 720°
বা, n = 720°/48°
বা, n = 15

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা 15, এটি একটি পঞ্চদশভুজ (Pentadecagon)।

নিশ্চায়ক = (-a)² - 4.2.1 = 0
বা, a² = 8
∴ a = ±2√2

প্রশ্ন: টিটুর আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০ : ১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
ধরি, 
টিটুর আয় = ২০x টাকা 
টিটুর ব্যয় = ১৫x টাকা
∴ টিটুর সঞ্চয় = (২০x - ১৫x) টাকা 
= ৫x টাকা 

∴ শতকরা মাসিক সঞ্চয় = {(৫x/২০x) × ১০০}% 
= ২৫% 

∴ তার মাসিক সঞ্চয় =  ২৫%।

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x - 9 > 3x + 1

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 9 > 3x + 1
⇒ x - 9 + 9 > 3x + 1 + 9
⇒ x > 3x + 10
⇒ x - 3x > 3x + 10 - 3x
⇒ - 2x > 10
⇒ (- 2x)/(- 2) < 10/(- 2) ; [উভয়পক্ষকে - 2 দ্বারা ভাগ করায় অসমতার দিক পাল্টে গেছে]
∴ x < - 5

∴ নির্ণেয় সমাধান x < - 5