গাণিতিক যুক্তি

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য b মিটার এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল = b/4 × √(4a² - b²)

M = (প্রথম পদ + শেষ পদ)⁄২
এখানে, (২+৫০)⁄২ = ২৬
সুতরাং, যোগফল = ২৬ (২৬-১) = ৬৫০

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 5 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁵ = 32 

∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 
= 31 

আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০/১০০
সময়, n = ৩ বছর
এবং মুনাফা, I = ?
এখন, I = pnr
= ১৫০০×৩×১০/১০০
= ৪৫০ টাকা।

প্রশ্ন: tanA = 1 হলে, cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
⇒ A = 45°

∴ cosA
= cos45°
= 1/√2

মোট বল = 10 + 15 = 25 টি
নীল বল তোলার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24) = 3/20
লাল বল তোলার সম্ভাবনা = (15/25) × (14/24) =7/20
মোট সম্ভাবনা = 3/20 + 7/20 = 1/2.

১৯ + ১০ = ২৯
২৯ + ১৪ = ৪৩
৪৩ + ১৮ = ৬১
৬১ + ২২ = ৮৩

α + β + γ
= (১৮০° - C) + (১৮০° - B) + (১৮০° - A)
= ৫৪০° - (A + B + C)
= ৫৪০° - ১৮০°
= ৩৬০°

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}
∴ 10তম পদ = 3 × 2^{10 - 1}
= 3 × 2⁹
= 3 × 512
= 1536

প্রশ্ন: a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

সমাধান:
ab < 0 হলে a এবং b এর যে কোনো একটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু a > b 
সেহেতু b অবশ্যই ঋণাত্মক হবে।

নিশ্চায়ক = ০ (কারণ, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান)
বা, p² - 4.4.9 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12

একটি দ্রব্য ৩৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ৪০ টাকা ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য = ৩৬০ + ৪০ = ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০/৪০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৪০×১০০) / ৪০০ = ১০ টাকা
∴ ১০%

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
(a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
x - 3 = 5 - x
2x = 8
x = 4

প্রশ্ন: a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a < b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।

একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

a < b
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c > b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac > bc

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ২০% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
ব্যাসার্ধ r হলে,
ব্যাস = 2r
ক্ষেত্রফল=πr²

ব্যাস 20% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 20%
= 2r + 2r এর 20/100
= 2r + 2r/5
= (10r + 2r)/5
= 12r/5

বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/5
বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(6r/5)²
= 36πr²/25

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (36πr²/25) - πr²
= (36πr² - 25πr²)/25
= 11πr²/25

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = [{(11πr²/25)/πr²} × 100]% = 44%

এখানে,
r = ৯/২
P = ?
n = ৪
C = ৮২৬
আমরা জানি,
C = P(১+(nr/১০০))
বা, ৮২৬ = P(১+((৪×৯)/(১০০×২)))
বা, ৮২৬ = P(১+(৯/৫০))
বা, ৮২৬ = P((৫০+৯)/৫০)
বা, ৮২৬ = P(৫৯/৫০)
বা, ৫৯P = ৮২৬×৫০
বা, P = (৮২৬×৫০)/৫৯
P = ৭০০ টাকা

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2 . 2x . 3 + 3² - 3²
= (2x - 3)² - 9

∴ 4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: টাকায় ৪ টি এবং টাকায় ৬ টি দরে সমান সংখ্যক আমড়া ক্রয় করে, এক ব্যক্তি টাকায় ৫ টি করে বিক্রয় করলে তার লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
(১ + ১) = ২ টি আমড়ার ক্রয়মূল্য = (১/৪) + (১/৬) টাকা 
= (৩ + ২)/১২ = ৫/১২ টাকা।

আবার,
২ টি আমড়ার বিক্রয়মূল্য = ২/৫ টাকা।

∴ ক্ষতি = (৫/১২) - (২/৫)
= (২৫ - ২৪)/৬০ 
= ১/৬০ টাকা

∴ ৫/১২ টাকায় ক্ষতি হয় = ১/৬০ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = (১২/৫) × (১/৬০) = ১/২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ৪ টাকা 

অতএব, তার ৪% ক্ষতি হয়েছে। 

জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিনে বৃষ্টি হয়েছিল ৫ দিন
বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৫/৭ = ২/৭

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ২০টি বৈদ্যুতিক বাল্ব আছে, যার মধ্যে ৪টি ত্রুটিপূর্ণ। এই বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে দুটি বাল্ব নেওয়া হলো। অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট বাল্ব = ২০টি
ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব = ৪টি
ত্রুটিহীন বাল্ব = ২০ - ৪ = ১৬টি
দুটি বাল্ব এলোমেলোভাবে নেওয়া হচ্ছে(পুনর্বিন্যাস ছাড়া)। 
এখন,
দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা = (১৬/২০) × (১৫/১৯)
= (৪/৫) × (১৫/১৯)
= ১২/১৯ 

অতএব, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (১২/১৯) 
= (১৯ - ১২)/১৯
= ৭/১৯

সুতরাং, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা ৭/১৯

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ৬৫° ও ২৫° হলে, ত্রিভুজটি কোন ধরণের?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি কোণ ৬৫° এবং ২৫°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

∴ তৃতীয় কোণ = ১৮০° - (৬৫° + ২৫°) = ১৮০° - ৯০° = ৯০°।

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে, x² - (1/x²) = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 4x + 1 = 0
⇒ x - 4 + (1/x) = 0 [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= 4² - 4
= 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ x - 1/x = √12
∴ x - (1/x) = 2√3

সুতরাং,
x² - (1/x²)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 4 × (2√3)
= 8√3

ধরি, 
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে , 
৪x + ২x = ৯৬
বা, ৬x = ৯৬ 
বা, x = ৯৬ / ৬ 
x = ১৬ 

সংখ্যাটি ১৬ 

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ৩০% হ্রাস করলে ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১০০ ও প্রস্থ = ১০০
তাহলে,
মূল ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি পেলে:
নতুন দৈর্ঘ্য = ১০০ + ৩০% এর ১০০ = ১৩০
প্রস্থ ৩০% হ্রাস পেলে:
নতুন প্রস্থ = ১০০ - ৩০% এর ১০০ = ৭০
নতুন ক্ষেত্রফল = ১৩০ × ৭০ = ৯১০০
এখন,
ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন = ৯১০০ - ১০০০০ = − ৯০০
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল ৯০০ কমেছে।
শতকরা পরিবর্তন = (৯০০/১০০০০) × ১০০ = ৯
অর্থাৎ ৯% হ্রাস পেয়েছে।

এখানে, ২+৭ = ৯, ৭২ - ২৭ = ৪৫

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
16 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁶C₁ = 16 উপায়ে
15 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 16 × 15 = 240

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 2³ + 3.2
= 14

প্রশ্ন: একটি বই 10% ক্ষতিতে বিক্রি করা হইল। বিক্রয়মূল্য 60 টাকা বেশী হলে 5% লাভ হত। বইটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
10% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = 100 - 10 = 90 টাকা
5% লাভে, বিক্রয়মূল্য = 100 + 5 = 105 টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = 105 - 90 = 15 টাকা

বিক্রয়মূল্য 15 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = 100/15 টাকা 
বিক্রয়মূল্য 60 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (100 × 60)/15 টাকা
= 400 টাকা

সুতরাং, বইটির ক্রয়মূল্য 400 টাকা। 

'DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 3টি E আছে। 3টি E কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 4টি।

(1) সবগুলো ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ⁴C₄
= 1

(2) দুটি অভিন্ন এবং দুটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ²C₂ × ³C₂
= 1 × 3
= 3

(3) তিনটি অভিন্ন এবং একটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ³C₃ × ³C₁
= 1 × 3
=3

সুতরাং মোট শব্দ তৈরি করা যাবে = 1 + 3 + 3
= 7

x > y তাই , 1/x < 1/y
∴ 1/x এর চেয়ে 1/y বড়

প্রশ্ন: যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5x - y = 9 এবং x = 2y ......(1) 
⇒ 5(2y) - y = 9
⇒ 10y - y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = 9/9
∴ y = 1

প্রশ্ন: y = 3x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রেখা-
y = 3x + 1 
এখানে, ঢাল (slope) m₁ = 3 

আমরা জানি, 
কোনো সরলরেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল বের করতে হলে, মূল রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত মান (negative reciprocal) নিতে হয়। যদি মূল রেখার ঢাল m₁ হয়, তবে লম্ব রেখার ঢাল m₂ হবে- 
m₁.m₂ = - 1
বা, 3.m₂ = - 1 
বা, m₂ = - 1/3 

∴ লম্ব রেখার ঢাল = - 1/3  

থলিতে মোট বল আছে = (১২+১৬+২০) = ৪৮ টি।
বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = নীল বলের অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
= ১২/৪৮
= ১/৪

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024