ধারা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + …………… এই ধারাটির কোন পদের মান 768?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

∴ n তম পদ = a r^{n - 1}

⇒ 3 × 2^{n -1} = 768
⇒ 2^{n -1} = 768/3
⇒ 2^{n -1}  = 256
⇒ 2^{n - 1}  = 2⁸
⇒ n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ ধারাটির ৯ম পদের মান 768

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 3, শেষ পদ 243 এবং সাধারণ অনুপাত 3 হলে ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 3
প্রথম পদ, a = 3/3 = 1
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 243 = 1 × 3^{n - 1}
⇒ 3⁵ = 3^{n - 1}
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1 = 6

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

এখানে ১ম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d =100
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2a + (n - 1)d} × n/2
∴18 সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2 × 2000 + (18 - 1) × 100} × 18/2 = 51300
∴তিনি প্রথম 18 মাসে মোট জমা করেন = 51300 টাকা

4 → 2²×1
18 → 3²×2
48 → 4²×3
100 → 5²×4
180 → 6²×5
294 → 7²×6

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ....... এই ধারার প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 3
এবং পদ সংখ্যা n = 7

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n টি পদের সমষ্টি, 
Sn = a × [(rⁿ - 1)/(r - 1)]
S₇ = 4 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= 4 × [(3⁷ - 1)/2]
= 4 × [(2187 - 1)/2]
= 4 × [2186/2]
= 4 × 1093
= 4372

∴ 7 টি পদের যোগফল 4372

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶ = 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

এখানে
রাশিগুলো ৩^২,৬^২,৯^২,১২^২,১৫^২, .......এভাবে দেওয়া আছে।
৩^২ = ৯
৬^২= ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪
১৫^২ = ২২৫

তাহলে খালি ঘরে হবে=১৫^২
                                =২২৫

প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1).d
⇒ 71 = 1+(n-1)2
⇒ 71 = 1+2n-2
⇒ 71 + 1 = 2n
⇒ n = 72/2
∴ n = 36
∴ সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 36/2{2×1+(36-1)2}
= 18(2 + 70)
= 18 × 72
= 1296

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 75 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং 
পদসংখ্যা = 75 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(75 + 1) × 75}/2 
= (76 × 75)/2 
= 38 × 75 
= 2850 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d

চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d 

দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20

তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15=15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 20/2
= 150

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 2 এবং - 2/3 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = - 2/3 

∴ সাধারণ অনুপাত,r = (- 2/3)/2 = - 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ, ar^{7 - 1} = 2 × (- 1/3)⁶
= 2 × 1/729
= 2/729

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 11 তম পদ = a + (11-1)d
= a + 10d
প্রশ্নমতে, a + 10d = 66
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 21টি পদের সমষ্টি = 21/2 {2a + (21-1)d}
= 21/2 (2a + 20d)
= 21/2 × 2 (a+10d)
= 21×(a+10d)
= 21×66
= 1386

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 81 + log 82+ log 83 +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৭ এবং ৫ম পদ ৪১ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ৭
এবং ৫ম পদ = ৪১

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
a_৫ = a + (৫ - ১)d
⇒ ৪১ = a + ৪ × ৭
⇒ a + ২৮ = ৪১
⇒ a = ৪১ - ২৮ 
∴ a = ১৩

এখন ১২তম পদ, a_১২  = a + (১২ - ১)d
= ১৩ + (১১ × ৭)
= ১৩ + ৭৭
= ৯০

সুতরাং, ১২তম পদ ৯০। 

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n-সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
হয়, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়, কারন পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 18

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ..... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n
= n × n
= n²

ধারাটি হচ্ছে = ৩^২ = ৯, ৬^২ = ৩৬, ৯^২ = ৮১, ১২^২ = ১৪৪
∴ এর পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১৫^২ = ২২৫

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং প্রথম 49 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = 49(49+1)/2
= 49 × 50/2
= 49 × 25
= 1225
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = 5 - 1 = 4
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 1 + (n-1) × 4
⇒ 89 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 92
⇒ n = 23
সমষ্টি S_n = n/2 {2a + (n-1)d}
= 23/2 {2×1 + (23 -1) × 4}
= 23/2 × 90
= 1035

এখানে a = 27 এবং
r =9/ 27 = 1/3,
সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1}
= 27×(1/3) ^{5 - 1}
= 27 × (1/3)⁴ 
= 27/81
= 1/3

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি, n তম পদ = 383
∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 2n - 2 = 382
⇒ 2n = 384
∴ n = 192

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ................ ধারাটির 15-তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

সমান্তর ধারার n তম পদের সূত্র: 
a_n = a + (n - 1)d
a₁₅ = a + (15 - 1)d
= 1 + (15 - 1) × 4
= 1 + 14 × 4
= 1 + 56  
= 57 

∴ ধারাটির 15-তম পদ 57.

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, 25 ............. সংখ্যাগুলোর পরবর্তী সংখ্যা নীচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া সংখ্যা সিরিজ: 1, 4, 9, 16, 25, ...

প্রতিটি সংখ্যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা:
1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5² 
তাই পরবর্তী সংখ্যা = 6² = 36

∴পরবর্তী সংখ্যা হলো 36

-7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23

পঞ্চম পদ, a + (5 - 1)d = - 15
Therefore, a + 4d = - 15
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি
= 9/2{2a + (9 - 1)d}
= 9/2(2a + 8d)
= 9(a + 4d)
= 9*(- 15)
= - 135

প্রশ্ন: 28 + 25 + 22 + ...... - 23 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 28
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 28 = - 3 
এবং শেষ পদ, l = - 23

আমরা জানি,
ধারার n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d
28 + (n - 1)(- 3) = - 23
⇒ 28 - 3(n - 1) = - 23
⇒ - 3(n - 1) = - 23 - 28 
⇒ - 3(n - 1) = - 51
⇒ 3(n - 1) = 51
⇒ n - 1 = 17
∴ n = 18

ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (18/2) × (28 + (- 23))
= 9 × (28 - 23)
= 9 × 5
= 45

ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
a+3d+a+11d = 20
2a + 14d = 20
S₁₅=15/2{2a+(15-1)d}
= 15/2{2a+14d}
= 15×20/2
= 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3। 10টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n টি পদের যোগফল,
S₁₀= (10/2) [2 × 5 + (10 - 1) × 3]
= 5 [10 + 9 × 3]
= 5 [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

∴ 10টি পদের যোগফল 185

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৬০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = ৪ 
শেষ পদ = ৬০ 
সাধারণ অন্তর, d = (৬ - ৪) = ২

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১ 
= {(৬০ - ৪)/ ২} + ১ 
= (৫৬/২) + ১ 
= ২৮ + ১ 
= ২৯ । 

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ +................... ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৫
সাধারন অন্তর, d = ৬
n = ২২ 

∴ ধারাটির প্রথম ২২ পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২২/২){২ × ৫ + (২২ - ১)৬}
= ১১ × (১০ + ২১ × ৬)
= ১১ × (১০ + ১২৬)
= ১১ × ১৩৬
= ১৪৯৬ 

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি ১৪৯৬

প্রশ্ন: 12 + 17 + 22 + 27 + …...+ 207 = কত? 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 12 = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ, an = a + (n - 1)d 
⇒ 12 + (n - 1)5 = 207
⇒ (n - 1)5 = 207 - 12
⇒ (n - 1)5 = 195
⇒ n - 1 = 195/5
⇒ n - 1 = 39
⇒ n = 39 + 1
∴ n = 40

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S₄₀ = (40/2) × (12 + 207)
= 20 × 219
= 4380