গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান:
সব ভগ্নাংশে লব (উপরের সংখ্যা) হচ্ছে ২। তাহলে যে ভগ্নাংশের হর (নিচের সংখ্যা) বেশি, সেটাই সবচেয়ে ছোট হবে। কারণ: যত বেশি হর, তত ছোট ভগ্নাংশ (যদি লব সমান থাকে)।

অপশন অনুযায়ী:
২/২৪ = ০.০৮৩
২/২৫ = ০.০৮
২/২৬ = ০.০৭৭
২/২৭ = ০.০৭৪ ← সবচেয়ে ছোট

সাকিবঃমুশফিক = ৩ঃ২ = (৩×৩):(২×৩) =৯ঃ৬
মুশফিকঃ তামিম = ৩ঃ২ =(৩×২):(২×২) =৬ঃ৪
সাকিবঃমুশফিকঃতামিম = ৯ঃ৬ঃ৪
ধরি, সাকিব, মুশফিক ও তামিমের রান যথাক্রমে ৯ক, ৬ক ও ৪ক।
প্রশ্নমতে, ৯ক+৬ক+৪ক = ২০৯
বা, ১৯ক = ২০৯
∴ ক = ২০৯/১৯ = ১১
সুতরাং, মুশফিকের রান = ৬ক = ৬×১১ = ৬৬

উভয় ভাষায় কথা বলে = বাংলায় বলে + ইংরেজিতে বলে - মোট লোকজন
= ৩৫+১০-৪০
= ৫ জন।

প্রশ্ন: ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬৫ জন ক্রিকেট, ৪৫ জন ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলায় এবং প্রত্যেকেই অন্তত একটি খেলায় অংশগ্রহণ করেন। ফুটবলে কতজন অংশগ্রহণ করেন?

সমাধান:
এখানে, ছাত্র সংখ্যা n(U) = ১০০ জন
ক্রিকেট খেলে n(C) = ৬৫ জন
ক্রিকেট ও ফুটবল উভয় খেলে n(C ∩ F) = ৪৫ জন
কমপক্ষে একটি খেলায় অংশগ্রহণ করে n(C ∪ F) = ১০০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
⇒ ১০০ = ৬৫ + n(F) - ৪৫
⇒ ১০০ = ২০ + n(F)
∴ n(F) = ৮০

অর্থাৎ, ফুটবলে অংশগ্রহণ করে ৮০ জন।

মধ্যবর্তী কোণ = ৩৬০° - {(৬০ x H - ১১ x M)/২}°
= ৩৬০° - {(৬০ x ৮ - ১১ x ০)/২}°
= ৩৬০°-২৪০°
= ১২০°

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের উপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। 
PT ⊥ OP এবং ∠OPT = 90° 

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪ = ২ × ২  
৬ = ২ × ৩  
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০
অর্থাৎ ১৮০ সেকেন্ড পরে ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

এখন,  
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট  
∴ ১৮০/৬০ = ৩ মিনিট

∴ ৩ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x + 2| < 5 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
|3x + 2| < 5
⇒ - 5 < 3x + 2 < 5
⇒ - 5 - 2 < 3x + 2 - 2 < 5 - 2
⇒ - 7 < 3x < 3
⇒ - 7/3 < 3x/3 < 3/3
⇒ - 7/3 < x < 1

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 35 বর্গসে.মি. এবং একটি কর্ণ 7 সে.মি. হলে অপর কর্ণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 35 বর্গসে.মি.
একটি কর্ণ = 7 সে.মি.
ধরি, অপর কর্ণ = d

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (প্রথম কর্ণ × দ্বিতীয় কর্ণ)

প্রশ্নমতে,
(1/2) × 7 × d = 35
বা, 7 × d = 35 × 2
বা, 7d = 70
বা, d = 70/7
∴ d = 10

∴ অপর কর্ণের পরিমাণ = 10 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২.৫ গুণ। বাগানের প্রস্থ ৩৬ মিটার হলে, বাগানের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বাগানের প্রস্থ = ৩৬ মিটার 
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = (৩৬ × ২.৫) মিটার 
= ৯০ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২ × (৯০ + ৩৬) মিটার 
= (২ × ১২৬) মিটার
= ২৫২ মিটার 

∴ বাগানের পরিসীমা = ২৫২ মিটার ।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার = ৪৫০ মিটার

ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি,
১ কি.মি = ১০০০ মিটার
⇒ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
⇒ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড = ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন,
৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে
= ৫৪ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্নঃ একজন ব্যবসায়ী ১২০ টাকায় ৬ কেজি আলু ক্রয় করেন। পরে তিনি ৫ কেজি আলু ১২০ টাকায় বিক্রি করেন। তাঁর শতকরা লাভ কত?

সমাধানঃ
১ কেজি আলুর ক্রয়মূল্য = ১২০/৬
= ২০ টাকা

১ কেজি আলুর বিক্রয়মূল্য = ১২০/৫
= ২৪ টাকা

লাভ = ২৪ - ২০ = ৪ টাকা 

২০ টাকায় লাভ হয় ৪ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় ৪/২০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (৪ × ১০০) / ২০ 
= ২০% 

∴ব্যবসায়ীর শতকরা লাভ ২০% 

5¹² + 5¹³ = 5¹² + 5¹².5¹ = 5¹²(1 + 5) = 6.(5¹²)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ সা.গু ৪ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = ৫ক এবং ৭ক
∴ গ.সা.গু = ক
∴ ক = ৪

∴ প্রথম সংখ্যা = ৫ × ৪ = ২০
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭ × ৪ = ২৮

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
⇒ ২০ × ২৮ = ৪ × ল.সা.গু
⇒ ৫৬০ = ৪ × ল.সা.গু
∴ ল.সা.গু = ৫৬০/৪ = ১৪০

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং প্রথম 49 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = 49(49+1)/2
= 49 × 50/2
= 49 × 25
= 1225
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

^{প্রশ্ন:} a^a√a = (a√a)^a হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
a^a√a = (a√a)^a
⇒ (a^a)^√a = (a.a^1/2)^a
⇒ (a^a)^√a = {a^{1 + (1/2)}}^a
⇒ (a^a)^√a = (a^3/2)^a
⇒ (a^a)^√a = (a^a)^3/2
⇒ √a = 3/2
⇒ (√a)² = (3/2)² 
∴ a = 9/4

প্রশ্ন: Z = {x ∈ N : x ≤ 4} হলে, P(Z) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 এর সমান বা ছোট।
Z = {1, 2, 3, 4}
∴ Z সেটে উপাদান সংখ্যা = 4

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(Z) = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
এখানে,
2 আছে 2 বার।
3 আছে 3 বার।
5 আছে 1 বার।

যেহেতু মৌলিক উৎপাদকদের মধ্যে 3 সবচেয়ে বেশি বার রয়েছে (3 বার),
∴ 540 এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = 3

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফ শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 100 একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (100)² বর্গ একক
= 10000 বর্গ একক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (100 + 100 এর 10%) একক 
= (100 + 100 এর 10/100) একক 
= (100 + 10) একক 
= 110 একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (110)² = 12100 বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (12100 - 10000) বর্গ একক = 2100 বর্গ একক 

এখন,
10000 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100 বর্গ একক
∴ 1 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = 2100/10000 বর্গ একক
∴ 100 বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(2100 × 100)/10000} বর্গ একক
= 21 বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = 21%

প্রথম রাশি, a + b = (a + b),
দ্বিতীয় রাশি, a² - b² = (a + b)(a - b),
তৃতীয় রাশি, a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

∴ ল.সা.গু = (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)
= (a - b)(a³ + b³)

এখানে তামা ও সোনার অনুপাত = ৩ঃ১
সুতরাং মোট মিশ্রণের অনুপাত = ৩ + ১ = ৪
মিশ্রণে সোনার অনুপাত = ৩/৪ × ২০ গ্রাম
= ১৫ গ্রাম।
এবং মিশ্রণে তামার অনুপাত = ১/৪ × ২০ গ্রাম
= ৫ গ্রাম।
নতুন মিশ্রণে সোনা মিশাতে হবে, (১৫ + ক)/৫ = ৪/১
বা, ১৫ + ক = ২০
বা, ক = ২০ - ১৫
বা, ক = ৫ গ্রাম।

প্রশ্ন: রুবেল ও সালমানের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭ এবং সালমান ও জুয়েলের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। রুবেলের আয় ১৮০০ টাকা হলে জুয়েলের
আয় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রুবেল : সালমান = ৫ : ৭
সালমান : জুয়েল = ৪ : ৫

∴ রুবেল : সালমান : জুয়েল = (৫ × ৪) : (৭ × ৪) : (৫ × ৭) 
⇒ রুবেল : সালমান : জুয়েল = ২০ : ২৮ : ৩৫

আবার, 
দেওয়া আছে, 
রুবেলের আয় = ১৮০০ টাকা
এবং রুবেলের অংশ = ২০

∴ জুয়েলের আয় = {(১৮০০/২০) × ৩৫} টাকা 
= ৩৫ × ৯০
= ৩১৫০ টাকা

 সুতরাং, জুয়েলের আয় = ৩১৫০ টাকা

x এর 0.5% = 2
x = 0.5/100 = 2
x = (2 × 100)/0.5
= 400

১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = 5 - 1 = 4
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 1 + (n-1) × 4
⇒ 89 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 92
⇒ n = 23
সমষ্টি S_n = n/2 {2a + (n-1)d}
= 23/2 {2×1 + (23 -1) × 4}
= 23/2 × 90
= 1035

প্রশ্ন: (p + 10)(p + 12) - 63 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(p + 10)(p + 12) - 63
= p² + 12p + 10p + 120 - 63
= p² + 22p + 57
= p² + 19p + 3p + 57
= p(p + 19) + 3(p + 19)
= (p + 19)(p + 3)

a²-ab+b²
= a²+2ab+b² - 3ab
= (a+b)² - 3ab
= 3² - 3*1
= 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16 

∴ একটি সংখ্যা = 16 
এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4
= 20

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.

5টি আঙ্গুলে 7টি আংটি পরানো যেতে পারে = 5⁷ উপায়ে = 78125

প্রশ্ন: চার অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

পার্থক্য = ৯৯৯৯ - ১০০০ = ৮৯৯৯

দেওয়া আছে, a³ = 343
বা, a³ = 7³
বা, a = 7

প্রশ্ন: x² - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

 সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 8x + 16 = 0
এখানে, a = 1, b = - 8 এবং c = 16

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 8)² - 4 × 1 × 16
= 64 - 64
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
- যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
- যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।