গাণিতিক যুক্তি

ধরি, ভূমি = a cm, উচ্চতা = b cm
∴ পরিসীমা = a + b + 13 = 30
আবার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
a² + b² = 13² = 169
বা, (a+b)² - 2ab = 169
বা, 17² - 169 = 2ab
বা, 2ab = 289 - 169 = 120
বা, 1/2 ab = 30
∴ 1(/2) × ভূমি × উচ্চতা = 30

প্রশ্ন: তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো। তারা যদি যথাক্রমে ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হয়, তবে ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী কত টাকা পাবে? 

সমাধান: 
তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো।

তিনজনের শ্রেণির অনুপাত = ৬ : ৭ : ৮ 

∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৬ + ৭ + ৮ = ২১ 

∴ ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী পাবে = ১০৫০ এর ৬/২১ = ৩০০ টাকা 

দেওয়া আছে,
x + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
বা, x = -(2^1/3 + 2^2/3) .......... (1)
বা, x³ = -(2^1/3 + 2^2/3)³
বা, x³ = -[(2^1/3)+ (2^2/3) + 3.2^1/3.2^2/3(2^1/3 + 2^2/3)]
বা, x³ = -[2 + 4 + 3.2^3/3(-x)] [(1) নং হতে]
বা, x³ = -(6 - 6x)
বা, x³ = -6 + 6x
∴ x³ + 6 = 6x

8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে সৈন্যদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, তাদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং সৈন্যদেরকে বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি সৈন্য সংখ্যা = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
= 3600 জন হয়। এবং এখানের অপশনগুলোর মধ্যে ৩৬০০ই ১২০ এর গুণিতক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

loga+loga²+loga³+ ……. + loga7
= 1.loga + 2.loga + 3.loga + .... + 7 loga
= log (1+2+3+ .... +7)
= loga {(7+1)7/2}
= log a.28
= 28 log a

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হলে 2(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ......(1)
এবং a² + ab + b² = 3 ......(2) 

এখন, (1) নং হতে পাই, 
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
⇒ 3 × (a² - ab + b²) = 3
⇒ (a² - ab + b²) = 3/3
∴ (a² - ab + b²) = 1 .....(3)

এখন, (2) + (3) করে পাই, 
a² + ab + b² = 3
a² - ab + b² = 1
⇒ 2a² + 2b² = 4
∴ 2(a² + b²) = 4

সুতরাং, 2(a² + b²) = 4

প্রশ্ন: ক, খ ও গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ ও ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি 6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
6⁴ ÷ (36)³ × 216 = 6^{(x - 5)}
⇒ 6⁴ ÷ (6²)³ × 6³ = 6^{(x - 5)}
⇒ 6^{(4 - 6 + 3)} = 6^{(x - 5)}   ; [ভাগের ক্ষেত্রে পাওয়ার বিয়োগ হয়]
⇒ 6^{(7 - 6)} = 6^{(x - 5)}
⇒ x - 5 = 1
⇒ x = 1 + 5
∴ x = 6

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৭ এবং ৫ম পদ ৪১ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ৭
এবং ৫ম পদ = ৪১

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
a_৫ = a + (৫ - ১)d
⇒ ৪১ = a + ৪ × ৭
⇒ a + ২৮ = ৪১
⇒ a = ৪১ - ২৮ 
∴ a = ১৩

এখন ১২তম পদ, a_১২  = a + (১২ - ১)d
= ১৩ + (১১ × ৭)
= ১৩ + ৭৭
= ৯০

সুতরাং, ১২তম পদ ৯০। 

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²


বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)²
= 9 × πr²
= 9 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 9 গুণ হবে।

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n-সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
হয়, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়, কারন পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 18

মনে করি টাকার পরিমাণ = a
∴ a এর ৩/৫ = ১০৫ এর ৬/৭
বা, ৩a/৫ = ৯০
∴ a = ১৫০

প্রশ্ন: sin{(nπ)/3} অনুক্রমটির ষষ্ঠ পদ কোনটি?

সমাধান:
sin{(nπ)/3}, n = 6 হলে,
= sin{(6π)/3}
= sin 2π = sin 360°
= sin(4 × 90° + 0°)
= sin 0°
= 0

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের অনুপাত ৫ : ৯। লবের সাথে ৪ যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৮/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = ৫ক
 ভগ্নাংশের হর = ৯ক
∴ মূল ভগ্নাংশ = ৫ক/৯ক

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৪)/৯ক = (৫ক/৯ক) × (৮/৫)
⇒(৫ক + ৪)/৯ক = (৮/৯)
⇒ ৫ক + ৪ = (৮/৯) × ৯ক
⇒ ৫ক + ৪ = ৮ক
⇒ ৮ক - ৫ক = ৪  
⇒ ৩ক = ৪
⇒ ক = ৪/৩

∴ হর = ৯ক = ৯ × (৪/৩)
= ৩ × ৪
= ১২

∴ ভগ্নাংশটির হর হলো ১২।

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৭২০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% লাভ হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হবে?

সমাধান:
​২০% লাভে,
​বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
​বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
​বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭২০)/১২০ টাকা
​= ৬০০ টাকা

আবার,
​১০% ক্ষতিতে,
​ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০ টাকা
​ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০/১০০ টাকা
​ক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৯০ × ৬০০)/১০০ টাকা
​ = ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: x + 2/x = 5 হলে x³ + 8/x³ এর মান কত?
 
সমাধান: 
x³ + 8/x³
= (x)³ + (2/x)³
= (x + 2/x)³ - 3.x.(2/x).(x + 2/x)
= (5)³ - 3 × 2 × 5
= 125 - 30
= 95

প্রশ্ন: দুটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণ সংখ্যা?

সমাধান:
অপশনসমূহের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হচ্ছে - খ) ২,৩ 

3² − 2² = 9 − 4 = 5
যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 

তাই, সঠিক উত্তর: খ) ২,৩ 

x²-5x+6 > 0
⇒ x²-2x-3x+6 > 0
⇒ x(x-2) - 3(x-2) > 0
⇒ (x-2)(x-3) > 0
x > 0 হবে যদি (x-2) ও (x-3) উভয়ই ধনাত্মক বা উভই ঋনাত্মক হয়। তাই সমাধান হবে (-∞,2) ∪ (3,+∞)।

মনেকরি,
মোট বালিকা পরীক্ষার্থী ক জন
∴ মোট পরীক্ষার্থী (১০০+ক) জন
∴ ১২০০×(৫০/১০০)+ক×(৪০/১০০) = (১২০০+ক)×(৪৬/১০০)
বা, ৬০০০০+৪০ক = = ৫৫২০০+৪৬ক
বা ৪৬ক - ৪০ক = ৬০০০০-৫৫২০০
বা ৬ক = ৪৮০০
∴ ক = ৮০০ জন।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাস, d = 26 সে.মি.
ব্যাসার্ধ, r = d/2 = 26/2 = 13 সে.মি

আমরা জানি, 
পরিধি = 2πr
= 2 × 3.1416 × 13
= 26 × 3.1416
= 81.68 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: ৪% হারে আট মাসে ৯০০০ টাকার উপর সুদ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১২ মাস = ১ বছর
১ মাস = ১/১২ বছর
∴ ৮ মাস = ৮/১২ বছর
= ২/৩ বছর

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ৪/১০০ টাকা
∴ ৯০০০ টাকার ২/৩ বছরের সুদ = {৯০০০× (২/৩) × ৪}/১০০ টাকা
= (৯০০০ × ২ × ৪) / (১০০ × ৩) টাকা
= ৭২০০০ / ৩০০ টাকা
= ২৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে ২ টি T (TAIL) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হবে:
= HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি

এর মধ্যে কমপক্ষে ২ টি T (TAIL) আসলে অনুকূল ফলাফল হয় = HTT, THT, TTH TTT অর্থাৎ ৪ টি

মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে ২ টি T (TAIL)) আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২