ধারা

১৭-১৩=৪
২৫-১৭=৮
৪১-২৫=১৬
৭৩-৪১=৩২
সুতরাং ৪, ৮, ১৬, ৩২ ক্রম ঠিক রাখতে উত্তর ৭৩ হবে।

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + 20 + ................ ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 10 - 5 = 5 
পদ সংখ্যা n = 12

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₂ = (12/2)[2 × 5 + (12 - 1) × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 11 × 5]
⇒ S₁₂ = 6 [10 + 55]
⇒ S₁₂ = 6 × 6
⇒ S₁₂ = 390

∴ প্রথম 12টি পদের যোগফল 390। 

এখানে,
d = 5
∴ 11তম পদ = a + (11 - 1)d = 54
বা, a + 10 × 5 = 54
বা, a = 54 - 50 = 4
∴ 15তম পদ = 4 + (15 - 1)5
= 4 + 14 × 5
= 4 + 70
= 74

n(n+1)/2
= (99 X 100)/2
= 4950

১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = -9
n তম পদ = a + (n - 1)d
12 তম পদ = 2+ (12 - 1)(-9)
= 2 - 99 = -97

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ....... + 18² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = n(n + 1)(2n + 1)/6

এখানে, শেষ পদ n = 18
∴ সমষ্টি = {18(18 + 1)(2 × 18 + 1)}/6
= {18 × 19 × (36 + 1)}/6
= (18 × 19 × 37)/6
= 3 × 19 × 37
= 57 × 37
= 2109

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ১/২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ১/২
বা, (১/২)^(n-১) = ১/(১২৮×২)
বা, (১/২)^(n-১) = ১/২৫৬
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৮
বা, n-১ = ৮
বা, n = ৯

এখানে।
d = 8, প্রথম পদ a হলে,
7-তম পদ = a + (7 - 1)d = 53
বা, a + 6.8 = 53
বা, a = 53 - 48 = 5
∴ 16-তম পদ = a + (16 - 1)8
= 5 + 15 × 8
= 125

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2 

∴ ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

∴ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি = 6  ।

১ম পদ, a = 5,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৪র্থ পদ = ar^4-1 = 135
বা, 5r³ = 135
বা, r³ = 27 = 3³
∴ r = 3
∴ a = ২য় পদ
= ar
= 5.3
= 15

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 118 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 118

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 118
⇒ 13 + (n - 1)7 = 118
⇒ 13 + 7n - 7 = 118
⇒ 7n + 6 = 118
⇒ 7n = 118 - 6
⇒ 7n = 112
⇒ n = 112/7
⇒ n = 16

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 16

5 + 11 + 17 + ------- + 59
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11-5 = 6
সুতরাং পদসংখ্যা বা n তম পদ = a + (n-1)d
বা, 59 = 5 + (n-1)6
বা, (n-1)6 = 59-5
বা, n-1 = 54/6
বা, n-1 = 9
বা, n = 9+1
বা, n = 10

প্রশ্ন: (√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে? 

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = √3/9
সাধারণ অনুপাত, r = (√3/3) / (√3/9) = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
⇒ ar^{n - 1} = 243√3
⇒ √3/9 × 3^{n - 1} = 243√3
⇒ 3^{n - 1} = 243 × 9
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n -1 = 7
n = 8

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81
= log₃ 3⁵ + log₃ 3³ - log₃ 3⁴
= 5 log₃ 3 + 3 log₃ 3 - 4 log₃ 3
= 5 × 1 + 3 × 1 - 4 × 1 [log_a a = 1]
= 5 + 3 - 4
= 4

a = 6,
r = 12/6 = 2
∴ ৭ম পদ = ar^7-1
= 6.2⁶
= 384

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
n তম পদ = ar^n-1
∴ তৃতীয় পদ ar^3-1 = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar^6-1 = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i) ⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির ৩১ তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,...........
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ)
= (23 - 20)
= 3
এবং পদসংখ্যা, n = 31

∴ ধারাটির ৩১ তম পদ = a + (n - 1) d
= 20 + (31 - 1) × 3
= 20 + (30 × 3)
= 20 + 90
= 110

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + .......... ধারাটির প্রথম 32 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা এবং পদ সংখ্যা, n = 32

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 32 টি পদের সমষ্টি S₃₂ = (32/2) × {2 × 7 + (32 - 1)5}
= 16 × (14 + 31 × 5)
= 16 × 169
= 2704

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, a=1 d=4
∴ n তম পদ = 1 + (n-1)4
=1+4n-4
=4n-3

১ × ৩ = ৩
৩ × ৯ = ২৭
২৭ × ৮১ = ২১৮৭
২১৮৭ × ৬৫৬১ = ১৪৩৪৮৯০৭

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮+৮= ৩৬
নবম পদ ৩৬+৯= ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫+১০= ৫৫
একাদশ পদ হবে ৫৫ + ১১ = ৬৬
দ্বাদশ পদ হবে ৬৬ + ১২ = ৭৮

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₃ = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 48]
⇒ S₁₃ = (13/2) × 54
⇒ S₁₃ = 13 × 27
⇒ S₁₃ = 351

∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351 

১ম পদ (a) = ৪,
সাধারণ অন্তর (d) = ৭ - ৪ = ৩
পদসংখ্যা (n) = ২৮
∴ ২৮-তম পদ = a + (২৮ - ১)d
= ৪ + ২৭ × ৩
= ৮৫

প্রশ্ন: ০.৪ + ০.০৪ + ০.০০৪ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৪ 
= ৪/১০ = ২/৫

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৪/০.৪ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= ০.৪/(১ - ১/১০)
= ০.৪/(৯/১০)
= ৪/৯

log2 + log4 + log 8+.....  
= log2 + log 2² + log 2³+.....
= log2 + 2log 2+ 3log 2 +......
= (1+2+3 +......) log 2
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
সাধারণ অন্তর d= (2-1) log 2 = log 2

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

n তম পদ
= a+(n-1)d
91 = 1+(n-1)3
বা, 91 = 1 + 3n - 3
বা, 3n = 91 + 2
n = 31
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a + (n - 1)d}
= 31/2{2.1 + (31 - 1)3}
= 15.5 × (2 + 90)
= 1426