গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২৩৫০ বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ৫ : ৪ : ৩ হয়, তবে এর প্রস্থ কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ৫ক সে.মি.
ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = ৪ক সে.মি.
এবং উচ্চতা, c = ৩ক সে.মি.

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ২(ab + bc + ac) বর্গ একক।
⇒ ২৩৫০ = ২{(৫ক × ৪ক) + (৪ক × ৩ক) + (৩ক × ৫ক)}
⇒ ২(২০ক২ + ১২ক২ + ১৫ক২) = ২৩৫০
⇒ ৪৭ক২ = ২৩৫০/২
⇒ ৪৭ক২ = ১১৭৫
⇒ ক২ = ২৫
∴ ক = ৫

অতএব, প্রস্থ = ৪ × ৫ = ২০ সে.মি.

x² + y + 3 = 0
বা, 1.x² + 1.y + 3 = 0
বা, 0 = x².1² + y.1 + 3 
এখানে, y = 0, a = x² , b = y, x = 1, ধরলে আমরা পরিবৃত্ত বা প্যারাবোলার সমীকরণ পাই,
y = ax² + bx + c 

উল্লেখ্য,
পরিবৃত্ত: তিনটি শীর্ষবিন্দু যোগ করে যেমন একটিমাত্র ত্রিভুজ হয় তেমনি তিনটি বিন্দুগামী (শীর্ষ) বৃত্তও একটিই, এর নাম পরিবৃত্ত।

প্রশ্নমতে,
πr² = a²
⇒ π×14² = a²
∴ a = 24.81 cm

r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২ বর্গ একক।
∴ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π.1^২ = π বর্গ একক।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 a²

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১২ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১২ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ
=  (১/২) × ১২ × ১২ × sin৩০°
=  (১/২) × ১২ × ১২ × ১/২
= ৩৬ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 180
⇒ 2r(π - 1) = 180
⇒ r = 180/{2(π - 1)}
⇒ r = 90/{(22/7) - 1}
⇒ r = 90/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 90/(15/7)
⇒ r = (90 × 7)/15
⇒ r = 6 × 7
∴ r = 42 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 42 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d

চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d 

দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20

তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15=15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 20/2
= 150

এখানে,
১টি ডিমের ক্রয় মূল্য = ১২০/১২ = ১০ টাকা
১টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ৫০/৪ = ২৫/২
∴ লাভ = (২৫/২) - ১০
= ৫/২ টাকা
লাভের হার = (৫ × ১০০)/(১০ × ২)
= ২৫%

• ৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
• ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ২৫ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২। কী পরিমাণ সোনা মিশালে অনুপাত ৫ : ১ হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ২ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (৩ + ২) = ৫ 
∴ অনুপাতে সোনার পরিমাণ = ২৫ × (৩/৫) গ্রাম = ১৫ গ্রাম 
∴ অনুপাতে তামার পরিমাণ = ২৫ × (২/৫) গ্রাম = ১০ গ্রাম 

ধরি, 
সোনা মিশাতে হবে = ক গ্রাম 

শর্তমতে, 
(১৫ + ক)/১০ = ৫/১
বা, ১৫ + ক = ৫০
বা, ক = ৫০ - ১৫
∴ ক = ৩৫

∴ সোনা মিশাতে হবে = ৩৫ গ্রাম।

মোট বল = 6 + 7 = 13
∴ একটি সাদা ও একটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (6/13 × 7/12) + (7/13 × 6/12)
= 7/(2 × 13) + 7/(2 × 13)
= 7/13

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 2 এবং - 2/3 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = - 2/3 

∴ সাধারণ অনুপাত,r = (- 2/3)/2 = - 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ, ar^{7 - 1} = 2 × (- 1/3)⁶
= 2 × 1/729
= 2/729

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4b^{x - 6} এবং b > 0, b ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
2^{x - 4} = 4b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2² × b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = b^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/b^{x - 6} = 1
⇒ (2/b)^{x - 6} = (2/b)⁰ [∵ (2/b)⁰ = 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 11 তম পদ = a + (11-1)d
= a + 10d
প্রশ্নমতে, a + 10d = 66
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 21টি পদের সমষ্টি = 21/2 {2a + (21-1)d}
= 21/2 (2a + 20d)
= 21/2 × 2 (a+10d)
= 21×(a+10d)
= 21×66
= 1386

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
১২০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ১২০-এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 81 + log 82+ log 83 +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: যদি 5x³ - 2x² + x + p = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x³ - 2x² + x + p
∴ f(3) = 5(3)³ - 2(3)² + 3 + p
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + p
= 135 - 18 + 3 + p
= 120 + p

এখন, 
5x³ - 2x² + x + p এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + p = 0
∴ p = - 120

প্রশ্ন: 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো,
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 2, 8 এবং 32 এর গুণোত্তর গড় = (2 × 8 × 32)^1/3
= (2¹ × 2³ × 2⁵)^1/3
= (2^{1 + 3 + 5})^1/3
= (2⁹)^1/3
= (2)^9/3
= 2³
= 8

∴ গুণোত্তর গড় = 8

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ল.সা.গু = ৬০
গ.সা.গু = ১০
এবং একটি সংখ্যা ৩০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ অপর সংখ্যা = (৬০ × ১০)/৩০
= ৬০০/৩০
= ২০

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২০

১০% লাভে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১১০)/১০০ = ৫৫০ টাকা
১০% কমে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = (৫০০× ৯০)/১০০ = ৪৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ = (৫৫০ - ৪৫০) টাকা।
= ১০০ টাকা।

2x³ + 5x² - 6x - 16
= 2x³ + 4x² + x² + 2x - 8x - 16
= 2x²(x + 2) + x(x + 2) - 8(x + 2)
= (x + 2)(2x² + x - 8)

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
ক্ষেত্রফল πr² = 100π
বা, r² = 100
∴ r = 10

∴ বৃত্তের সমীকরণ,
x² + y² = 10²
বা, x² + y² = 100

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 × 2^{- 2a} = 9 হবে?

সমাধান:
72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 72 × 2^{- 2a} = 9
⇒ 2^{- 2a} = 9/72
⇒ 2^{- 2a} = 1/8
⇒ 2^{- 2a} = 1/2³
⇒ 2^{- 2a} = 2^{- 3}
⇒ - 2a = - 3
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2