গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

আবার, 
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
∴ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

xy = 12 = 2×2×4
∴ (x, y) = (3, 4) অথবা (6, 2) অথবা (1, 12)
∴ x + y = 3 + 4 = 7 বা, 6 + 2 = 8 বা, 1 + 12 = 13
∴ x + y এর সর্বোচ্চ মান = 13

ধরি, কলম কনেছিল ক টি, তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/ক
১টি কলম বেশী পেলে কলমের সংখ্যা হত (ক+১)
তখন, প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/(ক+১)
প্রশ্নমতে,
(২৪০/ক) - ২৪০/(ক+১) = ১
ক = ১৫ বা, -১৬
∴ কলম কিনেছিলো ১৫টি।

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলের ১০ জন খেলোয়াড়ের রানের গড় ৩৫। যদি আরও একজন খেলোয়াড় যোগ হয়, তবে দলের মোট রান ৩৯৬ হয়। ১১তম খেলোয়াড়ের রানের গড় কত?

সমাধান:
প্রথমে ১০ জন খেলোয়াড়ের গড় ৩৫।
∴ ১০ জনের মোট রান = ১০ × ৩৫ = ৩৫০

আবার, 
এখন ১১ জনের মোট রান = ৩৯৬

∴ ১১তম খেলোয়াড়ের রান = ৩৯৬ - ৩৫০ = ৪৬

সুতরাং ১১তম খেলোয়াড়ের রান ৪৬

প্রশ্ন: ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
²⁵P₂ 
= 25!/(25 - 2)!
= [(25 × 24 × 23!)/(25 - 2)!]
=  (25 × 24 × 23!)/(23)!
= 25 × 24
= 600

এবং 
²⁵C₂
= [(25 × 24 × 23!)/2! × (25 - 2)!]
= [(25 × 24 × 23!)/2 × 23!]
= (25 × 24)/2
= 600/2
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂
= 600 - 300 
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = 300

প্রশ্ন: x² + 13x - 90 এর একটি উৎপাদক (x + 18) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 13x - 90
= x² + 18x - 5x - 90
= x(x + 18) - 5(x + 18)
= (x + 18)(x - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক = (x - 5)

প্রশ্ন: f(x) = |x - 3| 
এখানে, x = - 10 হলে, f(x) এর মান কত?  

সমাধান:
প্রদও রাশি = f(x) = |x - 3| 

x = - 10 হলে, 
f(x) = |- 10 - 3| 
= |- 13|
= 13

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: সেট B = {x ∈ N : x³ > 15, x³ < 100} হলে, B = কত?

সমাধান:
x² > 15; এই শর্তে x এর মানের সেট P হবে, P = {4, 5, 6, ...}

x³ < 100; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হবে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট = P ∩ Q
= {4, 5, 6, ...} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}

(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৩ × ২)
= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৬)
= ৪ × ২ - ১
= ৮ - ১
= ৭

log₍₁₀₀₀₎10 = x/3 হলে,
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10¹
বা, 10^x = 10¹
∴ x = 1

বিজয়ী প্রার্থী পায় ৫৫% ভোট এবং পরাজিত প্রার্থী ভোট পায় ৪৫% ভোট।
সুতরাং ভোটের পার্থক্য = (৫৫ - ৪৫)% = ১০%
এখানে ১০% = ১০,০০০ জন
সুতরাং ১০০% = ১,০০,০০ জন।

ধরি, বছর = ক
৮% সুদে ৩৫০ টাকায় 'ক' বছরের সুদ = ৮×ক×৩৫০/১০০ = ১৪০ টাকা
বা, ২৮ক = ১৪০
বা, ক = ৫
অর্থাৎ, ১৪০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে ৫ বছরে।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে দৈবচয়নে একটি নিলে সংখ্যাটি বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা (১ থেকে ১৫ পর্যন্ত): {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫}
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫টি
বিজোড় সংখ্যা- ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫ = ৮টি
এবং ৩-এর গুণিতক-  ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ = ৫টি

এখানে,
উভয় শর্ত পূরণ করে এমন সংখ্যা (বিজোড় এবং ৩-এর গুণিতক)-  ৩, ৯, ১৫ = ৩টি

∴ বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক সংখ্যার মোট সংখ্যা = বিজোড় + ৩-এর গুণিতক - উভয়
= ৮ + ৫ - ৩
= ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ১০/১৫
= ২/৩

সুতরাং, বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৩

প্রশ্ন: sinθ = 1/√2 হলে, cotθ এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে
sinθ = 1/√2
⇒ sinθ = sin45°
∴ θ = 45°

এখন 
cot45° = 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারার উদাহরণ?

সমাধান: 
সমান্তর ধারা: যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 1 + 4 + 7 + 10 + .............. + 22, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 6 - 15 - 24 ......... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, - 15 - (- 6) = - 9
- 24 - (-15) = - 9

৩, ৯, ২৭, ৮১ .....
= ৩^১, ৩^২, ৩^৩, ৩^৪, ৩^৫ ..........
∴ ৩^৫ = ২৪৩

a-{a-(a+1)}
= a-{a-a-1}
= a+1

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ২৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ২৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (২৯ × ১৪)
= ৪০৬ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৪০৬ বর্গ সে.মি.

ধরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা। তাহলে ৭.৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৯২.৫ টাকা।
আবার ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে ক্রয়মূল্য হত ৯০টাকা
এবং ২০% লাভে নতুন বিক্রয়মূল্য হতো ৯০ + ৯০ এর ২০% বা ১৮ টাকা = ১০৮ টাকা।
প্রথম ও দ্বিতীয় বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১০৮ - ৯২.৫ = ১৫.৫ এখন এই ১৫.৫% এর মান ৩১ টাকা
(কারণ দুই বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য হলো ৩১ টাকা এবং ১৫.৫%)
এখন ১৫.৫% = ৩১ হলে ১% = ২ 
∴ ১০০% (ক্রয়মূল্য ) = ২০০ টাকা।
উত্তর: ২০০ টাকা

প্রশ্ন: সাইফুল 13400 টাকায় 4 টি ঘোড়া এবং 9 টি গরু ক্রয় করেন। যদি তিনি ঘোড়াগুলো 10% লাভে এবং গরুগুলো 20% লাভে বিক্রি করেন, তবে তার মোট 1880 টাকা লাভ হয়। দুইটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য H টাকা
একটি গরুর ক্রয়মূল্য C টাকা

সাইফুল 13400 টাকায় 4 টি ঘোড়া এবং 9 টি গরু ক্রয় করেন
প্রশ্নমতে,
4H + 9C = 13400 ................... (1)

ঘোড়ায় 10% এবং গরুতে 20% লাভ হলে মোট লাভ হয় 1880 টাকা
তাহলে,
4H × 10% + 9C × 20% = 1880
⇒ 4H × (1/10) + 9C × (1/5) = 1880
⇒ (2H/5) + (9C/5) = 1880
⇒ (2H + 9C)/5 = 1880
⇒ (2H + 9C) = 1880 × 5
⇒ (2H + 9C) = 9400 ....................(2)

এখন, (1) - (2) ⇒
4H + 9C - 2H - 9C = 13400 - 9400
⇒ 2H = 4000
∴ 2H = 4000

∴ দুইটি ঘোড়ার ক্রয়মূল্য 4000 টাকা।

x⁶ - y⁶
= (x³)² - (x³)²
= (x³ + y³)(x³ - y³)
= (x + y)(x² - xy + y²)(x − y)(x² + xy + y²)
= (x + y)(x − y)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²)

( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
( a² - 16b²) ও ( a + 4b ) লসাগু =( a² - 16b²)
প্রদত্ত রাশি,
=( a² + 16b² )/( a² - 16b²) - ( a - 4b)/( a + 4b )
= { a² + 16b² - ( a - 4b )² }/( a² - 16b²)
= 8ab/( a² - 16b²)

প্রশ্ন: log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3x
⇒ 3log_ba = 3x
⇒ log_ba = x

আবার,
log_ab⁵ = 5y
⇒ 5log_ab = 5y
⇒log_ab = y

∴ xy = log_ba × log_ab 
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

মোট বল = ৫+৭+৩ = ১৫
পুনঃস্থাপন করা হলে মোট বলের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = (৫/১৫)×(৭/১৫)×(৩/১৫) = ৭/২২৫

অঋণাত্মক ধরে, x - 3 < 5
∴ x < 8
ঋণাত্মক ধরে, - (x - 3) < 5
বা, x - 3 > -5
∴ x > -2
অর্থাৎ, -2 < x < 8

∠ABD + ∠ABC = 180°
∴∠ABD = 180° - 60° = 120°
অনুরূপ ভাবে, ∠ACE + ∠ACB =  180°
∴∠ACE = 180° - 60° = 120°
∴ দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি = ∠ABD +∠ACE = 120° + 120° = 240°

প্রশ্ন: ২৫০ মিটার সেতু অতিক্রম করতে ১৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০ সেকেন্ড সময় লাগে, ঐ ট্রেনের ঘন্টার গতি বেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সেতুর দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
∴ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = ১৫০ + ২৫০ = ৪০০ মিটার
এবং সময় ৩০ সেকেন্ড।

আমরা জানি, 
বেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪০০/৩০
= ৪০/৩ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০/৩) × (১৮/৫) কি.মি./ঘণ্টা   ; [১ মিটার/সেকেন্ড = ১৮/৫ কি.মি./ঘণ্টা] 
= (৪০ × ১৮)/(৩ × ৫)
= ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনের বেগ ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ অবশিষ্ট থাকে তাই,
৫২ - ৪ = ৪৮
৭০ - ৬ = ৬৪
৮৮ - ৮ = ৮০

এখন, ৪৮, ৬৪ ও ৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৪ × ৩
৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ = ২^৪ × ৫

∴ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২^৪ = ১৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৬

Let number are = 2x, 3x, 4x
given,
LCM of (2×3×2)x = 12x
12x = 240
x = 20
∴ numbers are 2×20 = 40
3×20 = 60
4×20 = 80
∴ Smaller is 40