গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি (m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1}
⇒ (m/n)^{5x - 8} = (m/n)^{- (2x + 1)} 
⇒ 5x - 8 = - (2x + 1) 
⇒ 5x - 8 = -2x - 1
⇒ 5x + 2x = -1 + 8
⇒ 7x = 7
∴ x = 7/7 = 1

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
(1H), (1T), (2H), (2T), (3H), (3T), (4H), (4T), (5H), (5T), (6H), (6T)
ছক্কায় ৫ এবং মুদ্রায় হেড পাবার সম্ভাব্যতা ১/১২

ধরি, হাটার গতিবেগ x মি/সে
এবং দৌড়ের গতিবেগ y মি/সে
১ম শর্তমতে, 10x + 9y = 85
২য় শর্তমতে, 30x + 2y = 130
সমীকরন দুইটি সমাধান করে পাই,
X = 4
Y = 5
হরিণটির হাটার এবং দৌড়ের গতিবেগ যথাক্রমে ৪ মি/সে এবং ৫মি/সে

ধারাটির ১৫ তম পদ = a + (n - 1) d
= 1 + (15 - 1) X 4
= 1 + 14 X 4
= 57

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা ৪/৫ এবং বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৩/১০। ছাত্রটি ফেল করার এবং বৃষ্টি না হওয়ার যৌথ সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
পাস করার সম্ভাবনা = ৪/৫
∴ ফেল করার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৫) = ১/৫

আবার, 
বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১০
∴ বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১০) = ৭/১০

এই দুটি ঘটনা স্বাধীন, তাই যৌথ সম্ভাবনা = গুণফল
= (১/৫) × (৭/১০)
= ৭/৫০

সুতরাং, ছাত্রটি ফেল করার এবং বৃষ্টি না হওয়ার যৌথ সম্ভাবনা ৭/৫০। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১০ = ২০

মনেকরি, রানা, রনি এবং রিনির মার্বেল সংখ্যা যথাক্রমে ১৯a, ৫a, ৭a
∴ ১৯a - ৫a = ৫৬
বা, ১৪a = ৫৬
∴ a = ৪
∴ রিনির মার্বেল সংখ্যা = ৭ × ৪ = ২৮টি

প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 60 জন বাংলা, 30 জন ইংরেজী এবং 15 জন বাংলা ও ইংরেজী উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে কত জন? 

সমাধান: 

মনে করি,
দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে এমন লোকের সেট = S 
তাদের মধ্যে বাংলায় কথা বলতে পারে তাদের সেট  = A
এবং ইংরেজীতে কথা বলতে পারে তাদের সেট = B 

প্রশ্নানুসারে,
n(A) = 60, n(B) = 30, n(A ∩ B) = 15 

এখন,
n(S) = n(A ∪ B) 
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
= 60 + 30 - 15 
= 90 - 15 
= 75 

∴ দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে = 75 জন।

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 8 এবং ab = 8 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 2b = 8 ......... (1)
এবং, ab = 8 ⇒ b = 8/a ......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 2(8/a) = 8
⇒ a + (16/a) = 8
⇒ (a² + 16)/a = 8
⇒ a² + 16 = 8a
⇒ a² - 8a + 16 = 0
⇒ a² - 2 . a . 4 + 4² = 0
⇒ (a - 4)² = 0
⇒ a - 4 = 0
∴ a = 4

∴নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁷C₃ = 680

প্রশ্ন: আরিফ ৩ বছরের জন্য ৬০০ টাকা এবং ৪ বছরের জন্য ৮০০ টাকা ঋণ নিল এবং মোট ২৫০ টাকা সুদ দিল। উভয় ক্ষেত্রে সুদের হার সমান হলে, সুদের হার কত ছিল?

সমাধান:
৬০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৬০০ × ৩) = ১৮০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৮০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ((৮০০ × ৪) = ৩২০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
(১৮০০ + ৩২০০) বা ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ২৫০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ (২৫০/৫০০০) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (২৫০/৫০০০) × ১০০ টাকা
= ৫ টাকা

∴ সুদের হার ৫%।

একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যা = 2x/5
x + 2x/5 = 98
⇒ 5x + 2x = 98 × 5
⇒ 7x = 490
⇒ x = 70
∴একটি সংখ্যা = 70; অপর সংখ্যা = 28

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 100 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)} 
= 5 + (99 × 3) 
= 5 + 297 
= 302

প্রশ্ন: ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাসের হার কত? 

সমাধান: 
৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ৪২ জন 
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = ৪২/৬০ জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে = (৪২ × ১০০)/৬০ জন 
= ৭০ জন 

∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাস করে = (১০০ - ৭০) জন 
= ৩০ জন। 

প্রশ্ন: (√3, 1) কে পোলার স্থানাঙ্কে প্রকাশ করলে কত হয়? 

সমাধান:
ধরি, 
(√3, 1) কে পোলার স্থানাঙ্ক (r, θ)

এখানে, 
r = √[(√3)² + (1)²]
= √4
= 2

আবার, 
θ = tan^-1 (1/√3)
= tan^-1 (1/√3)
= π/6

∴ (√3, 1) এর পোলার স্থানাঙ্ক = (2, π/6)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৩৬ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৬০% + ৩৬ = ক
⇒ ক × (৬০/১০০) + ৩৬ = ক
⇒ (৩ক/৫) + ৩৬ = ক
⇒ ৩৬ = ক - (৩ক/৫)
⇒ ৩৬ = (৫ক - ৩ক)/৫
⇒ ৩৬ = ২ক/৫
⇒ ২ক = ৩৬ × ৫
⇒ ক = ১৮০/২
∴ ক = ৯০

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

∴ সবচেয়ে বেশি বার এসেছে 8 মোট 3 বার
∴ প্রচুরক (Mode) = 8

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান কত কত ডিগ্রি?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = 90°
এবং অন্য দুটি কোণের যোগফল = 90°

ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণ = x°
তাহলে বৃহত্তর সূক্ষ্মকোণ = (x + 12)°

প্রশ্নমতে, 
⇒ x + (x + 12) = 90
⇒ 2x + 12 = 90
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = 39°
বৃহত্তর কোণ = 39° + 12° = 51°
সমকোণ = 90°

সুতরাং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির মান 39°, 51° এবং 90°।

প্রশ্ন: কতজন বালিকাকে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি আপেল সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে আমরা এমন সংখ্যা খুঁজছি যা ১২৫ এবং ১৪৫ উভয়কেই সমানভাবে ভাগ করতে পারে। অর্থাৎ, আমাদের খুঁজতে হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু.।

১২৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৫, ১২৫
১৪৫ এর গুণক: ১, ৫, ২৯, ১৪৫

সাধারণ গুণক: ১, ৫
সর্বাধিক সাধারণ গুণক / গ.সা.গু. = ৫

∴ ৫ জন বালিকাকে সমানভাবে ভাগ করা যাবে।

বাহুর দৈর্ঘ্য a মি. হলে ক্ষেত্রফল = √৩/৪ a² = 64√৩
বা, a² = ৬৪ × ৪
বা, a = ১৬ মি.
∴ পরিসীমা = ৩a = ৪৮ মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² + 2y - 1 -এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= (x)² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ৩০, ৩৫, ৪০
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১১ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৫ এর গুণিতক = ২ + ৩ = ৫টি
তাহলে সম্ভাবনা = ৫/১১

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২)=৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 4(y + 1) = 3(y - 2)
⇒ 4y + 4 = 3y - 6
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
∴ y = - 10

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য x মিটার হয়
তবে, x<^২ = ১০০০০
∴ x = ১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি. এবং লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ সে. মি. ও ১০ সে. মি.
লম্ব দূরত্ব ৮ সে. মি.

∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × লম্ব দূরত্ব 
= (১/২) × (১২ + ১০) × ৮
= (১/২) × ২২ × ৮
= ১১ × ৮
= ৮৮ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

ধরি,
দৈর্ঘ্য = a ও প্রস্থ b মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ab = 120 বর্গমি.
প্রশ্নমতে, a² + b² = 17²
বা, (a + b)² - 2ab = 289
বা, (a + b)² - 2.120 = 289
বা, (a + b)² = 529
বা, a + b = 23

∴ পরিসীমা = 2 (a + b) = 46 মি.

প্রশ্ন: ৩০ জন লোক একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করে। ১৫ জন লোক ঐ কাজ অতিরিক্ত কত সময়ে শেষ করবে?

সমাধান: 
মোট কাজ = ৩০ × ৩ = ৯০ জন-ঘন্টা

আবার,
১৫ জন কাজ করতে সময় লাগবে,
মোট কাজ = জন × ঘণ্টা
⇒ ৯০ = ১৫ × ঘন্টা
⇒ ৯০/১৫ = ঘন্টা
⇒ ঘন্টা = ৬ 

অতিরিক্ত সময় = (৬ - ৩) ঘণ্টা = ৩ ঘণ্টা

∴অতিরিক্ত সময় = ৩ ঘণ্টা