গাণিতিক যুক্তি

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮+৮= ৩৬
নবম পদ ৩৬+৯= ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫+১০= ৫৫
একাদশ পদ হবে ৫৫ + ১১ = ৬৬
দ্বাদশ পদ হবে ৬৬ + ১২ = ৭৮

প্রশ্ন: একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 

সমাধান:
সমান্তর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = ভিত্তি × উচ্চতা
প্রাথমিক ভিত্তি b এবং উচ্চতা h

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল: A₁ = b × h

নতুন মান:
ভিত্তি দ্বিগুণ = 2b
উচ্চতা অর্ধেক = h/2
A₂ = 2b × h/2 = b × h = A₁

∴ ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

(3/4)^{x - 1} = (4/3)^{x - 3}
বা, (3/4)^{x - 1} = (3/4)^{-x + 3}
বা, x - 1 = -x + 3
বা, 2x = 4
∴ x = 2

প্রশ্ন: 5 মিটার ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি লোহার গোলক গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতটি গোলক তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 5 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³ / (4/3)πr³
= R³ / r³
= 5³ / 1³
= 125 / 1
= 125 

∴ গোলক তৈরি করা যাবে = 125 টি।

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৬৩। এদের প্রথম পাঁচটির গড় ৬০ এবং শেষ পাঁচটির গড় ৬৫ হলে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
নয়টি সংখ্যার যোগফল = ৯ × ৬৩ = ৫৬৭ 
প্রথম পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬০ = ৩০০
শেষ পাঁচটির যোগফল = ৫ × ৬৫ = ৩২৫

তাহলে,
পঞ্চম সংখ্যাটি = প্রথম পাঁচটির + শেষ পাঁচটির - নয়টির যোগফল
= ৩০০ + ৩২৫ - ৫৬৭
= ৬২৫ - ৫৬৭
= ৫৮

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৭। উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে অনুপাত হয় ১ : ২। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৪ক এবং ৭ক
উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে নতুন অনুপাত ১ : ২ হয়। 
অর্থাৎ, 
⇒ (৪ক - ৩) : (৭ক - ৩) = ১ : ২
⇒ (৪ক - ৩)/(৭ক - ৩) = ১/২
⇒ ৮ক - ৬ = ৭ক - ৩ 
⇒ ৮ক - ৭ক = - ৩ + ৬ 
∴ ক = ৩ 
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৪ × ৩ = ১২ এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭ × ৩ = ২১

অতএব, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ১২ এবং ২১। 

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
এখন, প্রথম দুইটি রাশির যোগফল = 2x² + 2z² 
∴ প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল = 3x² - y² + 3z²

প্রশ্ন: 2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2
= 2.8 + (4 × 2) - 6 × 0.5 + 2
= 2.8 + 8 - 3 + 2
= 12.8 - 3
= 9.8

x² - 5x + 6 < 0
⇒ x² - 3x - 2x + 6 < 0
⇒ x (x - 3) - 2 (x - 3) < 0
⇒ (x - 3) (x - 2) < 0
অর্থাৎ, (x - 3) ও (x - 2) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
2 < x < 3 হলে, x - 3 < 0, এবং x - 2 > 0
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= 10² - 4.24
= 4 
∴ x - y = 2

∴ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
বা, 2x = 12 
∴ x = 6

দেওয়া আছে, x - y = 2, xy = 3
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4.3}
= √16
= ±4

(4848/24)×11−222
=202×11−222
=2222−222
=2000

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
দশমিকে রূপান্তর করে পাই, 
5 ÷ 12 = 0.4167
6 ÷ 13 = 0.4615
11 ÷ 24 = 0.4583
3 ÷ 8 = 0.375

তুলনা:
0.375 < 0.4167 < 0.4583 < 0.4615

∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশ = 6/13

মুনাফা ১৫ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ মুনাফা ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৫ টাকা
∴ মুনাফা ১৬৮০ টাকা হলে আসল (১০০ x ১৬৮০)/১৫ টাকা
= ১১২০০ টাকা

আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহু দেওয়া থাকলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2×বাহুদ্বয়ের গুনফল×sinθ = 1/2(11×12×sin60) = 57.157 বর্গমি.

বাহু সংখ্যা n = ১০
∴ কোণের পরিমাণ = ((n - 2)/n) × ১৮০°
= ((১০ - ২)/১০) × ১৮০°
= ১৪৪°

15a³b²c³ ও 12a⁴bc⁴ এর মধ্যে 3, a³, b এবং c³ উভয় রাশির মধ্যে বিদ্যমান আছে।
∴ গসাগু = 3a³bc³

প্রশ্ন: x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

সমাধান: 
= x² - 10xy - 11y2
= x² - 11xy + xy - 11y²
= x(x - 11y) + y(x - 11y)
= (x - 11y)(x + y)

x² + y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x - y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ 185 = (x + y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x + y)²= 361
⇒ x + y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x + y) + (x - y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x + y) - (x - y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, √x + ১০ = ৪^২
বা, √x = ১৬ - ১০ = ৬
বা, (√x)২ = ৬^২ = ৩৬
∴ x = ৩৬

প্রশ্ন: কেন্দ্র (- 2, 4) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের কেন্দ্র = (- 2, 4)
ব্যাসার্ধ = 5

আমরা জানি,  
বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,
(x - h)² +(y - k)² = r²
⇒ (x + 2)² + {y - 4}² = 5² ; [এখানে h = - 2, k = 4 এবং r = 5]
∴ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ (x + 2)² + (y - 4)² = 25

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, 
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত 
∴ tan 45° = AB/AC 
বা, 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত ।

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১

⁴√x³ = 8
বা, x³ = (8)⁴ = (2⁴)³
বা, x = 2⁴
= 16