গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x³ - 3x², x² - 9, xy - 3y রাশিগুলোর গ.সা.গু. (H.C.F) কত? 

সমাধান:
১ম রাশি = x³ - 3x² 
= x²(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3² 
= (x + 3)(x - 3)

৩য় রাশি = xy - 3y
= y(x - 3)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 3)

প্রশ্ন: যদি x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z) হয়, তাহলে (x + y + z) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + y² + z² + 3 = 2(x + y + z)
⇒ x² + y² + z² + 3 = 2x + 2y + 2z
⇒ (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 0
⇒ (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1 
একইভাবে, y = 1, z = 1

প্রদত্ত রাশি, 
x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3
∴ x + y + z = 3

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 2x + 4y - 5 = 0 এবং 3x + ay - 9 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

প্রথম সরলরেখা, 2x + 4y - 5 = 0
⇒ 4y = - 2x + 5
⇒ y = (- 2/4)x + (5/4)
⇒ y = (- 1/2)x + (5/4)
∴ ঢাল m₁ = - 1/2  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

দ্বিতীয় সরলরেখা, 3x + ay - 9 = 0
⇒ ay = - 3x + 9
⇒ y = (- 3/a)x + 9/a ; (যদি a ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = - 3/a  [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 1/2 = - 3/a
⇒ 1/2 = 3/a
⇒ a = 2 × 3
∴ a = 6

সুতরাং, a-এর মান 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।

এখানে,
x - 2y = 5
বা, x = 2y + 5
আবার,
xy = 3
বা, (2y + 5)y = 3
বা, 2y² + 5y - 3 = 0
বা, 2y² + 6y - y - 3 = 0
বা, 2y(y + 3) - 1(y + 3) = 0
বা, (y + 3)(2y - 1) = 0
হয়,
y + 3 = 0
∴ y = -3
অথবা,
2y - 1 = 0
বা, 2y = 1
∴ y = 1/2
∴ y = -3, 1/2

3×1+1×2 = 3+2 = 5
5×2+2×3 = 10+6 = 16
18×3+3×4 = 48+12 = 60
60×4+4×5 = 240+20 = 260
260×5+5×6 = 1300+30 = 1330

4a = 2 × 2 × a
6a = 2 × 3 × a
সুতরাং, 4a ও 6a এর গ.সা.গু = 2a।

3^-3
= 1/3³
= 1/27

প্রশ্ন: তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার। এগুলোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটলে একেকটি তক্তার সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: অমূলদ সংখ্যা কোনটি?

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যার দশমিক অংশ অনন্ত ও অপরাবর্তক।

এখানে, 
√49 = 7 ⇒ মূলদ সংখ্যা
√7 ⇒ পূর্ণবর্গ নয়, তাই অমূলদ সংখ্যা 
√(8/18) = √(4/9) = 2/3 ⇒ মূলদ সংখ্যা
0.5 = 1/2 ⇒ মূলদ সংখ্যা

∴ অমূলদ সংখ্যা √7 

প্রশ্ন: তানভীর এপ্রিল মাসে দৈনিক গড়ে ৩২০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ২০ দিন সে গড়ে প্রতিদিন ১৮০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন ২০০০ টাকা করে খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
এপ্রিল মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = ৩২০০ × ৩০
= ৯৬০০০ টাকা

প্রথম ২০ দিনের খরচ = ২০ × ১৮০০
= ৩৬০০০ টাকা

পরবর্তী ১০ দিনের খরচ = ১০ × ২০০০
= ২০০০০ টাকা

সর্বমোট খরচ = ৩৬০০০ + ২০০০০
= ৫৬০০০ টাকা

∴ সঞ্চয় = ৯৬০০০ − ৫৬০০০
= ৪০০০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৯৬০০০ : ৪০০০০
= ৯৬ : ৪০
= ১২ : ৫

প্রশ্ন: n(A) = 40, n(A ∩ B) = 10 এবং n(A ∪ B) = 50 হলে n(B) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,
n(A) = 40,
n(A ∩ B) = 10
এবং n(A ∪ B) = 50

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 50 = 40 + n(B) - 10
⇒ 50 = n(B) + 30
⇒ n(B) = 50 - 30
⇒ n(B) = 20

প্রশ্ন: x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 এর উৎপাদক- 

সমাধান: 
x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8
= x² - 4xy + 4y²- 2x + 4y - 8 
= (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8
=  (x - 2y)² - 4(x - 2y) + 2(x - 2y) - 8
= (x - 2y) (x - 2y - 4) + 2 (x - 2y - 4)
= (x - 2y + 2) (x - 2y - 4)

প্রশ্ন: একটি ট্রেন একটি খুঁটি অতিক্রম করতে ২০ সেকেন্ড এবং একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ৫০ সেকেন্ড সময় নেয়। প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = x মি.
এবং প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য  = y মি.

শর্তমতে,
x/২০ = (x + y)/৫০
⇒ x/২ = (x + y)/৫
⇒ ৫x = ২x + ২y
⇒ ৩x = ২y
⇒ y/x = ৩/২
∴ y : x = ৩ : ২

সুতরাং, প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য : ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৩ : ২

R= 2r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের---
পরিধি = 2πR = 2π×2r = 4πr
ব্যাস = 2R= 2 × 2r = 4r
এবং ক্ষেত্রফল = πR² = π×(2r)² = 4πr²

প্রশ্ন: কোন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ সে:মি: এবং প্রস্থ ৫ সে:মি:। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২ সে.মি. (বৃহত্তর বাহু),
প্রস্থ = ৫ সেমি।

এই আয়তক্ষেত্রকে বৃহত্তর বাহু (১২ সেমি)-কে অক্ষ হিসেবে ৩৬০° ঘোরালে যে ঘনবস্তু তৈরি হয় তা হলো সিলিন্ডার।
এখন,
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.

মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = বক্রপৃষ্ঠ + ২টি বৃত্তাকার সমতল পৃষ্ঠ
= 2πr(h + r)
= ২ × π × ৫ × (১২ + ৫)
= ১০π × ১৭
= ১৭০π বর্গ সে.মি.
= ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, উৎপন্ন ঘনবস্তুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হলো ৫৩৪.০৭ বর্গ সে.মি.

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
 চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)°
                    = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ সে.মি ও ২ সে.মি এবং এদের লম্ব দূরত্ব ২ সে.মি। পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
পাতটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির তাই- 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব 
= ১/২ × (৫ + ২) × ২ 
= ৭ বর্গ সে.মি.

∴ পাতটির ক্ষেত্রফল = ৭ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 25° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
তাহলে বৃহত্তম কোণ = (x + 25)°

প্রশ্নমতে,
x° + (x + 25)° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 25° + 90° = 180°
⇒ 2x° + 115° = 180°
⇒ 2x° = 180° - 115° = 65°
⇒ x° = 65°/2
x = 32.5°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 32.5°

দেওয়া আছে, 8x + 4 = 48
বা, 4(2x + 1) = 48
বা, (2x + 1) = 48/4
বা, (2x + 1) = 12

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ১০ সে.মি. হলে,  সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৩(৩ + ১০)
= ২π × ৩৯
= ৭৮π বর্গ সে.মি.

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ১১টি সংখ্যার যোগফল = ৩৯৬

প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫
∴ এদের সমষ্টি = (২৮.৫ × ৬) = ১৭১

শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫
∴ এদের সমষ্টি = (৪৩.৫ × ৬) = ২৬১

এখানে, মোট ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৬১ + ১৭১) = ৪৩২

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = (৪৩২ - ৩৯৬) = ৩৬

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন
​
১ম ক্ষেত্রে, 
4 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে = x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি 

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে = 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে = (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

প্রশ্নমতে, 
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 9 তম পদ 58 হলে, এর প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
9 তম পদ = 58 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 9 তম পদ = a + (9 - 1)d
= a + 8d

শর্তমতে, 
a + 8d = 58 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (17 - 1)d} 
= (17/2)(2a + 16d) 
= (17/2) × {2(a + 8d)}
= (17/2) × 2 × 58 [∴ a + 8d = 58]
= 17 × 58
= 986

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = 986.

সমাধান:

৫২টি তাসের মধ্যে মোট টেক্কা আছে ৪টি
সুতরাং, প্রথম সুযোগে টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৪/৫২
পরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ৩/৫১
এরপরে একটি টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ২/৫০
সর্বশেষ টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = ১/৪৯
পূরণ সূত্র অনুসারে ৪টি টেক্কা ধারাবাহিকভাবে পাওয়ার সম্ভাব্যতা=
৪/৫২X৩/৫১X২/৫০X১/৪৯ = ১/২৭০৭২৫ [ক্যালকুলেটরের প্রয়োজন নেই যেহেতু উত্তরে 'কোনটিই নয় এই অপশন আছে']

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৭ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৭ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৪ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৭ - ৪) সে. মি.
= ৩ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৩ সে. মি.

9a⁴ - 34a²x² + 25x⁴
= 9a⁴ -9a²x² - 25a²x² + 25x⁴
= 9a²( a² - x²) - 25x²( a² - x²)
= (9a² - 25x²)( a² - x²)
= (3a + 5x) (3a – 5x) (a + x)(a - x)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১৪ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y
প্রশ্নমতে,
x − y = ১৪ ……………(1)
এবং
x + y = ৫(x − y)
⇒ x + y = ৫×১৪ [সমীকরণ (1) থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৭০ ……………(2)

এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করলে পাই,
(x − y) + (x + y) = ১৪ + ৭০
⇒ ২x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/২
⇒ x = ৪২

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৪২ + y = ৭০
⇒ y = ৭০ − ৪২
⇒ y = ২৮

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ৪২ এবং ২৮

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের তিনগুণ। এর ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
সুতরাং, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × বিস্তার
⇒ 3x × x = 108
⇒3x² = 108
⇒ x² = 108/3
⇒ x² = 36
⇒ x = √36
∴ x = 6

∴ বিস্তার = 6 মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = 3 × 6 = 18 মিটার

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= 2 × (18 + 6) মিটার
= 2 × 24 মিটার
= 48 মিটার

∴ ঘরের পরিসীমা = 48 মিটার

প্রশ্ন: যদি মাসের ৫ম দিন বৃহস্পতিবার হয়, তাহলে মাসের ২৬তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
মাসের ৫ম দিন বৃহস্পতিবার হলে, 
৫ + ৭ = ১২ = বৃহস্পতিবার
১২ + ৭ = ১৯ = বৃহস্পতিবার
১৯ + ৭ = ২৬ = বৃহস্পতিবার

সুতরাং, মাসের ২৬তম দিন হবে বৃহস্পতিবার। 

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৮ হলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
এখানে ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮ টাকা।
∴ লাভ = (৮ - ৫) টাকা 
= ৩ টাকা 

∴ শতকরা লাভ হবে = (লাভ × ১০০)/ক্রয়মূল্য
= (৩ × ১০০)/৫
= ৩ × ২০
= ৬০ টাকা

∴ শতকরা ৬০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 9 এবং তাদের ল.সা.গু 189। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 7x এবং 9x.
∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x
এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল = 63x²

আমরা জানি,
দুইটির গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
63x² = 189 × x
63x = 189
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3 × 7 = 21 এবং 3 × 9 = 27

ধরি, a = 7, b = 4 এবং c = 5
ac = 35 এবং bc = 20
∴ ac > bc

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5log₂2 + 3log₂2 [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (3 × 1) [∵ log_aa = 1]
= 5 + 3
= 8

log₄X = 1/2
বা, X = 4^1/2
= √4
= 2

প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ এর মধ্যবিন্দু X, PR এর মধ্যবিন্দু Y এবং QR = 18 cm হলে, XY = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
PQR ত্রিভুজে-
X = PQ এর মধ্যবিন্দু
Y = PR এর মধ্যবিন্দু
এবং, QR = 18 cm

আমরা জানি, 
একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগ করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয় এবং তার দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়।

∴ XY রেখাখণ্ডটি PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বারা গঠিত।
∴ XY || QR এবং
∴ XY = QR/2 = 18/2 = 9 cm

ধরি, m বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
1/(x - y) + 1/(x + y) - m = 2
বা, m = 1/(x - y) + 1/(x + y) - 2
বা, m = (x + y + x - y)/(x² - y²) - 2
বা, m = 2x/(x²−y²)−2

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... সমান্তর ধারাটির n তম পদটি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4
∴ ধারাটির n তম পদ = {a + (n - 1)d}
= {3 + {n - 1} × 4}
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন:

সমাধান: