গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: 4x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
প্রদত্ত রাশির সাথে a যোগ করতে হবে
∴ 4x² + 16y² + a
= (2x)² + (4y)² + 2.2x.4y
= (2x)² + (4y)² + 16xy 
= (2x + 4y)²
∴ a = 16xy 

∴ প্রদত্ত রাশির সাথে 16xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন (যেমন শুক্রবার) বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
∴ শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৭)
= (৭ - ৫)/৭
= ২/৭

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 10 < 0
⇒ x² - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2(x - 5) < 0
⇒ (x - 2)(x - 5) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 2) > 0 এবং (x - 5) < 0
⇒ x > 2 এবং x < 5
⇒ 2 < x < 5

ক্ষেত্র ২: (x - 2) < 0 এবং (x - 5) > 0
⇒ x < 2 এবং x > 5

এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 2 < x < 5

প্রশ্ন: ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মুল্যের সমান। ২০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যায়?

সমাধান: 
১৫টি ছাগলের মূল্য = ৩টি গরুর মুল্য
১টি ছাগলের মূল্য = ৩/১৫টি গরুর মুল্য
২০ টি ছাগলের মূল্য = (৩ × ২০)/১৫টি গরুর মুল্য
= ৪টি 

x³ - 9x + 10 = 0
বা, x³ - 0.x² - 9x + 10 = 0
সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি = 0/1
= 0

প্রশ্ন: রিয়া জুন মাসে প্রতিদিন গড়ে ২৮০০ টাকা আয় করে। মাসের প্রথম ১৫ দিন সে প্রতিদিন গড়ে ২০০০ টাকা খরচ করে এবং বাকি দিনগুলোতে প্রতিদিন গড়ে ২৫০০ টাকা খরচ করে। মাস শেষে তার আয় ও সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
জুন মাসে মোট দিন = ৩০
∴ ৩০ দিনে মোট আয় = (২৮০০ × ৩০) টাকা
= ৮৪,০০০ টাকা

প্রথম ১৫ দিনের খরচ = ১৫ × ২০০০ টাকা
= ৩০,০০০ টাকা

পরবর্তী ১৫ দিনের খরচ = ১৫ ×  ২৫০০ টাকা
= ৩৭,৫০০ টাকা

∴ মোট খরচ = ৩০,০০০ + ৩৭,৫০০ = ৬৭,৫০০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ৮৪,০০০ − ৬৭,৫০০ = ১৬,৫০০ টাকা

∴ আয় : সঞ্চয় = ৮৪,০০০ : ১৬,৫০০
= ১৬৮ : ৩৩
= ৫৬ : ১১

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গ মি.

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
⇒ ৪৮ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
⇒ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৪৮ × ২ 
 ∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৯৬ বর্গ মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. করে এবং ভূমি 12 সে.মি.। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 10 সে.মি.
ভূমির দৈর্ঘ্য b = 12 সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (b/4) × √(4a² - b²)
= (12/4) × √{4 × (10)² - (12)²}
= 3 × √(400 - 144)
= 3 × √256
= 3 × 16
= 48 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: একটি বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2, 3 ও 4 মিটার। বাক্সটির বাইরের সাইডে প্রতি বর্গমিটার রং করতে 10.5 টাকা করে খরচ হলে বাক্সটি রং করতে কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2, 3 ও 4 মিটার
আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca ) বর্গ মিটার
= 2{(2 × 3) + (3 × 4) + (4 × 2)} ; [a = 2, b = 3 এবং c = 4]
= 2(6 + 12 + 8)
= 52 বর্গ মিটার

∴ বাক্সটি রং করতে মোট খরচ হবে = 52 × 10.5 = 546 টাকা।

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৩ × ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ৭৫৬ × ২১ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২১ দ্বারা গুণ করতে হবে।

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2)
⇒ z² - z + 2z - 2 = z² + 4z - 2z - 8
⇒ z - 2z = -8 + 2
⇒ z = 6

প্রশ্ন: বার্ষিক কত চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হারে ১৬০০ টাকা ৩ বছরে ১৮৫২.২০ টাকা হবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১৬০০ টাকা
চূড়ান্ত পরিমাণ, A = ১৮৫২.২০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, A = P × (১ + r/১০০)ⁿ
⇒ ১৮৫২.২০ = ১৬০০ × (১ + r/১০০)^৩ 
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ১৮৫২.২০/১৬০০
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ১৮৫২২০/১৬০০০
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = ৯২৬১/৮০০০ 
⇒ (১ + r/১০০)^৩ = (২১/২০)^৩ 
⇒ ১ + r/১০০ = ২১/২০
⇒ r/১০০ = (২১/২০) - ১ 
⇒ r/১০০ = ১/২০
⇒ r = ১০০/২০
∴ r = ৫%

সুতরাং, বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার = ৫%

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১২ : ৫। মাতার বয়স ৪৮ বছর হলে মাতা ও কন্যার বয়সের পার্থক্য কত?

সমাধান:
মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত ১২ : ৫

ধরি, 
মাতার বয়স ১২ক 
কন্যার বয়স ৫ক

প্রশ্নমতে, 
১২ক = ৪৮ 
⇒ ক = ৪৮/১২
∴ ক = ৪

∴ কন্যার বয়স = ৫ × ৪ = ২০ বছর

∴ মাতা ও কন্যার বয়সের পার্থক্য = (৪৮ - ২০) বছর
= ২৮ বছর

প্রশ্ন: যদি R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72} হয়, তবে P(R) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72}

4 ও 6 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
4 = 2²
6 = 2 × 3
∴ ল.সা.গু = 2² × 3 = 12

72 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
12, 24, 36, 48, 60, 72 = 6 টি

∴ R সেটের সদস্য সংখ্যা = 6

আমরা জানি,
n(R) = 6 হলে, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶
∴ P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁶ = 64 টি

অতএব, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 64 টি

আসল ১০০ টাকা হলে ১২ বছরে সুদ = (১২ × ৫) টাকা
= ৬০ টাকা
সুতরাং সুদ-আসল = (১০০ + ৬০) টাকা = ১৬০ টাকা।
সুদ-আসল ১৬০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদ-আসল ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৬০ টাকা
সুদ-আসল ১২৪৮ টাকা হলে আসল (১০০×১২৪৮) / ১৬০ টাকা
= ৭৮০ টাকা।

মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূলঃ
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।
সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে

প্রশ্ন: ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম দূরত্ব ২৪০ কি.মি.। একটি বাস ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে চট্টগ্রাম চলে আসলো পথে বাসটি ১ ঘন্টা যাত্রা বিরতি করলো। বাসটির কার্যকর গতিবেগ কত কিলেমিটার/ঘণ্টা?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দূরত্ব = ২৪০ কি.মি.
মোট সময় = ৬ ঘণ্টা (যাত্রা + বিরতি)
যাত্রা বিরতি = ১ ঘণ্টা
এবং বাস ১ ঘণ্টা বিরতি দিয়েছে, তাই আসল যাত্রার সময় = ৬ - ১ = ৫ ঘন্টা

আমরা জানি, 
গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ২৪০/৫ 
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, বাসটির কার্যকর গতিবেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা। 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y
প্রদত্ত শর্তমতে,
x + y = 98 .....(1)

এবং, 
ছোট সংখ্যা বড় সংখ্যার 2/5 গুণ। অর্থাৎ, y = 2x/5 

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
x + (2x/5) = 98
⇒ (5x + 2x)/5 = 98
⇒ 7x = 98 × 5
⇒ x = (98 × 5)/5
∴ x = 70

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = 70

ধারাটিতে, পরপর দুটি পদের সমষ্টি তাদের পরবর্তী পদ নির্দেশ করে।
১ + ১ = ২
২ + ১ = ৩
৩ + ২ = ৫
৫ + ৩ = ৮
৮ + ৫ = ১৩
১৩ + ৮ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫
সুতরাং কাঙ্ক্ষিত পদটি = ৫৫।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে আপেল ও কমলা ৪ : ৩ অনুপাতে রয়েছে। ঝুড়ি থেকে ১৬টি আপেল সরিয়ে নেওয়া হয় এবং ১২টি কমলা যোগ করা হয়। ফলে আপেল ও কমলার অনুপাত ১ : ১ হয়। ঝুড়িতে প্রথমে মোট কতগুলো ফল ছিল? 

সমাধান:
ধরি, আসল অবস্থায়,
আপেলের সংখ্যা = ৪ক টি
কমলার সংখ্যা = ৩ক টি

এখন, ১৬টি আপেল সরানোর পর এবং ১২টি কমলা যোগ করার পর,
আপেল থাকে = (৪ক - ১৬) টি
কমলা থাকে = (৩ক + ১২) টি

এখন নতুন অনুপাত ১ : ১ অর্থাৎ, আপেল = কমলা
সুতরাং,
৪ক - ১৬ = ৩ক + ১২
⇒ ৪ক - ৩ক = ১২ + ১৬
∴ ক = ২৮

অতএব, আসল সংখ্যা,
আপেল = ৪ × ২৮ = ১১২ টি
কমলা = ৩ × ২৮ = ৮৪ টি

∴ ঝুড়িতে প্রথমে মোট ফল ছিল = ১১২ + ৮৪ = ১৯৬ টি।

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3 

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় নিচের কোনটি?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে, তবে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।

উদাহরণ:
(৩, ৪, ৫)
(৬, ৮, ১০)
(৯, ১২, ১৫)
(৮, ১৫, ১৭)

এখানে,
৯^২ + ১২^২ = ১৫^২
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ ২২৫ = ২২৫

∴ পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য ৯ হলে অন্য সদস্যজোড় হলো (১২, ১৫)।

x² - √5 x + 1
বা, x² + 1 = √5 x
বা, (x² +1)/x = √5
বা, x + 1/x = √5

প্রশ্ন: করিম সাহেব মাসিক বেতন থেকে প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য শতকরা ১৫ ভাগ কর্তনের পর তিনি ৩৪০০ টাকা পান। তার মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
মনে করি,
মাসিক বেতন = ১০০ টাকা
প্রভিডেন্ট ফান্ডের জন্য ১৫ টাকা কর্তনের পর করিম সাহেব পান = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা

এখন,
করিম সাহেব ৮৫ টাকা পান যখন মাসিক বেতন ১০০ টাকা
করিম সাহেব ১ টাকা পান যখন মাসিক বেতন ১০০/৮৫ টাকা
করিম সাহেব ৩৪০০ টাকা পান যখন মাসিক বেতন (১০০× ৩৪০০)/৮৫ টাকা
 = ৪০০০ টাকা ।

∴ তার মাসিক বেতন ৪০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান:


দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুইটির সর্বাধিক সংখ্যায় সাধারণ স্পর্শক অংকন করা যায় ৪টি।

tan330°
= tan(360° - 30°)
= tan(-30)
= -(1/√3)

লাভের হার = (১০-৮)/৮ × ১০০%
= ২/৮ × ১০০%
= ২৫%

প্রশ্ন: 7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
7x + 3y = 27 ..........(1)
এবং
2x - y = 4
∴ y = 2x − 4 ……(2)

এখন y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই, 
7x + 3(2x - 4) = 27
⇒ 7x + 6x - 12 = 27
⇒ 13x - 12 = 27
⇒ 13x = 27 + 12
⇒ 13x = 39
⇒ x = 39/13
∴ x = 3
এখন x = 3 কে (2) নং সমীকরণে বসাই, 
⇒ y = 2(3) - 4
⇒ y = 6 - 4
∴ y = 2

সুতরাং, y এর মান 2

চিত্রে,
A = {1, 2, 6, 7},
B = {1, 4, 5, 6},
C = {1, 2, 3, 4}

∴ A∪B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} 
∴ (A∪B)∩C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}∩{1, 2, 3, 4}
                = {1, 2, 4}

প্রশ্ন: রবি প্রতি কেজি ৪০ টাকা দরে ৫০ কেজি চাউল কিনে ৪৪ টাকা কেজি দরে বিক্রয় করলে কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১ কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা
৫০কেজি চাউলের ক্রয়মূল্য (৪০ × ৫০)
 = ২০০০ টাকা

আবার,
১ কেজি চাউলের বিক্রয়মূল্য ৪৪ টাকা
৫০ কেজি চাউলের বিক্রয়মূল্য (৪৪ × ৫০)
= ২২০০ টাকা

∴ লাভ = (২২০০ - ২০০০) = ২০০ টাকা