গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৩২ / ৪৭৫ · ১৩,১০১–১৩,২০০ / ৪৭,৮৩৩

১৩,১০১.

ক
৩.৩
খ
৪.৫
গ
৩.৭৫
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,১০২.

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে?

ক
ক) ৬ : ৫ : ৪
খ
খ) ৬ : ৪ : ৩
গ
গ) ১২ : ১৮ : ৪
ঘ
ঘ) ১৭ : ১৫ : ৮

ব্যাখ্যা

এখানে,
১৫^২ + ৮^২ = ২৮৯ = ১৭^২
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
এখানে, ১৫^২ + ৮^২ = ১৭^২
∴ ১৭ সেমি, ১৫ সেমি, ৮ সেমি বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে সমকোণী

১৩,১০৩.

কোনো আসল ৫% সরল সুদে ৫ বছরে সুদে-আসলে ৫২৫ টাকা। আসল কত?

ক
ক) ৪২০ টাকা
খ
খ) ৪৪০ টাকা
গ
গ) ৪৬০ টাকা
ঘ
ঘ) ৪৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ (৫ × ৫) টাকা
= ২৫ টাকা

সুদ-আসল = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

সুদ-আসল ১২৫ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদ-আসল ১ টাকা হলে আসল ১০০/১২৫ টাকা
সুদ-আসল ৫২৫ টাকা হলে আসল (১০০ × ৫২৫)/১২৫ টাকা
= ৪২০ টাকা

১৩,১০৪.

একটি থলেতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৩
খ
৩/৪
গ
৭/১৯
ঘ
৮/২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে ৮টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = (৮ + ৭ + ৬) = ২১

বলটি নীল অথবা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২১

১৩,১০৫.

50⁷ × 20⁷ সংখ্যাটি 10⁸ এর 10^x গুণ হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 13
খ
খ) 14
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^(x+8)
বা, (1000)⁷ = 10^(x+8)
বা, (10³)⁷ = 10^(x+8)
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

১৩,১০৬.

কোন সংখ্যার ২/৭ অংশ ৬৪-এর সমান?

ক
১৮২৭
খ
২৪৮
গ
২১৭
ঘ
২২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার (২/৭) অংশ ৬৪ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২/৭ = ৬৪
বা, ২ক/৭ = ৬৪
বা, ২ক = ৬৪ × ৭
বা, ক = (৬৪ × ৭)/২
∴ ক = ২২৪

১৩,১০৭.

দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩ হলে সংখ্যাদ্বয় কত ?

ক
ক) ১১, ১২
খ
খ) ১০, ১১
গ
গ) ১২, ১৩
ঘ
ঘ) ৯, ১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩ হলে সংখ্যাদ্বয় কত ?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যা দুইটি ক ও ক + ১

প্রশ্নমতে
(ক + ১)^২ - ক^২ = ২৩
ক^২ + ২ক + ১^২ - ক^২ = ২৩
২ক + ১ = ২৩
২ক = ২৩ - ১
২ক = ২২
ক = ১১

সংখ্যা দুইটি ১১ ও ১২

১৩,১০৮.

Δ -এর তিন কোণের সমষ্টি-

ক
ক) 80°
খ
খ) 120°
গ
গ) 160°
ঘ
ঘ) 180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Δ -এর তিন কোণের সমষ্টি-

সমাধান:
Δ -এর তিন কোণের সমষ্টি- 180°

১৩,১০৯.

নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

ক
√27/3
খ
√121
গ
2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

∴ √27/3 = 3√3/3 = √3 = 1.732....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।

১৩,১১০.

(৩ × .০২ × .০০৮)/(৪ × .০৫ × .০০৬) এর মান কত?

ক
ক) ৪
খ
খ) ০.৪
গ
গ) ০.০৪
ঘ
ঘ) ০.০০৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৩ × .০২ × .০০৮)/(৪ × .০৫ × .০০৬) এর মান কত?

সমাধান:
(৩ × .০২ × .০০৮)/(৪ × .০৫ × .০০৬)
= ০.০০০৪৮/০.০০১২
= ০.৪

১৩,১১১.

যে দুটি মাত্রা দ্বারা তল সৃষ্টি হয় সেগুলো কী কী?

ক
দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ
খ
দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল
গ
উচ্চতা এবং ঘনত্ব
ঘ
সঠিক উত্তর নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে দুটি মাত্রা দ্বারা তল সৃষ্টি হয় সেগুলো কী কী?

সমাধান:
এ দুটি মাত্রা দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ একত্রে একটি তল সৃষ্টি করে, যা দুটি মাত্রার সমন্বয়ে একটি সমতল বা 2D ক্ষেত্র তৈরি হয়। এতে উচ্চতা বা তৃতীয় মাত্রা থাকে না, তাই এটি একটি সমতল পৃষ্ঠ হিসেবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বইয়ের পাতা বা একটি টেবিলের উপরিভাগ এই দুটি মাত্রা দিয়েই তৈরি।

১৩,১১২.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

ক
180°
খ
95°
গ
90°
ঘ
47.5°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ 47.5° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
পরিধিস্থ কোণ = 47.5°

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণ = 2 × পরিধিস্থ কোণ
= 2 × 47.5°
= 95°

সুতরাং কেন্দ্রঃস্থ কোণ 95°।

১৩,১১৩.

সরল সুদের হার শতকরা কত হলে ৮ বছরে সুদে আসলে ‍দ্বিগুণ হবে?

ক
ক) ১০%
খ
খ) ১১.৫০%
গ
গ) ১২.৫০%
ঘ
ঘ) ১৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল সুদের হার শতকরা কত হলে ৮ বছরে সুদে আসলে ‍দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
আসল ১০০ টাকা
৮ বছরে সুদে আসলে হয় (১০০ × ২) = ২০০ টাকা।

সুদ = (২০০ - ১০০) = ১০০ টাকা।
১০০ টাকার ৮ বছরের সুদ ১০০ টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১০০/৮ = ১২.৫ টাকা
∴ সুদের হার ১২.৫%

১৩,১১৪.

৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
০
খ
৩/৪
গ
৪/৫
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা আছে ১০টি
আবার,
বিজোড় সংখ্যা আছে ৩১, ৩৩, ৩৫, ৩৭, ৩৯ = ৫টি
এবং ৭ এর গুণিতক আছে ৩৫ = ১টি

∴ অনুকূল সংখ্যা = ৫ + ১ − ১ = ৫টি ;[ উভয় অংশ ৩৫ আছে]

∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা ৭ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/১০ = ১/২

১৩,১১৫.

যদি a + a^{- 1} = √7 হয়, তাহলে a² + a^{- 2} এর মান কত হবে?

ক
3
খ
5
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + a^{- 1} = √7 হয়, তাহলে a² + a^{- 2} এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a^{- 1} = √7
⇒ a + (1/a) = √7

প্রদত্ত রাশি = a² + a^{- 2}
= a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√7)² - 2
= (7 - 2)
= 5

১৩,১১৬.

ক
sin²x
খ
tan2x
গ
tanx
ঘ
cos²x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
আমরা জানি,

সুতরাং,

১৩,১১৭.

৫/৭ ও ১০/১১ এর ল.সা.গু কোনটি?

ক
৫
খ
১৫
গ
১০
ঘ
৭৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫/৭ ও ১০/১১ এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান :
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে,
৫, ১০ লবগুলোর ল.সা.গু = ১০
৭, ১১ হরগুলোর গ.সা.গু = ১

সুতরাং ৫/৭ ও ১০/১১ এর ল.সা.গু = ১০/১ = ১০

১৩,১১৮.

কোন শর্তে a^x = b^x হলে, a = b হবে?

ক
ক) a > 0, b < 0, x ≠ 1
খ
খ) a < 0, b > 0, x ≠ 1
গ
গ) a > 0, b > 0, x = 0
ঘ
ঘ) a > 0, b > 0, x ≠ 0

ব্যাখ্যা

a > 0, b > 0, x ≠ 0 শর্তে,
a^x = b^x হলে, a = b হবে।

১৩,১১৯.

কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 3 হলে ভগ্নাংশটি = কত?

ক
ক) 4/7
খ
খ) 5/6
গ
গ) 11/14
ঘ
ঘ) 2/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 3 হলে ভগ্নাংশটি = কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 11...........(1)
y - x = 3 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 14
y = 7

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 7 =11
x = 11 - 7
x = 4
ভগ্নাংশটি = x/y = 4/7

১৩,১২০.

a³ - a² কে a - 2 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

ক
- 6
খ
2
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - a² কে a - 2 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:

১৩,১২১.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

ক
২৪
খ
৩০
গ
৩৫
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ৫ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৭ক
∴ ৫ক ও ৭ক এর ল.সা.গু = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৩৫
∴ ক = ৬

∴ প্রথম সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৬ = ৩০

১৩,১২২.

6x² - 5x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয় নির্ণয় করুন?

ক
4/3, (- 1/2)
খ
(- 4/3), (- 1/2)
গ
4/3, 1/2
ঘ
3/4, - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 5x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয় নির্ণয় করুন?

সমাধান:
6x² - 5x - 4 = 0
⇒ 6x² - 8x + 3x - 4 = 0
⇒ 2x(3x - 4) + 1(3x - 4) = 0
⇒ (3x - 4)(2x + 1) = 0
⇒ 3x - 4 = 0 অথবা 2x + 1 = 0
∴ x = 4/3 অথবা x = - 1/2

১৩,১২৩.

52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/13
খ
4/13
গ
8/13
ঘ
2/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে 1টি তাস টানা হলে তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস = 52 টি
সাহেবের সংখ্যা = 4 টি
বিবির সংখ্যা = 4 টি

∴ তাসটি সাহেব বা বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (4 + 4)/52
= 2/13

১৩,১২৪.

9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
ক) 6xy
খ
খ) 12xy
গ
গ) 24xy
ঘ
ঘ) 144xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি,
a যোগ করতে হবে
9x² + 16y² + a
= (3x)² + (4y)²+ 2.3x.4y
= (3x)² + (4y)² + 24xy
∴ a = 24xy

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

১৩,১২৫.

'FASHION' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
ক) 720
খ
খ) 360
গ
গ) 180
ঘ
ঘ) 340

ব্যাখ্যা

'FASHION' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3!
=120 × 6
= 720

১৩,১২৬.

একটি পাত্রে 20 লিটার পানি রাখা হয়েছে। যদি পাত্রের দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. এবং প্রস্থ 20 সে.মি. হয়, তবে এর গভীরতা কত?

ক
20 সে. মি.
খ
200 সে. মি.
গ
100 সে. মি.
ঘ
10 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পাত্রে 20 লিটার পানি রাখা হয়েছে। যদি পাত্রের দৈর্ঘ্য 50 সে. মি. এবং প্রস্থ 20 সে.মি. হয়, তবে এর গভীরতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা

আবার,
1 লিটার = 1000 ঘন সে. মি.
20 লিটার = (1000 × 20) = 20000 ঘন সে. মি.

∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= 20000/(50 × 20)
= 20000/1000
= 20

∴ গভীরতা 20 সে. মি.

১৩,১২৭.

m² - n² + 4n - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
m - 2n + 1
খ
m + n - 2
গ
m + n + 2
ঘ
m - n - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m² - n² + 4n - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
m² - n² + 4n - 4
= m² - (n² - 4n + 4)
= m² - {(n)² - 2. n. 2 + (2)²}
= m² - (n - 2)²
= {m + (n - 2)} {m - (n - 2)}
= (m + n - 2) (m - n + 2)

১৩,১২৮.

৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

ক
৩!৮!৪!৪!
খ
৩!৮!
গ
৪!৪!
ঘ
৮!৪!৪!

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জন বাংলাদেশি, ৪ জন আমেরিকান ও ৪ জন ইংরেজ একটি সারিতে কত উপায়ে বসতে পারবে যেন একই জাতির মানুষ একসাথে বসবে?

সমাধান:
৩টি জাতি জাতিগতভাবে বসতে পারে ৩! উপায়ে।
৮ জন বাংলাদেশি নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৮! উপায়ে
৪ জন আমেরিকান নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে
৪ জন ইংরেজ নিজেদের মাঝে বসতে পারে ৪! উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় ৩!৮!৪!৪!

১৩,১২৯.

সমাধান করুনঃ x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

ক
ক) (x, y) = (4, 2)
খ
খ) (x, y) = (6, 3)
গ
গ) (x, y) = (2, 1)
ঘ
ঘ) (x, y) = (8, 4)

ব্যাখ্যা

x^y = y^x
or, x = y^x/y
or, 2y = y² [ x = 2y]
অতএব, y = 2
অতএব, x = 4

১৩,১৩০.

একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি. হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ত্রিভুজটি সমকোণী
খ
ত্রিভুজটি সূক্ষ্মকোণী
গ
ত্রিভুজটি স্থুলকোণী
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি. হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1 সে.মি., √3 সে.মি. এবং 2 সে.মি.

∴ 1² + (√3)²
= 1 + 3
= 4
= 2²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১৩,১৩১.

(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ = কত?

ক
3/4
খ
- 3/4
গ
4/3
ঘ
- 4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:(sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = 7 হলে, tanθ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ + cosθ/sinθ - cosθ = 7
বা, (sinθ + cosθ + sinθ - cosθ)/(sinθ + cosθ - sinθ + cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1)
বা, 2sinθ/2cosθ = 8/6
বা, sinθ/cosθ = 4/3
∴ tanθ = 4/3

১৩,১৩২.

১৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ৩ ঘন্টায় সম্পন্ন করতে পারে। উক্ত কাজটি সম্পন্ন করতে ৫ জন শ্রমিকের কত সময় লাগবে?

ক
ক) ১৫/১৬ ঘণ্টা
খ
খ) ১৫ ঘণ্টা
গ
গ) ৩৮/৫ ঘণ্টা
ঘ
ঘ) ৪৮/৫ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৬ জন শ্রমিক একটি কাজ ৩ ঘন্টায় সম্পন্ন করতে পারে। উক্ত কাজটি সম্পন্ন করতে ৫ জন শ্রমিকের কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১৬ জন শ্রমিক একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে = ৩ ঘন্টায়
১ জন শ্রমিক একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে = (৩ × ১৬) ঘন্টায়
৫ জন শ্রমিক একটি কাজ সম্পন্ন করতে পারে = (৩ × ১৬)/৫ ঘন্টায়
= ৪৮/৫ ঘন্টায়

১৩,১৩৩.

x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) 4xy
খ
খ) 8xy
গ
গ) 6xy
ঘ
ঘ) 2xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (- 4)² + 2xy + 2y(- 4) + 2(- 4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy

∴ 2xy যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

১৩,১৩৪.

3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

ক
8
খ
12
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ....… ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো,
3 + 6 + 12 + 24 + …
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2 ; r > 1

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 3 × (2ⁿ - 1)/(2 - 1) ; [এখানে a = 3, r = 2]
= 3 × (2ⁿ - 1)

প্রশ্নানুসারে,
3 × (2ⁿ - 1) = 765
⇒ 2ⁿ - 1 = 765/3
⇒ 2ⁿ - 1 = 255
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

১৩,১৩৫.

দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
5/6
খ
1/6
গ
3/10
ঘ
5/36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6
= 36

লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার অনুকূল ঘটনা
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
= 6 টি

একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

১৩,১৩৬.

f(x) = (x² + 2x + 5)/(x - 2) হলে x ≠ ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = (x² + 2x + 5)/(x - 2) হলে x ≠ ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = (x² + 2x + 5)/(x-2)

x = 0 হলে,
f(0) = {0² + (2 × 0) + 5}/(0 - 2)
= - 5/2

x = 1 হলে,
f(1) = {1² + (2 × 1) + 5}/(1 - 2)
= - 8

x = 3 হলে,
f(3) = {3² + (2 × 3) + 5}/(3 - 2)
= 20

অন্যদিকে,
x = 2 হলে,
f(2) = {2² + (2 × 2) + 5}/(2 - 2)
= 13/0
= অসংজ্ঞায়িত মান [ যেহেতু, শুন্য দিয়ে কোন সংখ্যাকে ভাগ করা যায় না।]

সুতরাং, x ≠ 2

১৩,১৩৭.

a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

ক
(a + b - 3c)(a - b + 3c)
খ
(a + b + 3c)(a - b - 3c)
গ
(a - b + 3c)(a - b - 3c)
ঘ
(a + b - 3c)(a + b + 3c)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2 . b . 3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c)(a - b + 3c)

১৩,১৩৮.

সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি -

ক
সসীম সেট
খ
অসীম সেট
গ
ফাঁকা সেট
ঘ
সার্বিক সেট

ব্যাখ্যা

সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

১৩,১৩৯.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে, যেখানে উহার সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 50 সেমি ও ভূমি 60 সেমি?

ক
ক) 1120 বর্গ সেমি
খ
খ) 1200 বর্গ সেমি
গ
গ) 1020 বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) 1100 বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে, যেখানে উহার সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 50 সেমি ও ভূমি 60 সেমি?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) ×(√4a² - b²)
যেখানে b = 60 ও a = 50

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) ×(√4a² - b²)
= (60/4) × {√4. (50)² - (60)²}
= 15 × (√10000 - 3600)
= 15 × (√6400)
= 15 × 80
= 1200 বর্গ সেমি

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সেমি।

১৩,১৪০.

1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3280/2187
খ
364/243
গ
6560/6561
ঘ
1093/729

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 1/3 + 1/9 + ........ ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 < 1
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n= {a.(1 - rⁿ)}/(1 - r) ; যখন r < 1

∴ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি
S₈ = 1{1 - (1/3)⁸} / {(1 - (1/3)}
= {1 - (1/6561) / (2/3)
= (6560/6561) × (3/2)
= 3280/2187

১৩,১৪১.

একজন দোকানদার ১১০ টাকা প্রতি কেজি দরে ক্রয় করা কিছু চিনির সঙ্গে ১০০ টাকা প্রতি কেজি দরে ক্রয় করা দ্বিগুণ পরিমাণ চিনি মিশ্রিত করে তা ১১৫ টাকা প্রতি কেজি দরে বিক্রয় করে মোট ১৪০০ টাকা লাভ করলেন। ঐ দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারের চিনি কত কেজি মিশ্রিত করেছিলেন?

ক
৪৫ কেজি
খ
৬০ কেজি
গ
৮০ কেজি
ঘ
১০০ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১১০ টাকা প্রতি কেজি দরে ক্রয় করা কিছু চিনির সঙ্গে ১০০ টাকা প্রতি কেজি দরে ক্রয় করা দ্বিগুণ পরিমাণ চিনি মিশ্রিত করে তা ১১৫ টাকা প্রতি কেজি দরে বিক্রয় করে মোট ১৪০০ টাকা লাভ করলেন। ঐ দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারের চিনি কত কেজি মিশ্রিত করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম প্রকারের চিনি মিশ্রিত করেন = ক কেজি
দ্বিতীয় প্রকারের চিনি মিশ্রিত করেন = ২ক কেজি

∴ মোট মিশ্রিত চিনি = (ক + ২ক) কেজি = ৩ক কেজি

প্রথম প্রকারের ক কেজি চিনির ক্রয়মূল্য = ১১০ক টাকা
দ্বিতীয় প্রকারের ২ক কেজি চিনির ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২ক) টাকা = ২০০ক টাকা

∴ ৩ক কেজি চিনির ক্রয়মূল্য = (১১০ক + ২০০ক) টাকা = ৩১০ক টাকা

১ কেজি চিনির বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
∴ ৩ক কেজি চিনির বিক্রয় মূল্য = (১১৫ × ৩ক) টাকা = ৩৪৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৩৪৫ক - ৩১০ক = ১৪০০
⇒ ৩৫ক = ১৪০০
⇒ ক = ১৪০০/৩৫
⇒ ক = ৪০

∴ দ্বিতীয় প্রকারের চিনি মিশ্রিত করেন = ২ক কেজি = (২ × ৪০) কেজি = ৮০ কেজি।

১৩,১৪২.

দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬৪০ এবং গ.সা.গু ১৪। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

ক
১৩০
খ
২২৪
গ
২৬০
ঘ
২৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬৪০ এবং গ.সা.গু ১৪। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬৪০ = ল.সা.গু × ১৪
⇒ ল.সা.গু = ৩৬৪০/১৪
∴ ল.সা.গু = ২৬০

১৩,১৪৩.

a - {a - (a - 1)} =?

ক
a
খ
a - 1
গ
1
ঘ
a + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - {a - (a - 1)} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= a - {a - (a - 1)}
= a - {a - a + 1}
= a - {1}
= a - 1

১৩,১৪৪.

একটি স্কুলের ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার মধ্যে ৪/৭ অংশ ছাত্র এবং বাকি অংশ ছাত্রী। যদি ছাত্রদের সংখ্যা ছাত্রীদের সংখ্যা অপেক্ষা ৬০ জন বেশি হয়, তবে ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
১৬০ জন
খ
১৮০ জন
গ
১৭৫ জন
ঘ
২১০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার মধ্যে ৪/৭ অংশ ছাত্র এবং বাকি অংশ ছাত্রী। যদি ছাত্রদের সংখ্যা ছাত্রীদের সংখ্যা অপেক্ষা ৬০ জন বেশি হয়, তবে ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি, ছাত্র ছাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক/৭ জন
∴ ছাত্রী সংখ্যা = ক - (৪ক/৭) = ৩ক/৭ জন

প্রশ্নমতে,
⇒ (৪ক/৭) - (৩ক/৭) = ৬০
⇒ ক/৭ = ৬০
∴ ক = ৪২০

∴ ছাত্রী সংখ্যা = (৩ × ৪২০)/৭ = ১৮০ জন

১৩,১৪৫.

একটি রম্বসের একটি কর্ণ 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
ক) 24 মিটার
খ
খ) 26 মিটার
গ
গ) 20 মিটার
ঘ
ঘ) 22 মিটার

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 (দুই কর্ণের গুনফল)
বা, 1/2 (দুই কর্ণের গুনফল) = রম্বসের ক্ষেত্রফল
বা, 1/2 X 10 X AC = 120
বা, 10AC = 240
∴ AC = 24

১৩,১৪৬.

একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ঃ১। এতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ঃ১ হবে?

ক
৮ গ্রাম
খ
৬ গ্রাম
গ
৪ গ্রাম
ঘ
৩ গ্রাম

ব্যাখ্যা

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১।
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩ + ১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ১৬ গ্রাম
= ১২ গ্রাম।

এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ১৬ গ্রাম = ৪ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১২ + ক)/৪ = ৪/১
বা, ১২ + ক = ১৬
বা, ক = ১৬-১২
বা, ক = ৪ গ্রাম।

১৩,১৪৭.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
১০৪ মিটার
খ
৯২ মিটার
গ
৭৬ মিটার
ঘ
৮৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬১ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬১ মিটার
= ১৯ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (১৯ × ৪) মিটার
= ৭৬ মিটার

১৩,১৪৮.

৫ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলককে ১ মিটার ব্যসার্ধের কয়টি গোলকে রূপান্তরিত করা যাবে?

ক
৬৪টি
খ
১২৫টি
গ
৩২টি
ঘ
১৬টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলককে ১ মিটার ব্যসার্ধের কয়টি গোলকে রূপান্তরিত করা যাবে?

সমাধান:
ধরি,
n সংখ্যক গোলকে রূপান্তরিত করা যাবে।
তাহলে,
n সংখ্যক ছোট গোলকের আয়তন = বড় গোলকের আয়তন।
n × 4/3 π ×(1)³ = 4/3 π ×(5)³
n = 5³
n = 125 টি

১৩,১৪৯.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি, প্রস্থ 3 সে.মি এবং উচ্চতা 12 সে.মি হলে, আয়তাকার ঘরটির মধ্যে রাখা বৃহত্তম দন্ডের দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 সে. মি.
খ
14 সে. মি.
গ
13 সে. মি.
ঘ
15 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি, প্রস্থ 3 সে.মি এবং উচ্চতা 12 সে.মি হলে, আয়তাকার ঘরটির মধ্যে রাখা বৃহত্তম দন্ডের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য, a = 4 সে. মি.
প্রস্থ, b = 3 সে. মি.
উচ্চতা, c =12 সে. মি.

∴ বৃহত্তম দণ্ডের দৈর্ঘ্য বা কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(a² + b² + c²)
= √(4² + 3² + 12²)
= √(16 + 9 + 144)
= √(169)
= 13 সে. মি.

∴ আয়তাকার ঘরের মধ্যে রাখা বৃহত্তম দণ্ডের দৈর্ঘ্য 13 সে. মি.।

১৩,১৫০.

বার্ষিক ১০% হার সুদে ষান্মাসিক চক্রবৃদ্ধিতে ১০০০ টাকার ১ বছরের সুদ কত হবে?

ক
১০০ টাকা
খ
১০২.৫ টাকা
গ
২১০ টাকা
ঘ
২১০.৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে ষান্মাসিক চক্রবৃদ্ধিতে ১০০০ টাকার ১ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সময়, n = ১ বছর = ২ অর্ধবর্ষ
সুদের হার, r = (১০/২)% = ৫% = ৫/১০০ = ০.০৫

আমরা জানি
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(১ + r)ⁿ
= ১০০০(১ + ০.০৫)^২
= ১০০০ × (১.০৫)^২
= ১০০০ × ১.০৫ × ১.০৫
= ১১০২.৫

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১১০২.৫ - ১০০০
= ১০২.৫ টাকা

১৩,১৫১.

একটি দ্রব্য ১,০০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির মূল্য ১০% কম হলে কত টাকা লাভ হত?

ক
ক) ১১৫
খ
খ) ২৫০
গ
গ) ১৫০
ঘ
ঘ) ১৬৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১,০০০ টাকায় ক্রয় করে ১৫% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির মূল্য ১০% কম হলে কত টাকা লাভ হত?

সমাধান:
দ্রব্যটির মূল্য 10% কমে
ক্রয়মূল্য = (1000 × 90)/100 টাকা
= 900 টাকা

15% লাভে বিক্রয়মূল্য = (1000 × 115)/100 টাকা
= 1150 টাকা

∴ মোট লাভ = (1150 - 900) টাকা
= 250 টাকা

১৩,১৫২.

FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

ক
2480
খ
2520
গ
2420
ঘ
2540

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: FREEDOM শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
FREEDOM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি
এখানে,
E আছে 2 টি
বাকি বর্ণগুলো আছে 1 টি করে

বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

১৩,১৫৩.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২৪। সংখ্যা তিনটির গুণফল কত?

ক
৫০৪
খ
৫১০
গ
৫১৫
ঘ
৫২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ২৪। সংখ্যা তিনটির গুণফল কত?

মনেকরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে = ক , ক + ১ এবং ক + ২

শর্তমতে,
⇒ ক + ক + ১ + ক + ২ = ২৪
⇒ ৩ক + ৩ = ২৪
⇒ ৩ক = ২৪ - ৩
⇒ ৩ক = ২১
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যা তিনটির গুণফল = ৭ × (৭ + ১) × (৭ + ২)
= (৭ × ৮ × ৯)
= ৫০৪

১৩,১৫৪.

2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(2x - 3) (x + 1)
খ
(2x + 3) (x - 1)
গ
(2x - 3) (x - 1)
ঘ
(2x + 3) (x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2x² - x - 3
= 2x² - 3x + 2x - 3
= x (2x - 3) + 1 (2x - 3)
= (2x - 3) (x + 1)

১৩,১৫৫.

৯৬ লিটার দুধের মিশ্রণে আগে থেকেই ১২ লিটার পানি মিশানো আছে। দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে চাইলে আরও কত লিটার পানি মিশানো যাবে?

ক
১৬ লিটার
খ
১৮ লিটার
গ
২২ লিটার
ঘ
২৪ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯৬ লিটার দুধের মিশ্রণে আগে থেকেই ১২ লিটার পানি মিশানো আছে। দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে চাইলে আরও কত লিটার পানি মিশানো যাবে?

সমাধান:
মোট মিশ্রণ = ৯৬ লিটার
মিশ্রণে পানি = ১২ লিটার

নতুন দুধ : পানি অনুপাত = ৭ : ৩

মোট মিশ্রণে দুধ আছে = ৯৬ - ১২
= ৮৪ লিটার

নতুন অনুপাত,
৮৪/নতুন পানি = ৭/৩
⇒ ২৫২ = ৭ × নতুন পানি
⇒ নতুন পানি = ২৫২ / ৭
= ৩৬ লিটার

∴ আরও পানি মিশানোর পরিমাণ (৩৬ - ১২) লিটার
= ২৪ লিটার

১৩,১৫৬.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি কত?

ক
৭ ও ১১
খ
১২ ও ১৮
গ
১০ ও ১৬
ঘ
১০ ও ২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৮ । উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২ : ৩ হয়। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যা দুইটি ৫ক ও ৮ক

প্রশ্নমতে
(৫ক + ২)/(৮ক + ২) = ২/৩
১৬ক + ৪ = ১৫ক + ৬
১৬ক - ১৫ক = ৬ - ৪
ক = ২

অতএব
সংখ্যা দুইটি ৫ ×২ = ১০ ও ৮ × ২ = ১৬

১৩,১৫৭.

৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
২০
খ
২৫
গ
২৮
ঘ
৩৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
৬ থেকে ৩৪ পর্যন্ত ৫ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো = ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১০ + ১৫ + ২০ + ২৫ + ৩০ = ১০০
∴ নির্ণেয় গড় = ১০০/৫ = ২০

১৩,১৫৮.

একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ২/৯
খ
খ) ৪/৯
গ
গ) ২/৩
ঘ
ঘ) ১/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পাত্রের মধ্যে লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ । দৈবভাবে পাত্র থেকে একটি বল বাছাই করলে তা হলুদ বল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লাল, হলুদ ও সবুজ বলের অনুপাত ২ : ৩ : ৪
লাল বল আছে = ২ক টি
হলুদ বল আছে = ৩ক টি
সবুজ বল আছে = ৪ক টি

মোট বল = (২ক + ৩ক + ৪ক) = ৯ক টি

হলুদ বল হওয়ার সম্ভাবনা = ৩ক/৯ক = ১/৩

১৩,১৫৯.

(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

সমাধান:
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
বা, (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{- (x - 3)}
বা, x - 1 = - (x - 3)
বা, x - 1 = - x + 3
বা, x + x = 3 + 1
বা, 2x = 4
বা, x = 4/2
∴ x = 2

১৩,১৬০.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 5 সে.মি. বাড়ানো হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. বৃদ্ধি পায়। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

ক
18 সে.মি.
খ
16 সে.মি.
গ
40 সে.মি.
ঘ
20 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 5 সে.মি. বাড়ানো হয়, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 75 বর্গসে.মি. বৃদ্ধি পায়। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ।
দৈর্ঘ্য = 2x এবং প্রস্থ = x
ক্ষেত্রফল = 2x² ............(1)

দৈর্ঘ্য 5 সেমি হ্রাস করা হয়েছে এবং প্রস্থ 5 সেমি বৃদ্ধি করা হয়েছে। ক্ষেত্রফল 75 বর্গসেমি বৃদ্ধি পেয়েছে।
(2x - 5) (x + 5) = 2x² + 75
⇒ 2x² + 10x - 5x - 25 = 2x² + 75
⇒ 5x = 100
⇒ x = 20

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2 × 20 = 40 সে.মি.

১৩,১৬১.

P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∩ B) এর মান কত?

ক
2/3
খ
5/6
গ
1/4
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3) × (3/4)
= 1/4

১৩,১৬২.

২০০০০ টাকা সরল মুনাফায় ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ২৫০০০ টাকা হয়। মুনাফার হার কত?

ক
৪%
খ
৫%
গ
৬%
ঘ
৭%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০০০০ টাকা সরল মুনাফায় ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ২৫০০০ টাকা হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল, P = ২০০০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
মুনাফা, I = ২৫০০০ - ২০০০০ = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার = r
আমরা জানি,
মুনাফার হার, r = I/(Pn)
= (৫০০০ × ১০০)/(২০০০০ × ৫) %
= ৫%

১৩,১৬৩.

একটি দ্রব্য ৭২০ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

ক
ক) ৮০০ টাকা
খ
খ) ৭৯২ টাকা
গ
গ) ৮২০ টাকা
ঘ
ঘ) ৮৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৭২০ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হয়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭২০)/৯০ টাকা
= ৮০০ টাকা

১৩,১৬৪.

কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

ক
৫১%
খ
৩৬%
গ
৪৪%
ঘ
২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৩০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ১০% কমালে
নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ৩০%
= ১০ - ৩
= ৭

তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(৭)^২ = ৪৯π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৪৯π
= ৫১π

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = {(৫১π/১০০π) × ১০০}%
= ৫১%

১৩,১৬৫.

3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

ক
10
খ
- 10
গ
12
ঘ
- 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

সমাধান:
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 3(y - 2) = 4(y + 1)
⇒ 3y - 6 = 4y + 4
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
⇒ y = - 10

১৩,১৬৬.

x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2 .............. (1)
xy = 24

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= (2)² + 4 . 24
= 4 + 96
= 100
(x + y)² = 10²
∴ x + y = 10 ................. (2)

(1) + (2)
x + y = 10
x - y = 2
2x = 12
∴ x = 6

১৩,১৬৭.

একটি বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং বাগানের বাহিরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৯৬ বর্গ মিটার
খ
৪২৪ বর্গ মিটার
গ
৩৫৬ বর্গ মিটার
ঘ
২৮৪ বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার এবং বাগানের বাহিরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩০)^২ = ৯০০ বর্গ মিটার

রাস্তা সহ দৈর্ঘ্য = (৩০ + ৩ + ৩) = ৩৬ মিটার
রাস্তা সহ ক্ষেত্রফল = (৩৬)^২ = ১২৯৬ বর্গ মিটার।

রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১২৯৬ - ৯০০ = ৩৯৬ বর্গ মিটার।

১৩,১৬৮.

একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৮ : ৬। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

ক
২০%
খ
২৩%
গ
২৫%
ঘ
৩০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৮ : ৬। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
গত বছরের বিক্রয় ও এ বছরের বিক্রয়ের অনুপাত ৮ : ৬
ধরি, গত বছরের বিক্রয় = ৮ক টাকা এবং এই বছরের বিক্রয় = ৬ক টাকা
বিক্রয় হ্রাস পেয়েছে = (৮ক - ৬ক) টাকা = ২ক টাকা

∴ বিক্রয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = {(২ক/৮ক) × 100}%
= ২৫%

১৩,১৬৯.

1 থেকে 30 পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো 2, 3 , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
অর্থাৎ 1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 10 টি
1 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নয় = (30 - 10) টি
= 20 টি

∴ মৌলিক সংখ্যা না হবার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 20/30
= 2/3

১৩,১৭০.

গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করতে হলে প্রথমে কোনটি প্রয়োজন?

ক
শ্রেণি সংখ্যা
খ
পরিসর
গ
গণসংখ্যা
ঘ
শ্রেণি ব্যবধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করতে হলে প্রথমে কোনটি প্রয়োজন?

সমাধান:

১৩,১৭১.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
৬০ বর্গমিটার
খ
৪৮ বর্গমিটার
গ
৯৬ বর্গমিটার
ঘ
৫৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে, দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = ক(ক + ৪) বর্গমিটার

দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৩২ মিটার
বা, ২{(ক + ৪) + ক} = ৩২
বা, ২(২ক + ৪) = ৩২
বা, ৪ক + ৮ = ৩২
বা, ৪ক = ৩২ - ৮
বা, ক = ২৪/৪
∴ ক = ৬

∴ ক্ষেত্রফল = ৬(৬ + ৪) = ৬০ বর্গমিটার

১৩,১৭২.

পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘন্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

ক
ক) ৫ মিনিট
খ
খ) ৬ মিনিট
গ
গ) ৪ মিনিট
ঘ
ঘ) ৬ ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘন্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গুই নির্ণেয় সময়
৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু. = ৩০০

∴ ৩০০ সেকেন্ড বা ৫ মিনিট পর আবার ঘন্টাগুলো একত্রে বাজবে।

১৩,১৭৩.

দুইটি কম্পিউটারের দামের অনুপাত ৫ : ৬। প্রথমটির দাম ৫০০০ টাকা বৃদ্ধি পেলে তাদের দামের অনুপাত ১ : ১ হয়। ২য় কম্পিউটারটির দাম কত?

ক
ক) ২৫০০০ টাকা
খ
খ) ২০০০০ টাকা
গ
গ) ৩০০০০ টাকা
ঘ
ঘ) ৩৫০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি কম্পিউটারের দামের অনুপাত ৫ : ৬। প্রথমটির দাম ৫০০০ টাকা বৃদ্ধি পেলে তাদের দামের অনুপাত ১ : ১ হয়। ২য় কম্পিউটারটির দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম কম্পিউটারের দাম ৫ক টাকা
২য় কম্পিউটারের দাম ৬ক টাকা

৫০০০ টাকা বৃদ্ধিতে ১ম কম্পিউটারের দাম হয় (৫ক + ৫০০০) টাকা

শর্তমতে,
(৫ক + ৫০০০)/৬ক = ১/১
বা, ৫ক + ৫০০০ = ৬ক
∴ ক = ৫০০০

∴ ২য় কম্পিউটারের দাম ৬ × ৫০০০ টাকা
= ৩০০০০ টাকা

১৩,১৭৪.

নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 31° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?

ক
62°
খ
59°
গ
15.5°
ঘ
139°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 31° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC, বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC = 31°

∴ ∠BOC = (2 × 31°) = 62°

১৩,১৭৫.

25a² - (3a + 4b)² = কত?

ক
(5a + 3b)(5a - 4b)
খ
(8a + 4b)(5a - 4b)
গ
(8a + 4b)(2a - 4b)
ঘ
(8a + 4b)(2a - 2b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25a² - (3a + 4b)² = কত?

সমাধান:
25a² - (3a + 4b)²
= (5a)² - (3a + 4b)²
= {5a + (3a + 4b)} {5a - (3a + 4b)}
= (5a + 3a + 4b)(5a - 3a - 4b)
= (8a + 4b)(2a - 4b)

১৩,১৭৬.

x² + y² = 13 এবং xy = 6 হলে (x + y)² এর মান কত?

ক
ক) 19
খ
খ) 22
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 27

ব্যাখ্যা

(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 13 + 2 × 6
= 25

১৩,১৭৭.

একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৮ এবং অন্তরফল ২ হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) ৫/৩
খ
খ) ৩/৫
গ
গ) ১/৭
ঘ
ঘ) ২/৭

ব্যাখ্যা

লব + হর = ৮ এবং লব - হর = ২ এই শর্ত পালন করে একমাত্র ক অপশনই৷

১৩,১৭৮.

৪৫০ টাকা দরে ৩ কেজি মিষ্টি ক্রয় করে ৪ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে?

ক
৫৪ টাকা
খ
৬৬ টাকা
গ
৭২ টাকা
ঘ
৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৫০ টাকা দরে ৩ কেজি মিষ্টি ক্রয় করে ৪ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে?

সমাধান:
৩ কেজি মিষ্টির দাম = (৪৫০ × ৩) টাকা
= ১৩৫০ টাকা

১০০ টাকায় ভ্যাট দিতে হবে = ৪ টাকা
১ টাকায় ভ্যাট দিতে হবে = ৪/১০০ টাকা
১৩৫০ টাকায় ভ্যাট দিতে হবে = (৪ × ১৩৫০)/১০০ টাকা
= ৫৪ টাকা

১৩,১৭৯.

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 সে. মি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

ক
12 সে. মি.
খ
18 সে. মি.
গ
24 সে. মি.
ঘ
36 সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 সে. মি হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
⇒ a² = 72
⇒ a = √72
⇒ a = 6√2

∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × a
= √2 × 6√2
= 6 × 2
= 12

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 12 সে. মি.।

১৩,১৮০.

(x - 10)° কোণের সম্পূরক কোণ (x - 30)° হলে, x = ?

ক
110°
খ
115°
গ
120°
ঘ
130°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 10)° কোণের সম্পূরক কোণ (x - 30)° হলে, x = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে।

এখন,
(x - 10)° + (x - 30)° = 180°
⇒ 2x - 40° = 180°
⇒ 2x = 180° + 40°
⇒ 2x = 220°
⇒ x = 220°/2
∴ x = 110°

১৩,১৮১.

tanθ = a/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
sinθ = b/(a² + b²)
খ
cosθ = a/√(a² + b²)
গ
secθ = √(a² + b²)/a
ঘ
cosecθ = √(a² + b²)/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
tanθ = a/b হলে

cosecθ = অতিভুজ/ লম্ব
= √(a² + b²)/a

১৩,১৮২.

প্রতি বছর কোনো শহরের লোক সংখ্যার ৭% জন্মগ্রহণ করে এবং ৩% মারা যায়। এক বছরে ঐ শহরে ৬০০ লোক বৃদ্ধিপ্রাপ্ত হলে ঐ শহরের লোকসংখ্যা কত ছিল?

ক
ক) ১২০০০ জন
খ
খ) ১৬০০০ জন
গ
গ) ১৫০০০ জন
ঘ
ঘ) ১৪০০০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বছর কোনো শহরের লোক সংখ্যার ৭% জন্মগ্রহণ করে এবং ৩% মারা যায়। এক বছরে ঐ শহরে ৬০০ লোক বৃদ্ধিপ্রাপ্ত হলে ঐ শহরের লোকসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
লোকসংখ্যা বৃদ্ধি পায় = (৭ - ৩)% = ৪%

৪ জন বাড়লে লোকসংখ্যা ছিল ১০০ জন
১ জন বাড়লে লোকসংখ্যা ছিল ১০০/৪ জন
৬০০ জন বাড়লে লোকসংখ্যা ছিল (১০০ × ৬০০)/৪ জন
= ১৫০০০ জন

১৩,১৮৩.

পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৫ বছর এবং মাতা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। মাতার বয়স ৫৫ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

ক
৫৫ বছর
খ
৬৫ বছর
গ
৭৫ বছর
ঘ
৬০ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৫ বছর এবং মাতা ও ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। মাতার বয়স ৫৫ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = (৪৫ × ২) = ৯০ বছর

মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = (৪০ × ২) = ৮০ বছর।

∴ পুত্রের বয়স = (মাতা ও পুত্রের বয়স - মাতার বয়স) বছর
= (৮০ - ৫৫) বছর
= ২৫ বছর

∴ পিতার বয়স = (পিতা ও পুত্রের বয়স - পুত্রের বয়স) বছর
= (৯০ - ২৫) বছর
= ৬৫ বছর

∴ পিতার বয়স = ৬৫ বছর।

১৩,১৮৪.

x² - 3x - 40 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কত?

ক
ক) (- 8, 5)
খ
খ) (8,- 5)
গ
গ) (- 8,- 5)
ঘ
ঘ) (8,5)

ব্যাখ্যা

x² - 3x - 40= 0
x² - 8x + 5x - 40= 0
x(x - 8) + 5(x - 8) = 0
(x - 8) (x + 5) = 0

হয় অথবা
x - 8 = 0 x + 5 = 0
x = 8 x = - 5

১৩,১৮৫.

এক কুড়ি কলার দাম ৫০ টাকা হলে, এক ডজন কলার দাম কত টাকা?

ক
৩০ টাকা
খ
৩৬ টাকা
গ
২৪ টাকা
ঘ
২৭ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক কুড়ি কলার দাম ৫০ টাকা হলে, এক ডজন কলার দাম কত টাকা?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কুড়ি = ২০টি
১ ডজন = ১২টি

২০টি কলার দাম = ৫০ টাকা
১টি কলার দাম = ৫০/২০ টাকা
১২ টি কলার দাম = (৫০ × ১২)/২০ টাকা
= ৩০ টাকা

১৩,১৮৬.

৮, ২৫, ১৭, ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

ক
গড় < মধ্যক
খ
গড় = মধ্যক
গ
গড় > মধ্যক
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮, ২৫, ১৭, ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রম অনুসারে সাজালে পাওয়া যায় - ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে
n = ১১
মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

গড় = (৫ + ৮ + ৯ + ১১ + ১২ + ১৫ + ১৭ + ২০ + ২১ + ২৩ + ২৫)/১১
= ১৬৬/১১
= ১৫.০৯০৯

∴ গড় > মধ্যক

১৩,১৮৭.

একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45° । গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

ক
10 মিটার
খ
15 মিটার
গ
20 মিটার
ঘ
30 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত?

সমাধান:

ধরি,
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত
∴ tan 45° = AB/AC
⇒ 1 = 15/a
∴ a = 15 মিটার।

১৩,১৮৮.

x = 10 হলে নিচের কোনটির মান সর্বনিম্ন?

ক
2 - x
খ
x/2
গ
2/x
ঘ
(2 - x)²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 10 হলে নিচের কোনটির মান সর্বনিম্ন?

সমাধান:
উক্ত অপশন অনুযায়ী,
(ক) 2 - x = 2 - 10 = - 8 (ক্ষুদ্রতম)
(খ) x/2 = 10/2 = 5 (বৃহত্তম)
(গ) 2/x = 2/10 = 0.5 (বৃহত্তম) এবং
(ঘ) (2 - x)2 = (2 - 10)2 = (- 8)2 = 64 (বৃহত্তম)

∴ 2 - x এর মান সর্বনিম্ন।

১৩,১৮৯.

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়জন?

ক
৯৯ জন
খ
৯৮ জন
গ
৯৭ জন
ঘ
৯৬ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়জন?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬
= ৯৬ জন

১৩,১৯০.

x³ + 3x² + 3x + 2 এর উৎপাদকে গুলো নিচের কোনটি?

ক
ক) (x - 2)(x² + x + 1)
খ
খ) (x + 1)(x² - x + 1)
গ
গ) (x - 1)(x² - x - 1)
ঘ
ঘ) (x + 2)(x² + x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ + 3x² + 3x + 2 এর উৎপাদকে গুলো নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
f(- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 2
= - 8 + 12 - 6 + 2
= 14 - 14
= 0
∴ x + 2, f(x) এর একটি উৎপাদক।

f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
= x³ + 2x² + x² + 2x + x + 2
= x²(x + 2)+ x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x² + x + 1)

১৩,১৯১.

১৬ জন লোক একটি কাজ ৬ দিনে সম্পন্ন করে। কাজটি ৪ দিন সম্পন্ন করতে কত জন লাগবে?

ক
ক) ২০ জন
খ
খ) ২৮ জন
গ
গ) ২৪ জন
ঘ
ঘ) ৩২ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৬ জন লোক একটি কাজ ৬ দিনে সম্পন্ন করে। কাজটি ৪ দিন সম্পন্ন করতে কত জন লাগবে?

সমাধান:
৬ দিনে কাজটি করতে পারে ১৬ জনে
১ দিনে কাজটি করতে পারে ১৬ × ৬ জনে
৪ দিনে কাজটি করতে পারে (১৬ × ৬)/৪ জনে
=২৪ জনে

১৩,১৯২.

সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৮০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

ক
৩৮৭০০ টাকা
খ
২৬৯০০ টাকা
গ
১৭৮০০ টাকা
ঘ
১৬৮০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৮০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৪ : ৭ : ৮

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৪ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৭ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৮ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৮০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৮ক - ৪ক = ৮০০
⇒ ৪ক = ৮০০
⇒ ক = ৮০০/৪
∴ ক = ২০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৭ × ২০০) = ১৪০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (১৪০০ × ১২) = ১৬৮০০ টাকা

১৩,১৯৩.

যদি a + b = 4 এবং ab = 3 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

ক
67
খ
54
গ
44
ঘ
29

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 4 এবং ab = 3 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 4
এবং ab = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (4)³ - 3.3.4 + 4 (4² - 4.3) [মান বসিয়ে]
=64 - 36 + 4. (16 - 12)
= 64 - 36 + 4 × 4
= 64 - 36 + 16
= 44

:. নির্ণেয় মান 44

১৩,১৯৪.

ক
ক) (a² + b²)/(a² - b²)
খ
খ) (a² - b²)
গ
গ) (a² - b²)/(a² + b²)
ঘ
ঘ) a² /(a² + b²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৩,১৯৫.

কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ সেকেন্ড পর পর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

ক
২ মিনিট
খ
৪ মিনিট
গ
৫ মিনিট
ঘ
৬ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর যথাক্রমে ১৫, ২০, ২৫ এবং ৩০ সেকেন্ড পর পর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১৫, ২০, ২৫ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ৩০০
∴ ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে = ৩০০ সেকেন্ড পর
= ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট

১৩,১৯৬.

টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক
৫০%
খ
২০%
গ
৩০%
ঘ
৩৩%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩টির ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টির ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা

২টির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টির বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা

∴ লাভ হয় =(১/২) - (১/৩)
= (৩ - ২)/৬ টাকা
= ১/৬ টাকা

১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১ × ৩)/৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৩ × ১০০)/৬
= ৫০ টাকা

১৩,১৯৭.

পরপর পাঁচটি সংখ্যার যোগফল ৫৫৫ হলে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত হবে?

ক
১১৮
খ
১১২
গ
১১৫
ঘ
১১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরপর পাঁচটি সংখ্যার যোগফল ৫৫৫ হলে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি ক

∴প্রথম পাঁচটি সংখ্যার সমষ্টি = (ক + ক + ১ + ক + ২+ ক + ৩ + ক + ৪)
=৫ক + ১০

প্রশ্নমতে
৫ক + ১০ = ৫৫৫
⇒ ৫(ক + ২) = ৫৫৫
⇒ ক + ২ = ১১১
⇒ ক = ১১১ - ২
ক = ১০৯

সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ১০৯ + ৪ = ১১৩

১৩,১৯৮.

৭টি সংখ্যার গড় ৫০। এর সাথে ৩ টি সংখ্যা যোগ করা হল। সংখ্যা তিনটির গড় ২১। সমষ্টিগতভাবে ১০ টি সংখ্যার গড় কত?

ক
৪০.৫
খ
৪১.৩
গ
৪২.৮
ঘ
৪৪.৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৫০। এর সাথে ৩ টি সংখ্যা যোগ করা হল। সংখ্যা তিনটির গড় ২১। সমষ্টিগতভাবে ১০ টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৭টি সংখ্যার গড় ৫০।
৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৫০
= ৩৫০

তিনটি সংখ্যার গড় ২১
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ২১ × ৩
= ৬৩

দশটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩৫০ + ৬৩
= ৪১৩

∴ ১০টি সংখ্যার গড় = ৪১৩/১০
= ৪১.৩

১৩,১৯৯.

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২৩
খ
২২
গ
২৪
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৭
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৭
বা, ২ক + ১ = ৪৭
বা, ২ক = ৪৬
∴ ক = ২৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ২৩ + ১ = ২৪

১৩,২০০.

২০০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মা কত টাকা পাবে?

ক
২০০ টাকা
খ
৪০০ টাকা
গ
৬০০ টাকা
ঘ
৮০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মা কত টাকা পাবে?

সমাধান:
ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
∴ খ পায় = ২০০০ এর (৪/৫) টাকা
= ১৬০০ টাকা

আবার,
খ : মা : মেয়ে = ২ : ১ : ১
∴ অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১)
= ৪

∴ মা পায় = ১৬০০ এর (১/৪) টাকা
= ৪০০ টাকা ।