লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি

মোট প্রশ্ন৪৭,৮৩৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৩৩ / ৪৭৫ · ১৩,২০১–১৩,৩০০ / ৪৭,৮৩৩

১৩,২০১.
x = √3 + √2 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    3√2
  2. খ
    18√3
  3. গ
    12√3
  4. ঘ
    ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x3 + 1/x3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
1/x = 1/(√3 + √2)
1/x = (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
1/x = (√3 - √2)/ (3 - 2)
1/x = (√3 - √2)

এখন,
x3 + 1/x3
= (x + 1/x))3 - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√3 + √2 + √3 - √2)3 - 3(√3 + √2 + √3 - √2)
= (2√3)3 - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3 
১৩,২০২.
a2 - b2 = 45 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    40
  2. খ
    45
  3. গ
    54
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - b2 = 45 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 - b2 = 45
⇒ (a + b)(a - b) = 45
⇒ (a + b) · 3 = 45
⇒ (a + b) = 45/3
∴ a + b = 15

 প্রদত্ত রাশি, ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (152 - 32)/4
= (225 - 9)/4
= 54
১৩,২০৩.
একটি সংখ্যা ৬২ থেকে যত বেশি ৮৮ হতে তত কম। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৭০
  2. খ
    খ) ৭২
  3. গ
    গ) ৬৯
  4. ঘ
    ঘ) ৭৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬২ থেকে যত বেশি ৮৮ হতে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
ক - ৬২ = ৮৮ - ক 
বা, ক + ক = ৮৮ + ৬২
বা, ২ক = ১৫০
∴ ক = ৭৫
১৩,২০৪.
শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা হবে? 
  1. ক
    ৫% 
  2. খ
    ৮% 
  3. গ
    ১০% 
  4. ঘ
    ২০% 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফায় ৩০০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা হবে? 

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৩০০০ টাকা
মুনাফা, I = ১৫০০ টাকা 
মুনাফার হার, r = r/১০০  
সময়, n = ৫ বছর 

আমরা জানি, 
I = Pnr/১০০
বা, r/১০০ = I/Pn 
বা, r/১০০ = ১৫০০/(৩০০০ × ৫) 
বা, r = (১৫০০ × ১০০)/(৩০০০ × ৫)
বা, r = ১৫০০০০/১৫০০০ 
∴ r = ১০ 

∴ মুনাফার হার = ১০% । 

১৩,২০৫.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে, তাদের গ. সা. গু কত?
  1. ক
    ক) ৯
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে, তাদের গ. সা. গু কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৫ক  এবং
অপর সংখ্যাটি ৭ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩৫ক

শর্তমতে, 
৩৫ক = ২১০
ক = ২১০/৩৫ 
ক = ৬

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৬
১৩,২০৬.
2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে y এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + y = 5 এবং x - y = 1 হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
2x + y = 5 …….(i)
x - y = 1 …….(ii)

(ii) হতে পাই,
x = 1 + y …….(iii)

এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(1 + y) + y = 5
বা, 2 + 2y + y = 5
বা, 2 + 3y = 5
বা, 3y = 5 - 2
বা, 3y = 3
বা, y = 3/3
∴ y = 1
১৩,২০৭.
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠DAB + ∠DCB = ?
  1. ক
    ক) 90°
  2. খ
    খ) 150°
  3. গ
    গ) 180°
  4. ঘ
    ঘ) 80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের  ∠DAB + ∠DCB = ?

সমাধান : 
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ = ১৮০°
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় একে অপরের সম্পূরক কোন 
 
উপরোক্ত চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে 
∠ABC এর বিপরীত কোণ ∠ADC
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∠DAB এর বিপরীত কোণ ∠DCB
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°

১৩,২০৮.
যদি 8/x = 4 এবং 2/y = 8 হয়, তবে x + y = কত? 
  1. ক
    7/4
  2. খ
    1/4
  3. গ
    9/4 
  4. ঘ
    3/4
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
8/x = 4 
4x = 8 
x = 8/4 
x = 2


2/y = 8
8y = 2
y = 2/8
y = 1/4 

x + y = 2 + (1/4)
        = (8 + 1)/4
         = 9/4
১৩,২০৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত একক?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ৩০
  3. গ
    গ) ২৪
  4. ঘ
    ঘ) ২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত একক? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের গুণফল 
বা, ১৪৪ = (১/২) × ১২ × অপর বাহু 
বা,  ১২ × অপর বাহু = ২৮৮ 
বা, অপর বাহু = ২৮৮/১২ 
∴ অপর বাহু = ২৪ একক 
১৩,২১০.
একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীর মধ্যে ২০ জন অকৃতকার্য এবং পাসের হার ৭৫% হলে, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৬০ জন
  2. খ
    ৮০ জন
  3. গ
    ১০০ জন
  4. ঘ
    ১২০ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীর মধ্যে ২০ জন অকৃতকার্য এবং পাসের হার ৭৫% হলে, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট শিক্ষার্থী = ক
পাস করেছে = ক এর ৭৫%
= ক × (৭৫/১০০) = ৭৫ক/১০০
= ৩ক/৪

অকৃতকার্য হয়েছে = ২০ জন

প্রশ্নমতে,
ক - (৩ক/৪) = ২০
বা, (৪ক - ৩ক)/৪ = ২০ 
বা, ক/৪ = ২০
বা, ক = ২০ × ৪
∴ ক = ৮০

∴ মোট শিক্ষার্থী ৮০ জন।

১৩,২১১.
৫২ খানা তাসের মধ্য হতে ১ টি তাস দৈবভাবে উঠানো হলো, তাসটি লাল টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ২/৫২
  2. খ
    খ) ১/২৬
  3. গ
    গ) ক ও খ
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা

লাল টেক্কা ২ টা
মোট তাস ৫২ টা
∴ লালা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৫২ = ১/২৬

১৩,২১২.
x এর মান কত হলে (x - 3)/3 এর মান শূন্য হবে?
  1. ক
    0
  2. খ
    3
  3. গ
    .3
  4. ঘ
    √3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (x - 3)/3 এর মান শূন্য হবে?

সমাধান:
এখন
(x - 3)/3 = 0
x - 3 = 0
x = 3
১৩,২১৩.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮ বর্গমিটার হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ১২ মিটার
  2. খ
    খ) ৯ মিটার
  3. গ
    গ) ৬ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ৩ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮ বর্গমিটার হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গের একবাহু = a
বর্গের ক্ষেত্রফল = a2

প্রশ্নমতে,
বর্গের ক্ষেত্রফল a2 = 18
                       a =√18      
                       a = √(9 × 2)
                        a = 3√2

কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × a
                   = √2 × 3√2
                     = 6 মিটার
১৩,২১৪.
১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে রেললাইনের পাশে থাকা একটি খুঁটি অতিক্রম করে। খুঁটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?
  1. ক
    ৬ সেকেন্ড 
  2. খ
    ৭ সেকেন্ড 
  3. গ
    ৯ সেকেন্ড 
  4. ঘ
    ১২ সেকেন্ড 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কি.মি. বেগে রেললাইনের পাশে থাকা একটি খুঁটি অতিক্রম করে। খুঁটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
খুঁটি অতিক্রম করলে ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করে। 

অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১৫০ মিটার 
দেওয়া আছে, 
ট্রেনের গতিবেগ = ৬০ কি.মি./ঘণ্টা = (৬০ × ১০০০)/(৬০ × ৬০) = (১০০/৬) মিটার/সেকেন্ড 

এখন,
ট্রেনটি ১০০/৬ মিটার অতিক্রম করে = ১ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার অতিক্রম করে = ৬/১০০ সেকেন্ডে
∴ ১৫০ মিটার অতিক্রম করে = (১৫০ × ৬)/১০০ = ৯ সেকেন্ডে 
১৩,২১৫.
কোনটি বড়?
  1. ক
    ক) ০.০৫
  2. খ
    খ) ০.৫
  3. গ
    গ) ০.২৫
  4. ঘ
    ঘ) ০.৫৫
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত দশমিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে 
০.৫৫ সবচেয়ে বড়।
১৩,২১৬.
(10x)0+10x0 এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

(10x)0+10x0 
=1+10×1
=11

১৩,২১৭.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২ সে.মি., ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
  1. ক
    ১ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ২ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ১/√২ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ১/২ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২ সে.মি., ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান = ক 

আবার,
২২ = ক২ + ক২
বা, ৪ = ২ক২
বা, ২ক২ = ৪
∴ ক = √২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) (√২) × (√২)
= (১/২) × ২
= ১ বর্গ সে.মি.
১৩,২১৮.
একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য ১০% বেশি হলে কত লাভ হবে?
  1. ক
    ক) ৯৫ টাকা
  2. খ
    খ) ১০০ টাকা
  3. গ
    গ) ১০৫ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ১১০ টাকা
ব্যাখ্যা

১০% লাভে, ৫০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (১১০×৫০০)/১০০
= ৫৫০ টাকা
১০% বেশিতে বিক্রয় মূল্য =  (১১০×৫৫০)/১০০
= ৬০৫ টাকা
∴ লাভ = ৬০৫ - ৫০০
= ১০৫ টাকা

১৩,২১৯.
একটি রম্বসের বড় কর্ণটি ৩০ সে.মি. এবং ছোট কর্ণটি বড় কর্ণের দুই তৃতীয়াংশের সমান। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ২৫০ বর্গ সে.মি.
  2. খ
    ৩০০ বর্গ সে.মি.
  3. গ
    ৩৫০ বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    ৪০০ বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের বড় কর্ণটি ৩০ সে.মি. এবং ছোট কর্ণটি বড় কর্ণের দুই তৃতীয়াংশের সমান। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বড় কর্ণটি = ৩০ সে.মি.
ছোট কর্ণটি = ৩০ × (২/৩) = ২০ সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ২০ × ৩০
= ৩০০ বর্গ সে.মি.
১৩,২২০.
চিত্রে ΔABC সমকোণী ত্রিভূজে Sin2A + Sin2B = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : চিত্রে ΔABC সমকোণী ত্রিভূজে Sin2A + Sin2B = ?
সমাধান :
ΔABC - এ,
C = 90°,
B = 90° - A
∴ Sin2A + Sin2B 
= Sin2A + Sin2(90° - A) 
= Sin2A + Cos2A 
= 1 
১৩,২২১.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ । ত্রিভুজটি হবে -
  1. ক
    ক) সমবাহু
  2. খ
    খ) সূক্ষকোণী
  3. গ
    গ) স্থুলকোণী
  4. ঘ
    ঘ) সমকোণী
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° সমকোণী ত্রিভুজের এক কোণ ৯০° এবং অন্য দুই কোণের সমষ্টি ৯০°। এখানে প্রথম দুই কোণের অনুপাতের সমষ্টি তৃতীয় কোণের অনুপাতের সমান। তাই ত্রিভুজটি সমকোণী।
১৩,২২২.
একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?
  1. ক
    320
  2. খ
    150
  3. গ
    120
  4. ঘ
    450
  5. ঙ
    130
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ ধারার প্রথম সংখ্যাটি = a এবং মোট সংখ্যা আছে = n টি।
এবং ২য় সংখ্যা হতে ১ম সংখ্যার পার্থক্য = d

এখন, 
৪র্থ পদ = a + 3d
এবং ১২তম পদ = a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 .......(1)

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারা n তম পদের যোগফল = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 15 টি পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2)  ×  (2a + 14d)
= (15/2)  ×  20 [1 নং হতে]
= 150

সুতরাং, প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল 150.

১৩,২২৩.
যদি logx(1/16)⁡ = - 2 হয়, তবে x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি logx(1/16)⁡=−2 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
logx 1/16 = 2
⇒ x - 2 = 1/16
⇒ 1/x2 = 1/16
⇒ x2 = 16
⇒ x = ± 4

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হওয়ায়, x = 4

১৩,২২৪.
যদি 8x + 4 = 64 হয়, তা হলে 2x + 1 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    13
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 8x + 4 = 64 হয়, তা হলে 2x + 1 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
8x + 4 = 64
বা, 8x = 64 - 4
বা, 8x = 60
বা, 8x/4 =60/4
বা, 2x = 15
বা, 2x + 1 = 15 + 1
∴ 2x + 1 = 16
১৩,২২৫.
একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে? 
  1. ক
    ৩৬০°
  2. খ
    ২১০°
  3. গ
    ৫৪০°
  4. ঘ
    ১৮০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা মিনিটে ৩০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি অতিক্রম করে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০ বার
১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে ৩০/৬০ বার
= ১/২ বার

আমরা জানি,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ১/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = {৩৬০° × (১/২)}°
= ১৮০°

১৩,২২৬.
x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) xz < yz
  2. খ
    খ) xz > yz
  3. গ
    গ) z/x > z/y
  4. ঘ
    ঘ) z/y > z/x
ব্যাখ্যা
যেহেতু z<0 সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। দেওয়া আছে, xz < yz [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে] z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে এটা দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < হয়েছে।
১৩,২২৭.
16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    12xy
  2. খ
    24xy
  3. গ
    48xy
  4. ঘ
    36xy
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x2 + 9y2 এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি পূর্ণবর্গের রূপ, 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

এখানে দেওয়া রাশি,
16x2 + 9y2 = (4x)2 + (3y)2
= (4x)2 + 2 × (4x) × (3y) + (3y)2
= 16x2 + 24xy + 9y2
অর্থাৎ,
16x2 + 9y2 + 24xy = (4x + 3y)2

সুতরাং, পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য 24xy যোগ করতে হবে।

১৩,২২৮.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০√২ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) ৯০০ বর্গমিটার
  2. খ
    খ) ১০০০ বর্গমিটার
  3. গ
    গ) ১২০০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১৩০০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৩০√২ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক√২ মিটার

ক√২ = ৩০√২
∴ ক = ৩০

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার

∴বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩০২ বর্গমিটার
= ৯০০ বর্গমিটার
১৩,২২৯.
2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 3
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
১৩,২৩০.
তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    একটিও না
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যাবে?

সমাধান:
তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে একটিমাত্র বৃত্ত আঁকা যাবে।
১৩,২৩১.
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 4 সে.মি.। ক্ষুদ্রতম বৃত্তের পরিধি কত সে.মি.?
  1. ক
    ক) 8π সে.মি.
  2. খ
    খ) 10π সে.মি.
  3. গ
    গ) 12π সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 14π সে.মি.
ব্যাখ্যা
আমরা জানি 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = 10 সে. মি.  
অন্তঃস্থ  বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?   

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 -  r2) 
                                     4 = 10 - r2
                                    4 - 10 = -  r2
                                         r2 = 6 সে.মি.
অপর বৃত্তের পরিধি = 2πr2 
                              = 2π × 6 =12π সে.মি.
১৩,২৩২.
কত টাকার ৩/৫ অংশ ৯০ টাকার ৫/৬ অংশের সমান?
  1. ক
    ক) ১২৫ টাকা
  2. খ
    খ) ১২০ টাকা
  3. গ
    গ) ১১৫ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ১১০ টাকা
ব্যাখ্যা

ধরি, টাকার পরিমাণ = x
প্রশ্নমতে,
x টাকার ৩/৫ অংশ = ৯০ টাকার ৫/৬
বা, x টাকার ৩/৫অংশ = ৭৫
বা, x = (৭৫× ৫)/৩
∴ x = ১২৫ টাকা।

১৩,২৩৩.
(x + y)2 - z2 = 16, (y + z)2 - x2 = 25 এবং (z + x)2 - y2 = 64 হলে (x + y + z) এর মান কত?
  1. ক
    √55
  2. খ
    24
  3. গ
    √105
  4. ঘ
    37
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 - z2 = 16, (y + z)2 - x2 = 25 এবং (z + x)2 - y2 = 64 হলে (x + y + z) এর মান কত?

সমাধান:
{(x + y)2 - z2} + {(y + z)2 - x2} + {(z + x)2 - y2} = 16 + 25 + 64
⇒ {(x + y + z)(x + y - z)} + {(x + y + z)(y + z - x)} + {(x + y + z)(x + z - y)} = 105
⇒ (x + y + z)(x + y - z + y + z - x + x + z - y ) = 105
⇒ (x + y + z)(x + y + z) = 105
⇒ (x + y + z)2 = 105
∴ (x + y + z) = √105
১৩,২৩৪.
কোন সংখ্যার ৪ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যোগফল ৩৬ হয়। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৫
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যোগফল ৩৬ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
4x + 12 = 36
⇒ x + 3 = 9 
⇒ x = 9 - 3
∴ x = 6 

∴ সংখ্যাটি ৬
১৩,২৩৫.
রবিন ও জিসানের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৯ : ৮ । ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ১০ : ৯ হলে, তাদের বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত? 
  1. ক
    ক) ৪ বছর 
  2. খ
    খ) ৫ বছর  
  3. গ
    গ) ৬ বছর 
  4. ঘ
    ঘ) ৭ বছর 
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
রবিন ও জিসানের বয়সের অনুপাত ৯ : ৮

রবিনের বর্তমান বয়স = ৯ক বছর 
জিসানের বর্তমান বয়স = ৮ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৯ক + ৫) : (৮ক + ৫) = ১০ : ৯
(৯ক + ৫)/ (৮ক + ৫) = ১০/ ৯
৯(৯ক + ৫) = ১০(৮ক + ৫)
৮১ক + ৪৫ = ৮০ক + ৫০
৮১ক - ৮০ক = ৫০ - ৪৫ 
ক = ৫ 

রবিনের বর্তমান বয়স = ৯ × ৫ = ৪৫ বছর 
জিসানের বর্তমান বয়স = ৮ × ৫ = ৪০ বছর
তাদের বর্তমান বয়সের পার্থক্য = (৪৫ - ৪০) বছর = ৫ বছর
১৩,২৩৬.
১০% সরল সুদে কত বছরে কোন মূলধন সুদেমূলে পাঁচগুণ হবে?
  1. ক
    ৩০ বছরে
  2. খ
    ৪০ বছরে
  3. গ
    ৫০ বছরে
  4. ঘ
    ২০ বছরে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০% সরল সুদে কত বছরে কোন মূলধন সুদেমূলে পাঁচগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = ১০০ টাকা
মূলধন সুদেমূলে হয় = ১০০ × ৫ = ৫০০ টাকা
তাহলে, সুদ = ৫০০ - ১০০ = ৪০০ টাকা

এখন,
১০০ টাকায় ১০ টাকা সুদ হয় = ১ বছরে
১০০ টাকায় ১ টাকা সুদ হয় = ১/১০ বছরে
১০০ টাকায় ৪০০ টাকা সুদ হয় = (১ × ৪০০)/১০ বছরে
= ৪০ বছরে
১৩,২৩৭.
n স্বাভাবিক সংখ্যা হলে (n + 1)! = ?
  1. ক
    ক) n! + 1!
  2. খ
    খ) (n + 1)n!
  3. গ
    গ) (n!)(1!)
  4. ঘ
    ঘ) (n + 1)(n - 1)!
ব্যাখ্যা
(n + 1)! = (n + 1)n!
১৩,২৩৮.
2x - 3y = 3 এবং x + y = 4 হলে, (x, y) এর মান কত?
  1. ক
    (- 3, 1)
  2. খ
    (3, - 1)
  3. গ
    (2, 1)
  4. ঘ
    (3, 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 3y = 3 এবং x + y = 4 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x - 3y = 3............(i)
x + y = 4............(ii)

(ii) নং সমীকরণকে ৩ দ্বারা গুণ করে (i) নং এর সাথে যোগ করে পাই।

2x - 3y + 3x + 3y = 3 + 12
5x = 15
x = 3

(ii) নং হতে পাই,

3 + y = 4
y = 1

∴(x, y) = (3, 1)
১৩,২৩৯.
কোন সমান্তর ধারার x তম পদ y এবং y তম পদ x হলে, ধারাটির (x + y) তম পদ কত?
  1. ক
    ক) xy
  2. খ
    খ) x + y
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার x তম পদ y এবং y তম পদ x হলে, ধারাটির (x + y) তম পদ কত?

সমাধান: 
ধরি,
ধারার প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ,
a + (n - 1)d

∴ ধারাটির x-তম পদ = a + (x - 1)d
∴ ধারাটির y-তম পদ = a + (y - 1)d
∴ ধারাটির (x + y)-তম পদ = a + (x + y - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (x - 1)d = y ……………(1)
a + (y - 1)d = x …………….(2)

(1)নং থেকে (2)নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (x - 1)d - a + (y - 1)d = y - x
⇒ d(x - 1 - y + 1) = y - x
⇒ d(x - y) = -(x - y)
∴ d = - 1

সুতরাং, (x + y) তম পদ =
a + (x + y - 1)d
= a + (x - 1)d + yd
= y + yd [সমীকরণ (1) থেকে]
= y - y
= 0
১৩,২৪০.
2√3 মিটার বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 3√3 বর্গমিটার
  2. খ
    খ) 9√3 বর্গমিটার
  3. গ
    গ) 3 বর্গমিটার
  4. ঘ
    ঘ) 4√3 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2√3 মিটার বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)(2√3)2 বর্গমিটার 
= (√3/4) × 12 বর্গমিটার 
= 3√3 বর্গমিটার
১৩,২৪১.
যদি (1/x) + y = 4 হয়, তবে x =?
  1. ক
    (4 - y)
  2. খ
    1/(4 + y)
  3. গ
    1/(4 - y)
  4. ঘ
    1/y
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (1/x) + y = 4 হয়, তবে x =?

সমাধান: 
(1/x) +y =4 
⇒ 1/x = 4 - y
⇒ x = 1/(4 - y)
১৩,২৪২.
একটি চৌবাচ্চার ৩টি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ৩০ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৪৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। কিন্তু ৩য় নল দ্বারা ৩৬ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হয়। তিনটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে? 
  1. ক
    ক) ২০ মিনিটে
  2. খ
    খ) ২৫ মিনিটে
  3. গ
    গ) ৩৬ মিনিটে
  4. ঘ
    ঘ) ৪০ মিনিটে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার ৩টি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ৩০ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৪৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। কিন্তু ৩য় নল দ্বারা ৩৬ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হয়। তিনটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
প্রথম নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ 
আবার, 
দ্বিতীয় নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৪৫ অংশ 
∴ উভয় নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/৩০ + ১/৪৫) অংশ 
= (৩ + ২)/৯০ অংশ 
= ৫/৯০ অংশ 
= ১/১৮ অংশ 

আবার,
তৃতীয় নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/১৮ - ১/৩৬) অংশ 
= (২- ১)/৩৬ অংশ 
= ১/৩৬ অংশ 

চৌবাচ্চাটির ১/৩৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে 
∴ চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পন্ন অংশ পূর্ণ হয় = (৩৬ × ১) মিনিটে 
= ৩৬ মিনিটে 
১৩,২৪৩.
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 হলে, n = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    - 6
  3. গ
    14
  4. ঘ
    - 14
ব্যাখ্যা
nC4 ÷ nC5 + 1 = 1/2 
বা, 5/(n - 4) + 1 = 1/2 [  nC4 ÷ nC5 = 5/(n - 4)  ]
বা, 5/(n - 4) = 1/2 - 1 
বা, 5/(n - 4) = - 1/2
বা, n - 4 = - 10
বা, n = - 10 + 4
∴ n = - 6
১৩,২৪৪.
অনিক ও শফিকের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৩৬ বছর। রফিকের বয়স শফিকের বয়সের অর্ধেক। ৪ বছর পরে অনিকের বয়স হবে ২৪, বর্তমানে রফিকের বয়স কত?
  1. ক
    ৬ বছর
  2. খ
    ৮ বছর
  3. গ
    ১০ বছর
  4. ঘ
    ১২ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অনিক ও শফিকের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৩৬ বছর। রফিকের বয়স শফিকের বয়সের অর্ধেক। ৪ বছর পরে অনিকের বয়স হবে ২৪, বর্তমানে রফিকের বয়স কত?

সমাধান:
৪ বছর পরে অনিকের বয়স ২৪ হলে, বর্তমান বয়স = ২৪ - ৪ = ২০ বছর
তাহলে শফিকের বর্তমান বয়স = ৩৬ - ২০ = ১৬ বছর [যেহেতু দুইজনের বয়সের সমষ্টি ৩৬ বছর]
∴ রফিকের বয়স = ১৬/২ = ৮ বছর [যেহেতু রফিকের বয়স শফিকের বয়সের অর্ধেক ]
১৩,২৪৫.
a3 - 1, 1 + a3 এবং 1 + a2 + a4 রাশির ল.সা.গু. কত?
  1. ক
    ক) (a3 + 1) (a - 1)
  2. খ
    খ) a6 - 1
  3. গ
    গ) a6 + 1
  4. ঘ
    ঘ) a2 - 1
ব্যাখ্যা

১ম রাশি,
a³ - 1 = (a - 1) (a² + a + 1)
২য় রাশি,
a³ + 1 = (a + 1) (a² - a + 1)
৩য় রাশি,
1 + a² + a4
= (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1) (a² - a + 1)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1) (a² + a + 1) (a + 1) (a² - a + 1) = (a³ + 1) (a³ - 1) = a6 - 1

১৩,২৪৬.
একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    462
  2. খ
    448
  3. গ
    412
  4. ঘ
    406
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খেলার দুই দলের মোট ২২ জন খেলোয়ার পরস্পরের সাথে খেলার শুরুতে এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
∴ খেলার শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ খেলার শেষে করমর্দন সংখ্যা = 22C2
= (22 × 21)/2
= 231

∴ মোট করমর্দন সম্পন্ন হয় = (231 + 231) = 462
১৩,২৪৭.
1/3 + 1/32 + 1/33 + ................ অনন্ত ধারার মান কত?
  1. ক
    ক) 4/3
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 3/2
ব্যাখ্যা
এখানে 
১ম পদ a = 1/3
সাধারণ অনুপাত r  = (1/32) ÷ (1/3)
                              = (1/9) × (3/1)
                              = 1/3
অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
                           = (1/3)/{1 - (1/3)}
                           = (1/3)/{(3 - 1)/3}
                           = (1/3)/(2/3)
                            = (1/3) × (3/2)
                             = 1/2
১৩,২৪৮.
(a + b) ও (a2 - ab + b2) এর গুণফল কত?
  1. ক
    ক) a3 - b3
  2. খ
    খ) a3 + b3
  3. গ
    গ) b3 - a3
  4. ঘ
    ঘ) (a - b)3
ব্যাখ্যা
(a + b) ও (a2 - ab + b2) এর গুণফল
= (a + b)(a2 - ab + b2)
= a3 + b3
১৩,২৪৯.
(22)x + 3 = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (22)x + 3 = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
(22)x + 3 = 256
⇒ 22(x + 3) = 28
⇒ 2(x + 3) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 - 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1

অতএব, x = 1

১৩,২৫০.
ঘণ্টায় ২ কি. মি. গতি বৃদ্ধি করায় ৩৬ কি. মি. পথ অতিক্রম করতে ৩ ঘণ্টা সময় কম লাগে। বৃদ্ধির পূর্বে গতি কত কি.মি. ছিল?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৪
  3. গ
    ৬
  4. ঘ
    ৮
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঘণ্টায় ২ কি. মি. গতি বৃদ্ধি করায় ৩৬ কি. মি. পথ অতিক্রম করতে ৩ ঘণ্টা সময় কম লাগে। বৃদ্ধির পূর্বে গতি কত কি.মি. ছিল?

সমাধান:
 বৃদ্ধির পূর্বে গতিবেগ ছিল = ক কি.মি.

প্রশ্নমতে
৩৬/ক - ৩৬/ (ক + ২) = ৩
বা, ৩৬{(১/ক) - ১/(ক + ২)} = ৩
বা, (ক + ২  - ক)/ক(ক + ২) = ৩/৩৬
বা, ২/ক২ + ২ক = ১/১২
বা, ক২ + ২ক = ২৪
বা, ক২ + ২ক - ২৪ = ০
বা, ক২ + ৬ক - ৪ক - ২৪ = ০
বা, ক(ক + ৬) - ৪(ক + ৬) = ০
∴ (ক + ৬)(ক - ৪) = ০

হয়
ক + ৬ = ০
ক = - ৬

অথবা
ক - ৪ = ০
ক = ৪

 বৃদ্ধির পূর্বে গতিবেগ ছিল = ৪ কি.মি./ঘণ্টা
১৩,২৫১.
.০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ?
  1. ক
    .০০০১২৬
  2. খ
    .০০০০০১২৬
  3. গ
    .০০০১২৬০
  4. ঘ
    .১২৬০০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: .০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ?

সমাধান:
.০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ০.০০০০০১২৬
১৩,২৫২.
একটি বইয়ের মূল্য ১২০ টাকা। এই মূল্য প্রকৃত মূল্যের ৮০%। বইটির প্রকৃত মূল্য কত? 
  1. ক
    ক) ২৫০ টাকা
  2. খ
    খ) ৩৫০ টাকা
  3. গ
    গ) ৩০০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ১৫০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য ১২০ টাকা। এই মূল্য প্রকৃত মূল্যের ৮০%। বইটির প্রকৃত মূল্য কত? 

সমাধান:
ধরি, বইটির প্রকৃত মূল্য ক টাকা

প্রকৃত মূল্যের ৮০% = ক এর ৮০%
= ক × ৮০/১০০
= ক × ৪/৫
= ৪ক/৫

প্রশ্নমতে,
৪ক/৫ = ১২০
⇒ ৪ক = ১২০ × ৫
⇒ ক = (১২০ × ৫)/৪
= ১৫০ টাকা
১৩,২৫৩.
19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কততম পদ (- 5)?
  1. ক
    7
  2. খ
    13
  3. গ
    25
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 5)? 

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 19
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 19
= - 2

এখন,
n তম পদ = - 5

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n 
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে] 
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ (- 5).
১৩,২৫৪.
একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাঁদায়, ২/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ১৮ মিটার 
  2. খ
    ১৫ মিটার 
  3. গ
    ২১ মিটার 
  4. ঘ
    ২৪ মিটার 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাঁদায়, ২/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = x মিটার 

প্রশ্নমতে, 
x - (x/৫ + ২x/৫) = ৬ 
বা, x - (x + ২x)/৫ = ৬ 
বা, x - (৩x/৫) = ৬ 
বা (৫x - ৩x)/৫ = ৬ 
বা, ২x/৫ = ৬  
বা, ২x =  ৩০ 
বা, x = ৩০/২
∴ x = ১৫ 

∴ বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার।

১৩,২৫৫.
পূজা ও স্বপনের আয়ের অনুপাত ৩ : ৫। স্বপন ও রনির আয়ের অনুপাত ৮ : ৭। পূজার আয় ২৪০০০ টাকা হলে, রনির আয় কত?
  1. ক
    ৪০০০০ টাকা
  2. খ
    ৩৮০০০ টাকা
  3. গ
    ৩৫০০০ টাকা
  4. ঘ
    ২৪০০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পূজা ও স্বপনের আয়ের অনুপাত ৩ : ৫। স্বপন ও রনির আয়ের অনুপাত ৮ : ৭। পূজার আয় ২৪০০০ টাকা হলে, রনির আয় কত?
 
সমাধান:
পূজা : স্বপন = ৩ : ৫
= ২৪ : ৪০ [৮ দ্বারা গুণ করে]

স্বপন : রনি = ৮ : ৭
= ৪০ : ৩৫ [৫ দ্বারা গুণ করে]

∴ পূজা : স্বপন : রনি = ২৪ : ৪০ : ৩৫

পূজার আয় ২৪ টাকা হলে রনির আয় ৩৫ টাকা
∴ পূজার আয় ২৪০০০ টাকা হলে রনির আয় (৩৫ × ২৪০০০)/২৪
= ৩৫০০০ টাকা
১৩,২৫৬.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?
  1. ক
    60
  2. খ
    80
  3. গ
    70
  4. ঘ
    90
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো 2x, 3x, 4x
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = 180°

তাহলে,
2x + 3x + 4x = 180° 
⇒ 9x = 180°  
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20°= 80°

১৩,২৫৭.
|a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 3, n = 8
  2. খ
    m = 4, n = 18
  3. গ
    m = 7, n = 25
  4. ঘ
    m = 2, n = 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?

সমাধান:
|a - 2| < 3
⇒ -3 < a - 2 < 3
⇒-3 + 2 < a - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < a < 5
⇒ -3 < 3a < 15
⇒ -3 + 5 < 3a + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3a + 5 < 20
যেখানে, m < 3a + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
১৩,২৫৮.
একটি অ্যাকুরিয়াম ৮৩২ টাকা বিক্রয় করলে যত লাভ হয় ৪৪৮ টাকা বিক্রয় করলে তত ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে অ্যাকুরিয়ামটি কত টাকা বিক্রয় করতে হবে?
  1. ক
    ৭৬৮ টাকা
  2. খ
    ৮২০ টাকা
  3. গ
    ৮৬৪ টাকা
  4. ঘ
    ৯১০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অ্যাকুরিয়াম ৮৩২ টাকা বিক্রয় করলে যত লাভ হয় ৪৪৮ টাকা বিক্রয় করলে তত ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে অ্যাকুরিয়ামটি কত টাকা বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান:
ধরি,
৪৪৮ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় = ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৪৪৮ + ক টাকা

আবার, ৮৩২ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় = ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৮৩২ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৪৪৮ + ক = ৮৩২ - ক
⇒ ২ক = ৩৮৪
∴ ক = ১৯২
ক্রয়মূল্য = ৪৪৮ + ১৯২ = ৬৪০ টাকা

২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (৬৪০ × ১২০)/১০০
= ৭৬৮ টাকা
১৩,২৫৯.
কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
  1. ক
    ক) ১৪১
  2. খ
    খ) ১৪৪
  3. গ
    গ) ১৪৭
  4. ঘ
    ঘ) ২৮৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল ২৪, ৩৬ ও ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
এখন, ২৪, ৩৬ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু = ১৪৪

∴ সংখ্যাটি  = ১৪৪ - ৩ = ১৪১
১৩,২৬০.
a4 + (1/a4) = 23 হলে a - (1/a) = ?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) √5
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- a4 + (1/a4) = 23 হলে a - (1/a) = ?

সমাধান-
দেওয়া আছে,
a4 + (1/a4)= 23
⇒ (a2)2 + 2.a2.(1/a2) + (1/a2)2 = 23 + 2
⇒ (a2 + 1/a2)2 = 25
⇒ a2 + 1/a2 = 5 [বর্গমূল করে]
⇒ (a - 1/a)2 + 2.a.(1/a) = 5
⇒ (a - 1/a)2 = 3
⇒ a - 1/a = √3   [বর্গমূল করে]
১৩,২৬১.
একটি খুঁটি ভূমিতে √3 মিটার দূরে সূর্যের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করলে খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    3 মিটার
  2. খ
    2√3 মিটার
  3. গ
    9 মিটার
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটি ভূমিতে √3 মিটার দূরে সূর্যের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করলে খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
tanθ = লম্ব/ভূমি
বা, tan60° = h/√3
বা, h = √3 × √3
বা, h = 3

অতএব, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
১৩,২৬২.
'A'-এর মান 'B'-এর বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। 'A'-এর মান 40 যখন 'B' এর মান 12। 'B' এর মান 24 হলে 'A'-এর মান কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 'A'-এর মান 'B'-এর বর্গের ব্যস্তানুপাতিক। 'A'-এর মান 40 যখন 'B' এর মান 12।  'B' এর মান 24 হলে 'A'-এর মান কত?
সমাধান :
দেয়া আছে
A = k/B2 ......... (i) 
k= AB2
  = 40 × 122
  = 40 × 144

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই 
A = k/B2
   = (40×144)/(24×24)
    = 10
১৩,২৬৩.
বালক ও বালিকার একটি দলে নিম্নরুপে খেলা হচ্ছে। প্রথম বালক ৫ জন বালিকার সঙ্গে খেলছে, দ্বিতীয় বালক ৬ জন বালিকার সঙ্গে খেলছে। এভাবে শেষ বালক সবকটি বালিকার সঙ্গে খেলছে। যদি b বালকের সংখ্যা এবং g বালিকার সংখ্যা প্রকাশ করে , তবে b এর মান কত?
  1. ক
    ক) b=g
  2. খ
    খ) b=g5
  3. গ
    গ) b=g-4
  4. ঘ
    ঘ) b=g-5
ব্যাখ্যা
বালকের সংখ্যা = b
বালিকার সংখ্যা = g

১ম বালক 5 জন বালিকার সাথে খেলে।
২য় বালক 6 জন  বালিকার সাথে খেলে।
------------------
অতএব, বালক ও বালিকার সংখ্যার পার্থক্য হলো  4

সুতরাং, সমীকরণ হবে b = g - 4
১৩,২৬৪.
একজন আলু বিক্রেতা ৩২ টাকা কেজি ধরে ২ মণ আলু কিনে আনলো। ২ দিন পরে ৫% আলু পচে গেল। তার কত টাকার আলু পচে গেল ?
  1. ক
    ৮৪ টাকা
  2. খ
    ১০০ টাকা
  3. গ
    ১২৮ টাকা
  4. ঘ
    ১৪০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন আলু বিক্রেতা ৩২ টাকা কেজি ধরে ২ মণ আলু কিনে আনলো। ২ দিন পরে ৫% আলু পচে গেল। তার কত টাকার আলু পচে গেল ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ মণ = ৪০ কেজি
∴ ২ মণ = (৪০ ×২) কেজি
= ৮০ কেজি

∴ ৮০ কেজির ৫% = ৮০ × (৫/১০০) 
= ৪ কেজি

১ কেজি আলুর দাম = ৩২ টাকা
∴ ৪ কেজি আলুর দাম = (৩২ × ৪) টাকা
= ১২৮ টাকা
১৩,২৬৫.
১৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে?
  1. ক
    ৬ সেকেন্ডে
  2. খ
    ৯ সেকেন্ডে
  3. গ
    ১২ সেকেন্ডে
  4. ঘ
    ১৪ সেকেন্ডে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে?

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটির খুঁটিকে অতিক্রম করা হবে।

৭২ কিলোমিটার = ৭২ × ১০০০ = ৭২০০০ মিটার

৭২০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১৮০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ১৮০)/৭২০০০ সেকেন্ডে
= ৯ সেকেন্ডে
১৩,২৬৬.
যদি log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?
  1. ক
    11/7
  2. খ
    8/7
  3. গ
    5/8
  4. ঘ
    2/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
log5(x + 1) + log53 = log5(2x - 1) + 1
⇒ log5{(x + 1) × 3} = log5(2x - 1) + log5 51 [logaM + logaN = loga(MN) এবং 1 = log55]
⇒ log5(3x + 3) = log5{5(2x - 1)}
⇒ log5(3x + 3) = log5(10x - 5)
⇒ 3x + 3 = 10x - 5
⇒ 3x - 10x = - 5 - 3
⇒ - 7x = - 8
∴ x = 8/7

১৩,২৬৭.
a এর মান কত হলে (9-12x+ax2) রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

একটি সমীকরণ এর নিশ্চায়কের মান শূন্য হলে, ইহা পূর্ণবর্গ হয়।
এখানে নিশ্চয়াক,
b² - 4ac = 0
বা, (-12)² - 4.a.9 = 0
বা, 36a = 144
বা, a = 4

১৩,২৬৮.
চিত্রে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে নিচের কোনটি সত্য? 

  1. ক
    ক) 2DF = BC
  2. খ
    খ) DF = BC
  3. গ
    গ) 4DF = BC
  4. ঘ
    ঘ) 3DF = BC
ব্যাখ্যা
চিত্রে, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ । D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে নিচের কোনটি সত্য? 



ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
 ABC একটি ত্রিভুজ। D ও F যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে
DF || BC এবং 2DF = BC
১৩,২৬৯.
চারটি সমানুপাতি রাশির প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল ৪৮ হলে মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল কত?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ৪৯
  3. গ
    ৪৮
  4. ঘ
    ৭
ব্যাখ্যা
চারটি সমানুপাতি রাশি: a, b, c, d
∴ a : b :: c:d
    a/b = c/d
  a × d = b  ×  c

অতএব, চারটি সমানুপাতি রাশির প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল = মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল। 
১৩,২৭০.
x + y + 4 = x - y - 12 = 0 হয়, তবে 3x + y = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 5
  3. গ
    20
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + 4 = x - y - 12 = 0 হয়, তবে 3x + y = কত?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
x + y + 4 = x - y - 12 = 0
​
​এখন,
x + y + 4 = 0 ........... (1)​​
​x - y - 12 = 0 ............ (2)
​
​(1) + (2) করে পাই,
​x + y + 4 + ​x - y - 12 = 0
​⇒ 2x = 8
⇒ ​x = 8/2 = 4
∴ ​x = 4
​x এর মান (1)​​ নং এ বসিয়ে পাই,
4 + y + 4 = 0
∴ ​​y = - 8
​
​প্রদত্ত রাশি,
​3x + y = 3(4) + (- 8)
​= 12 - 8
​= 4

১৩,২৭১.
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    ২৯০ 
  2. খ
    ৩০০ 
  3. গ
    ৩১০ 
  4. ঘ
    ৩২০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১০ এবং ল.সা.গু ৮৩৭০। একটি সংখ্যা ২৭০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 
⇒ ২৭০ × অপর সংখ্যা = ৮৩৭০ × ১০ 
⇒ অপর সংখ্যা = (৮৩৭০ × ১০)/২৭০ 
∴ অপর সংখ্যা = ৩১০ ।

১৩,২৭২.
৯টি সংখ্যার গড় ১১ । প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৯ এবং শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ১২ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত হবে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৫
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) ৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯টি সংখ্যার গড় ১১। প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৯ এবং শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ১২ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
পঞ্চম সংখ্যাটি ক 

৯টি সংখ্যার গড় ১১
∴ ৯টি সংখ্যার যোগফল (১১ × ৯)
= ৯৯ 

প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় ৯ 
∴ প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল (৯ × ৫) 
= ৪৫ 

∴ পঞ্চম সংখ্যাটি বাদে প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল ৪৫ - ক 

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় ১২
শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল (১২ × ৫)
= ৬০ 

শর্তমতে,
৪৫ - ক + ৬০ = ৯৯
বা, ১০৫ - ক = ৯৯
বা, ক = ১০৫ - ৯৯
∴ ক = ৬ 
১৩,২৭৩.
দুুটি সংখ্যার গুণফল ১২। যদি সংখ্যাগুলো ৩ : ১ অনুপাত থাকে তবে সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে -
  1. ক
    ক) ৮
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১২। যদি সংখ্যাগুলো ৩ : ১ অনুপাত থাকে তবে সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে -

সমাধান:
সংখ্যাগুলোর অনুপাত ৩ : ১
ধরি, সংখ্যাগুলো হল ৩ক ও ক

৩ক × ক = ১২
⇒ ৩ক২ = ১২
⇒ ক২ = ৪
∴ ক = ২
সংখ্যাগুলো হল (৩ × ২) বা ৬, ২

∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৬ + ২
= ৮
১৩,২৭৪.
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
১৩,২৭৫.
10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?
  1. ক
    42
  2. খ
    56
  3. গ
    84
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 8C5 
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56
১৩,২৭৬.
একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?
  1. ক
    270
  2. খ
    288
  3. গ
    306
  4. ঘ
    328
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া আছে 
সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36

এখন 
5ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
13তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 12d

যোগফল = a + 4d + a + 12d
= 2a + 16d = 36

প্রথম 17টি পদের যোগফল,
S17 = (17/2) {2a + (17 - 1)d}
=(17/2)(2a + 16d)
= (17/2) × 36
= 17 × 18
= 306

১৩,২৭৭.
72 + 66 + 60 + …… + (- 6) = ?
  1. ক
    600
  2. খ
    525
  3. গ
    462
  4. ঘ
    405
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 + 66 + 60 + …… + (- 6) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 72
সাধারণ অন্তর, d = 66 - 72 = - 6

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 6
⇒ 72 + (n - 1)(- 6) = - 6
⇒ 72 - 6n + 6 = - 6
⇒ 78 - 6n = - 6
⇒ 6n = 78 + 6
⇒ 6n = 84
⇒ n = 84/6
∴ n = 14

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (14/2){2a + (n - 1)d}
= (14/2){(2 × 72) + (14 - 1)(- 6)}
= 7{144 + 13 × (- 6)}
= 7(144 - 78)
= 7 × 66
= 462
১৩,২৭৮.
একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১১
  3. গ
    ১৩
  4. ঘ
    ৭
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক 
∴ পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা = ক + ২

শর্তমতে,
৪ক + ৫(ক + ২) = ৯১
⇒ ৪ক + ৫ক + ১০ = ৯১
⇒ ৯ক = ৯১ - ১০
⇒ ৯ক = ৮১
⇒ ক = ৮১/৯
⇒ ক = ৯

∴ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি ৯

১৩,২৭৯.
৯ টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ৪৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৩৯
  2. খ
    ৪১
  3. গ
    ৪৩
  4. ঘ
    ৪৬
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯ টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ৪৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা ক হলে,
ক্রমিক সংখ্যাগুলো হবে: ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭), (ক + ৮)

ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) + (ক + ৫) + (ক + ৬) + (ক + ৭) + (ক + ৮)
= ৯ক + (১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮)
= ৯ক + ৩৬
= ৯(ক + ৪)

শর্তমতে,
৯(ক + ৪) = ৪৫ × ৯
⇒ ক + ৪ = (৪৫ × ৯) / ৯
⇒ ক + ৪ = ৪৫
⇒ ক = ৪৫ - ৪ = ৪১

অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ক = ৪১

১৩,২৮০.
বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা হার সুদে ৯০০ টাকার ৭ বছরের সুদাসল কত?
  1. ক
    ১০৪৮ টাকা
  2. খ
    ১১৫২ টাকা
  3. গ
    ১২২৬ টাকা
  4. ঘ
    ১৩১০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা হার সুদে ৯০০ টাকার ৭ বছরের সুদাসল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (৯০০ × ৪ × ৭)/১০০
= ২৫২ টাকা

∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ২৫২ + ৯০০
= ১১৫২ টাকা
১৩,২৮১.
y = (5x/2) + 4 এবং 15x - 2 = 40 হলে, y = ?
  1. ক
    6
  2. খ
    9
  3. গ
    11
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y = (5x/2) + 4 এবং 15x - 2 = 40 হলে, y = ?

সমাধান:
15x - 2 =40
⇒ 15x = 42
⇒ x = 42/15

এখন,
y = [{5(42/15)}/2] + 4
= (14/2) +4
= 7 + 4
= 11
১৩,২৮২.
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর কয়টি তল (surface) থাকে?
  1. ক
    ক) ৪
  2. খ
    খ) ৬
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ১০
ব্যাখ্যা
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর ৬ টি তল। যেমনঃ ইটের ৬ টি তল।
১৩,২৮৩.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যাতীত একটি কোণ ৫২° হলে, তৃতীয় কোনটির সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    ১২৮°
  2. খ
    ১৪২°
  3. গ
    ১৫২°
  4. ঘ
    ৩৮°
ব্যাখ্যা

৩য় কোণ = ৯০° - ৫২°
= ৩৮°
∴ ৩য় কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩৮°
= ১৪২°

১৩,২৮৪.
একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
  1. ক
    ১ কি.মি.
  2. খ
    ২ কি.মি.
  3. গ
    ৩ কি.মি.
  4. ঘ
    ৪ কি.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৬ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?

সমাধান:
৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৫ × ৬ = ৩০

৩০ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৫ = ৬ বার
৩০ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩০/৬ = ৫ বার

∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে = ৩০ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১০০ বার বেশি ঘুরে = ৩০ × ১০০ মিটারে
= ৩০০০ মিটারে
= ৩০০০/১০০০ কি.মি.
= ৩ কি.মি.

∴  গাড়িটি ৩ কি.মি.পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
১৩,২৮৫.
৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৮০ বর্গ সেমি
  2. খ
    ৯০ বর্গ সেমি
  3. গ
    ৯৮ বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ১০০ বর্গ সেমি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সেমি
বৃত্তের ব্যাস = ২ × ৭ = ১৪ সেমি

বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অংকিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তটির ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১৪ সেমি
⇒ a√২ = ১৪
⇒ a = ১৪/√২
∴ a = ৭√২

∴ ক্ষেত্রফল = a২ = (৭√২)২ = ৪৯ × ২ = ৯৮ বর্গ সেমি

১৩,২৮৬.
২০ গ্যালনে কত লিটার?
  1. ক
    ৪০ লিটার
  2. খ
    ৯১ লিটার
  3. গ
    ২০০ লিটার
  4. ঘ
    ২০০০ লিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০ গ্যালনে কত লিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ গ্যালন = ৪.৫৫ লিটার

∴ ২০ গ্যালন = ৪.৫৫ × ২০ লিটার
= ৯১ লিটার
১৩,২৮৭.
পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের পাঁচগুণ ছিল। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ১৮ বছর
  2. খ
    ২০ বছর
  3. গ
    ২৫ বছর
  4. ঘ
    ১৫ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৫ বছর আগে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের পাঁচগুণ ছিল। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স = ক বছর
পিতার বয়স = ৪ক বছর

৫ বছর আগে পুত্রের বয়স ছিল = ক - ৫ বছর
৫ বছর আগে পিতার বয়স ছিল = ৪ক - ৫ বছর

প্রশ্নমতে,
৪ক - ৫ = ৫(ক - ৫)
⇒ ৪ক - ৫ = ৫ক - ২৫
⇒ ৫ক - ৪ক = ২৫ - ৫
∴ ক = ২০
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স ২০ বছর।
১৩,২৮৮.
sinA + cosA = 1 হলে, A এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: sinA + cosA = 1 হলে, A এর মান কত হবে?

সমাধান:
A = 30° হলে,
sinA + cosA
= sin30° + cos30°
= 1/2 + √3/2
= (1 + √3)/2

A = 45° হলে,
sinA + cosA
= sin45° + cos45°
= 1/√2 + 1/√2
= 2/√2
= √2

A = 60° হলে,
sinA + cosA
= sin60° + cos60°
= √3/2 + 1/2
= (1 + √3)/2

A = 90° হলে,
sinA + cosA
= sin90° + cos90°
= 1 + 0
= 1

∴ A এর মান 90°
১৩,২৮৯.
100.23x - 8 = 52 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 100.23x - 8 = 52 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
100.23x - 8 = 52 
বা, 100.23x - 8 = 25
বা, 23x - 8 = 25/100
বা, 23x - 8 =1/4
বা, 23x - 8 =1/22
বা, 23x - 8 =2- 2
বা, 3x - 8 = - 2
বা, 3x = 8 - 2 
বা, 3x = 6
     x = 2
১৩,২৯০.
একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৩৪০
  2. খ
    খ) ৩৪১
  3. গ
    গ) ৩৪২
  4. ঘ
    ঘ) ৩৪৪
ব্যাখ্যা
If the number is x then
৩৮১ - x = x - ৩০১
or, ২x = ৩৮১ + ৩০১
or, x = ৩৪১
১৩,২৯১.
64x³ - 8y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 4)(x + 10)
  2. খ
    খ) (2x - 1)(4x - 2xy + y)
  3. গ
    গ) 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)
  4. ঘ
    ঘ) 8(2x - y)(4x² - 2xy + y²)
ব্যাখ্যা

64x³ - 8y³
= 8(8x³ - y³)
= 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)

১৩,২৯২.
একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ৫০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৪ হালি ২৮০ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?
  1. ক
    ২৫%
  2. খ
    ৪০%
  3. গ
    ৪৪%
  4. ঘ
    ৩৬%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ৫০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৪ হালি ২৮০ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা
∴ ৪ হালি ডিমের  ক্রয়মূল্য = ৫০ × ৪ টাকা = ২০০ টাকা।

দেওয়া আছে,
৪ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৮০ টাকা 
যেহেতু ডিমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴  লাভ = (২৮০  - ২০০) টাকা = ৮০ টাকা।

এখন,
২০০ টাকায় লাভ হয় = ৮০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৮০/২০০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায়  লাভ হয় = (৮০ × ১০০)/২০০ = ৪০ টাকা। 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ৪০%

১৩,২৯৩.
নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?
  1. ক
    ১৮, ৪৫
  2. খ
    ৩১, ৪৩
  3. গ
    ১২, ৩৩
  4. ঘ
    ২৭, ৯৯
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৮, ৪৫
১৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
৪৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ১৮, ৪৫ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৩১, ৪৩
৩১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩১ (৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা)
৪৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৪৩ (৪৩ একটি মৌলিক সংখ্যা)
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১

∴ ৩১, ৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (গ): ১২, ৩৩
১২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
৩৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ১১, ৩৩
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩

∴ ১২, ৩৩ সহমৌলিক নয়।

অপশন (ঘ): ২৭, ৯৯
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৯৯-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ২৭, ৯৯ সহমৌলিক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) ৩১, ৪৩

১৩,২৯৪.
যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    18
  3. গ
    36
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a2 + b2 = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 45

আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ 92 = 45 + 2ab
⇒ 81 = 45 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 45 = 36
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

১৩,২৯৫.
কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৩০°
  2. খ
    খ) ৪৫°
  3. গ
    গ) ৬০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°.

১৩,২৯৬.
1 - 1 + 1 - 1 + ... ধারাটির 2n পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

যেহেতু ধারাটির জোড় সংখ্যা পদ সংবলিত এবং পদগুলোর অর্ধেক ধনাত্মক এবং অর্ধেক ঋণাত্মক
∴ যোগফল = 0.

১৩,২৯৭.
f(x) = x3 + mx2 - 6x - 9; m এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + mx2 - 6x - 9; m এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

সমাধান:
f(3) = 33 + m32 - (6 × 3) - 9 = 0
⇒ 27 + 9m2 - 18 - 9 = 0
⇒ 9m2 = 0
⇒ m2 = 0 
∴ m = 0
১৩,২৯৮.
sec{(9π / 2) + θ} = ?
  1. ক
     - secθ
  2. খ
    cosecθ
  3. গ
    sinθ
  4. ঘ
    - cosecθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sec{(9π / 2) + θ} = ?

সমাধান:
sec{(9π / 2) + θ}
= sec{9 × (π/2) + θ}
= sec{9 × 90° + θ}

• 9 বার 90° ঘোরার পর কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং ঐ চতুর্ভাগে secant (sec) এর মান ঋণাত্মক।
• যেহেতু π/2 এর গুণিতক একটি বিজোড় সংখ্যা (9), তাই secant অনুপাতটি cosecant (cosec) অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

∴ sec{(9π / 2) + θ} = - cosecθ।

১৩,২৯৯.
(১২৫/৬৪)-২/৩ এর মান কত?
  1. ক
    ক) ১২৫/৬৪
  2. খ
    খ) ৬৪/১২৫
  3. গ
    গ) ১৬/২৫
  4. ঘ
    ঘ) ২৫/১৬
ব্যাখ্যা
(১২৫/৬৪)-২/৩
= {(৫/৪)৩}-২/৩
= (৫/৪)-২
= (৪/৫)২
= ১৬/২৫
১৩,৩০০.
পুত্রের বর্তমান বয়স পিতার বয়সের অর্ধেক অপেক্ষা ১ বছর কম। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?
  1. ক
    ৩২ বছর
  2. খ
    ৩০ বছর
  3. গ
    ২৮ বছর
  4. ঘ
    ২৭ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পুত্রের বর্তমান বয়স পিতার বয়সের অর্ধেক অপেক্ষা ১ বছর কম। ৫ বছর পর পিতা এবং পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০২ বছর হলে পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বর্তমান বয়স = ক বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = (ক/২) - ১ বছর

৫ বছর পর পিতার বয়স = ক + ৫ বছর
৫ বছর পর পুত্রের বয়স = {(ক/২) - ১ + ৫} বছর
= {(ক/২) + ৪} বছর

প্রশ্নমতে,
ক + ৫ + (ক/২) + ৪ = ১০২
⇒ ক + (ক/২) + ৯ = ১০২
⇒ (২ক + ক)/২ = ১০২ - ৯
⇒ ৩ক/২ = ৯৩
⇒ ৩ক = ৯৩ × ২
⇒ ক = (৯৩ × ২)/৩
∴ ক = ৬২

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬২ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = {(৬২/২) - ১} বছর
= ৩০ বছর