গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x² - 4x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 4x - 12 > 0
⇒ x² - 6x + 2x - 12 > 0
⇒ x(x - 6) + 2(x - 6) > 0
⇒ (x + 2)(x - 6) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 2 এবং x = 6।

(x + 2)(x - 6) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 6), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -2)।

অর্থাৎ, x < - 2 অথবা x > 6।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2) ∪ (6, ∞)

$(-\infty ,\; -2)\cup (6,\infty )$ বলতে বোঝায় যে, - $2$এর চেয়ে ছোট অথবা 6 এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়। 

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1 × (2⁶ - 1)/2 - 1 
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

প্রশ্ন: 5 log3 - log9 = ?

সমাধান:
5 log3 - log9
= 5 log3 - log3²
= 5 log3 - 2 log3
= (5 - 2) log3
= 3 log3
= log3³
= log27

এখানে, ৩, ১, ২ লবগুলোর ল.সা.গু = ৬।
এবং ৫, ৪, ৩ হরগুলোর গ.সা.গু = ১
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
সুতরাং ৩/৫, ১/৪, ২/৩ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬/১
= ৬

43, 23, 19 এই সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। 
16 মৌলিক সংখ্যা নয়। 

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = y

দেওয়া আছে,
লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয়
⇒ (x + 7)/y = 2

এবং,
হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়
⇒ x/(y - 2) = 1

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,
x = y - 2

এখন প্রথম সমীকরণে x এর মান বসাই,
(x + 7)/y = 2
⇒ (y - 2 + 7)/y = 2
⇒ (y + 5)/y = 2
⇒ y + 5 = 2y
⇒ y = 5

∴ x = y - 2
= 5 - 2
= 3

অতএব, ভগ্নাংশটি = 3/5

সঠিক উত্তর:
ক) 3/5

প্রশ্ন: 9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
9^{x + 2} = 81
বা, (3²)^{x + 2} = 3⁴
বা, 3^{2x + 4} = 3⁴
বা, 2x + 4 = 4
বা, 2x = 4 - 4
বা, 2x = 0
বা, x = 0/2
∴ x = 0

প্রশ্ন: ৫০০ এর ২০% এর ২৫% কত?

সমাধান:
৫০০ এর ২০% এর ২৫%
= ৫০০ × (২০/১০০) × (২৫/১০০)
= ৫ × ২০ × (২৫/১০০)
= ১০০ × (২৫/১০০)
= ২৫

অতএব, ৫০০ এর ২০% এর ২৫% হলো ২৫।

২১ = ক এর ৭০%
বা, ২১ = ক এর ৭০/১০০
বা, ৭০ক = ২১০০
বা, ক = ৩০

৬০ লিটার মিশ্রণে আমের রস আছে (৬০×২) / (২+১) = ৪০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৬০-৪০) = ২০ লিটার।
মিশ্রণটিতে আম ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৪০×২) = ৮০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৮০-২০) = ৬০ লিটার

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয় যথাক্রমে x ও x - 6 ডিগ্রী
প্রশ্নমতে,
x + (x - 6) = 90
বা, 2x - 6 = 90
বা, 2x = 96
বা, x = 48
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 48 - 6 = 42 ডিগ্রী।

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ২১ জন ছাত্রের ৩২ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ২৪ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হয়ে গেলো। নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৩২ দিনের খাদ্য আছে ২১ জন ছাত্রের
১ দিনের খাদ্য আছে   (২১ × ৩২) জন ছাত্রের
২৪ দিনের খাদ্য আছে  (২১ × ৩২)/২৪ জন ছাত্রের
= ২৮ জন ছাত্রের

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = (২৮ - ২১) = ৭ জন

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৩
বা, ২ক + ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৩ - ১
বা, ২ক = ৩২
বা, ক = ৩২/২
∴ ক = ১৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৬ + ১ = ১৭

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
a² + b² = 25

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 7² = 25 + 2ab
বা, 49 = 25 + 2ab
বা, 2ab = 49 - 25
বা, 2ab = 24
∴ ab = 12

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (7)³ - (3 × 12 × 7)
= 343 - 252
= 91

{1 - √(x-1)} / {1 + √(x-1)} = 1/5
⇒ {1 - √(x-1) + 1 + √(x-1)} / {1 - √(x-1) - 1 - √(x-1)} = (1+5)/(1-5) [যোজন ও বিয়োজন করে]
⇒ 2 / {-2√(x-1)} = 6/(-4)
⇒ 2 / √(x-1) = 3
⇒ 3√(x-1) = 2
⇒ 9(x-1) = 4 [বর্গ করে]
⇒ 9x - 9 = 4
⇒ 9x = 4 + 9
⇒ x = 13/9

ক্ষদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)° = ৪৫°

এখানে,
sin30° = AB/BC
বা,1/2 = h/(12-h)
বা,2h = 12 - h
বা, h = 4
∴ গাছটি 4 মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল

যে সকল সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা এবং এক(১) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
এবং অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না সেগুলো মৌলিক সংখ্যা।

এক মাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হলো ২।

প্রশ্ন: 4x - 3 = 2x + 7 হলে (x + 1)² এর মান কত?
সমাধান: 
4x - 3 = 2x + 7
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5

∴ (x + 1)² = (5 + 1)² = 36

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার আছে। যদি আরও ২০টি মুরগি ক্রয় করা হয়, তবে ঐ একই পরিমাণ খাবার ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। প্রথমে খামারে কতগুলো মুরগি ছিল?
 
সমাধান:
ধরি,
প্রথমে খামারে মুরগি ছিল 'ক' টি

শুরুতে, ক সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার ছিল।
এর অর্থ হলো, মোট খাবারের পরিমাণ ছিল = ৩০ক  [(মুরগি × দিন)]

আবার,
আরও ২০টি মুরগি কেনা হলে মোট মুরগির সংখ্যা দাঁড়ায় (ক + ২০)টি।
এখন, ঐ একই পরিমাণ খাবার (ক + ২০) টি মুরগির জন্য ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। 

যেহেতু খাবারের মোট পরিমাণ একই আছে,
⇒ ৩০ক = ২৫(ক + ২০)
⇒ ৩০ক = ২৫ক + ৫০০
⇒ ৩০ক - ২৫ক = ৫০০
⇒ ৫ক = ৫০০
∴ ক = ১০০ ​

সুতরাং, প্রথমে খামারে ১০০টি মুরগি ছিল।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 2। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = 3 : 2

ধরি,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3r
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

∴ প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = π × 9r² = 9πr²
∴ দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = π × 4r² = 4πr²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 9πr² : 4πr² = 9 : 4

625(√5)^7x = 1
(√5)^7x = 1/625
5^7x/2 = 5^-4
7x/2 = -4
X = -8/7

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৩ : ৫ : ৭।
ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে ৩ক, ৫ক এবং ৭ক।

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°
⇒ ৩ক + ৫ক + ৭ক = ১৮০°
⇒ ১৫ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/১৫
⇒ ক = ১২°

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ক = ৩ × ১২° = ৩৬°
মধ্যম কোণ = ৫ক = ৫ × ১২° = ৬০°
বৃহত্তম কোণ = ৭ক = ৭ × ১২° = ৮৪°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৮৪°

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 7 এবং y = 6

প্রদত্ত রাশি: 16x² - 40xy + 25y²
= (4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= (4 × 7 - 5 × 6)²
= (28 - 30)²
= (-2)²
= 4

∴ 16x² - 40xy + 25y² এর মান 4

প্রশ্ন: একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন এবং 300 টাকা ব্যয় করেন। তার আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
 একজন লোক সপ্তাহে 450 টাকা আয় করেন 
300 টাকা ব্যয় করেন

সঞ্চয় করেন = (450 - 300) টাকা
= 150 টাকা

∴ আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত = 450 : 150
= 3 : 1

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে, 2sinAcosA = ? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে,
tan A = 1
অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a
∴ অতিভুজ = √(a² + a²) = √(2a²) = √2a

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA
= 2(a/√2a) × (a/√2a)  ; [sinA = লম্ব/অতি, cosA = ভূমি/অতি]
= 2(1/√2) × (1/√2)
= 2/2 
= 1

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি ও 13 সেমি। যদি ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় দৈর্ঘ্যের সমান হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি ও 13 সেমি।

প্রশ্নমতে,
ট্রাপিজিয়ামটির উচ্চতা (h) = বাহুদ্বয়ের গড় মান
= (15 + 13) ÷ 2 সেমি
= 28 ÷ 2 সেমি
= 14 সেমি

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা} বর্গ একক
= 1/2 × (15 + 13) × 14 বর্গ সেমি
= 1/2 × 28 × 14 বর্গ সেমি
= 14 × 14 বর্গ সেমি
= 196 বর্গ সেমি

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = 196 বর্গ সেমি

ধরি, x মিটার পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ২০০ বার বেশি ঘুরবে।
প্রশ্নমতে,
x/4 - x/5 = 200
বা, (5x - 4x)/20 =200
∴ x = 4000
∴ গাড়িটি 4000 মিটার বা 4 কি.মি. পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ২০০ বার বেশি ঘুরবে।

tanθ√(1 - sin²θ)
= tanθ√(cos²θ)
= (sinθ x cosθ)/cosθ
= sinθ

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 0 X (a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 3abc