গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি বস্তুর নিদিষ্ট মূল্যের উপর 20% দাম বাড়িয়ে লেখেন এবং ক্রেতাকে তারপর 20% ছাড় দেন। মোটের উপর শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো? 

সমাধান:
ধরি, বস্তুর মূল মূল্য (ক্রয়মূল্য) = 100 টাকা

20% দাম বাড়ানো হলে, 
∴ বর্ধিত মূল্য = 100 + 20% এর 100 = 100 + 20 = 120 টাকা

আবার, 
20% ছাড় দেওয়া হলে, 
∴ ছাড় = 20% এর 120 = (20/100) × 120 = 24 

∴ বিক্রয়মূল্য = 120 - 24 = 96 টাকা

∴ ক্ষতি = মূল মূল্য - বিক্রয়মূল্য = 100 - 96 = 4 টাকা

∴শতকরা ক্ষতি = (4/100) × 100 = 4%

বর্গ ও আয়তক্ষেত্র বের করার জন্য প্রথমেই এর চতুর্ভুজ বের করে নিতে হবে। চতুর্ভুজ বের করার নিয়ম - উপরের সারির পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি। এখানে ১ ও ২ এর ঘনের সমষ্টি = ১^৩ + ২^৩ = ৯।
সুতরাং, এখানে ৯ টি চতুর্ভুজ রয়েছে।
এখন বর্গক্ষেত্র বের করতে হবে এবং এর নিয়ম উপরের সারির পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি।
অর্থ্যাৎ, ১^২ + ২^২ = ৫।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্র রয়েছে, ৫টি।
আয়তক্ষেত্র বের করার জন্য মোট চতুর্ভুজ থেকে বর্গক্ষেত্র বাদ দিতে হবে। সুতরাং, উক্ত চিত্রে (৯ - ৫) = ৪টি আয়তক্ষেত্র রয়েছে।

প্রশ্ন: p√3 + p√3 এর বর্গ কত?

সমাধান:

p√3 + p√3
= 2p√3

এখন বর্গ করে পাই-
= (2p√3)²
= (2√3p)²
= 12p²
∴ p√3 + p√3 এর বর্গ =  12p²

মেশিন চারটি এক ঘন্টায় যথাক্রমে কাজ করতে পারে ১/৩, ১/৪,১/৫ এবং ১/৬ অংশ।
এখানে বেশি ক্ষমতাসম্পন্ন মেশিন হলো প্রথম দুইটি মেশিন।
এরা একত্রে এক ঘন্টায় সর্বোচ্চ কাজ করতে পারে (১/৩+১/৪)=৭/১২ অংশ।

2^-1 - 3^-1
= 1/2 - 1/3
= (3 - 2) /6
= 1/6
∴ (2^-1 - 3^-1)^-2
= (1/6)^-2
= (6^-1)^-2
= 6²
= 36

4x⁴ + 1
= (2x²)² + 1
= (2x² + 1)² - 2.2x².1
= (2x² + 1)² - (2x)²
= (2x² + 2x + 1) (2x² - 2x + 1)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে, তার বিপরীত কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
প্রতিটি সংখ্যা:
2√243 = 2√3⁵ = 2 × 3²√3 =18√3 → অমূলদ সংখ্যা 
3√343 = 3√7³ = 3 × 7√7 = 21√73→ অমূলদ সংখ্যা 
3√392 = 3√(8 × 49) = 3√(8 × 7²) = 3 × 7√8 = 21√8 = 42√2→ অমূলদ সংখ্যা 
3√676 = 3√26² = 3 × 26 = 78 → পূর্ণ সংখ্যা → মূলদ

∴ মূলদ সংখ্যা = ৩√৬৭৬

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬ হলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ৫ : ৬

ক্রয়মূল্য = ৫ক টাকা 
বিক্রয়মূল্য = ৬ক টাকা

লাভ = ৬ক - ৫ক = ক টাকা

৫ক টাকায় লাভ হয় ক টাকা
১ টাকায় লাভ হয় ক/৫ক টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (ক × ১০০)/৫ক টাকা
= ২০ টাকা

এখানে, ২ টির ক্রয়মূল্য = (১/১০ + ১/১৫) টাকা
= (৩ + ২) / ৩০
= ১/৬ টাকা
আবার, ১২ টির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ২ টি কলার বিক্রয়মূল্য ১/৬ টাকা।
যেহেতু, ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান, সুতরাং লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে? 

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ 
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১ 
এখানে, 
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩৫০ টাকায় বিক্রয় করলে যত ক্ষতি হয়, ৪৪০ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
৩৫০ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় "ক" টাকা।
তাহলে ক্রয়মূল্য = (৩৫০ + ক) টাকা

আবার ৪৪০ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় = ২ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৪৪০ - ২ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৩৫০ + ক = ৪৪০ - ২ক
⇒ ক + ২ক = ৪৪০ - ৩৫০
⇒ ৩ক = ৯০
∴ ক = ৩০

∴ ক্রয়মূল্য = ৩৫০ + ৩০ = ৩৮০ টাকা।

প্রশ্ন: 4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a)
বা, 8 - 4a ≥ 10 - 6a
বা, 8 - 4a + 6a ≥ 10 - 6a + 6a
বা, 8 + 2a ≥ 10
বা, 8 + 2a - 8 ≥ 10 - 8
বা, 2a ≥ 2
∴ a ≥ 1

∴ সমাধান সেট = {a ∈ R: a ≥ 1}

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৩২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ = ১৩২/৩ = ৪৪ 
ভাগশেষ = ভাজকের অর্ধেক = ৪৪/২ = ২২ 

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (৪৪ × ১৩২) + ২২ 
= ৫৮০৮ + ২২ 
= ৫৮৩০

প্রশ্ন: 'ENGLAND' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'PANAMA' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ENGLAND শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে N = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার, PANAMA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4 = 120

∴ ENGLAND শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PANAMA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

নৌকার বেগ x ও স্রোতের বেগ y হলে,
x + y = 15
x - y = 5
∴ 2y = 10 (বিয়োগ করে)
y = 5

প্রশ্ন: তিনজন ভদ্রলোক এবং তিনজন ভদ্রমহিলা দুটি শূন্যপদের জন্য প্রার্থী। একজন ভোটারকে দুজন প্রার্থীর জন্য ভোট দিতে হবে। তাহলে একজন ভোটার কতভাবে ভোট দিতে পারে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভদ্রলোক (পুরুষ) = ৩ জন
ভদ্রমহিলা (মহিলা) = ৩ জন
মোট প্রার্থী = ৬ জন
ভোট দিতে হবে = ২ জন প্রার্থীকে

মোট উপায় = ^৬C_২ 
= ৬!/২!(৬ - ২)!
= (৬ × ৫ × ৪!) /(২ × ৪!) 
= ১৫ 

অর্থাৎ, একজন ভোটার ১৫ উপায়ে ভোট দিতে পারবে। 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক 5। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির 5 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক 5

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ সংখ্যাটি = 10x + 5

প্রশ্নমতে,
x + 5 = (10x + 5)/5
⇒ 5(x + 5) = 10x + 5
⇒ 5x + 25 = 10x + 5
⇒ 10x - 5x = 25 - 5
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5 
⇒ x = 4

∴ সংখ্যাটি = (10 × 4) + 5 = 45

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৬৪π বর্গমিটার, পরিধি ১৬π মিটার, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ 

শর্তমতে,
২πr = ১৬π মিটার 
πr^২ = ৬৪π বর্গমিটার‌।

এখন,
πr²/২πr = ৬৪π/১৬π
বা, r/২ = ৪ 
∴ r = ৮

∴ বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৮ = ১৬ মিটার

৩ × ২ + ১ = ৭
৭ × ২ + ১ = ১৫
১৫ × ২ + ১ = ৩১
৩১ × ২ + ১ = ৬৩
৬৩ × ২ + ১ = ১২৭

প্রশ্ন: x² + x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
সমীকরণটি = x² + x - 6
মিডিলটার্ম করে পাই = x² + 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3) 
= (x - 2)(x + 3)

∴ উৎপাদক = (x + 3)(x - 2)

প্রশ্ন: (2, 3) এবং (4, 9) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত? 

সমাধান:
বিন্দু দুইটি  (x₁, y₁) = (2, 3)
 এবং (x₂, y₂) = (4, 9)

আমরা জানি, 
সরলরেখার ঢাল m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (9 - 3)/(4 - 2)
= 6/2
= 3

প্রশ্ন: ২/৫ এবং ৩/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
∴ লব ২ ও ৩ এর ল.সা.গু = ৬
হর ৫ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ২/৫ এবং ৩/৭ এর ল.সা.গু = ৬/১
= ৬ । 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৪.৫% হার সরল সুদে ৪৫০ টাকার সুদ ৮১ টাকা হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪৫০ টাকা
সুদের হার, r = ৪.৫%
সুদ, I = ৮১ টাকা
সময়, n = ? বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = (মূলধন × হার × সময়)/১০০
⇒ ৮১ = (৪৫০ × ৪.৫ × n)/১০০
⇒ ৮১ = (২০২৫ × n)/১০০
⇒ ৮১ × ১০০ = ২০২৫ × n
⇒ n = ৮১০০/২০২৫
∴ n = ৪ বছর

সুতরাং, বার্ষিক ৪.৫% হার সরল সুদে ৪৫০ টাকার সুদ ৮১ টাকা হতে ৪ বছর সময় লাগবে। 

৩ টি তাস দৈবভাবে নেওয়া হলো কমপক্ষে ১ টি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = P(১ টি রাজা ও ২টি অন্য তাস) + P(২টি রাজা ও ১ টা অন্য তাস) + P(৩টি রাজা)
=(^৪C_১×^৪৮C_২)/^৫২C_৩ + (^৪C_২×^৪৮C_১)/^৫২C_৩ + ^৪C_৩/^৫২C_৩
= ১২০১/৫৫২৫