ধারা

প্রশ্ন: 25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 25
সাধারণ অনুপাত, r = 50/25 = 2

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3200
⇒ 25 × 2^{n - 1} = 3200
⇒ 2^{n - 1} = 3200/25
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {25 × (2⁸ - 1)}/(2 - 1)
= 25 × (256 - 1)
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
প্রথম 10টি পদের সমষ্টি ‍S₁₀ = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/(3 - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/2
= 3¹⁰ - 1

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ 12 তম পদ = 3 × 2^{(12 - 1)}
= 3 × 2¹¹
= 3 × 2048
= 6144

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
20 +(n-1)5 = 140
n = 25

a = 1/2,
r = 1/√2 ÷ 1/2
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n তম পদ = ar^n-1 = 16
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 16
বা, (2^1/2)^{(n - 1)} = 32
বা, 2^{(n - 1)/2} = 2⁵
বা, (n - 1)/2 = 5
বা, n - 1 = 10
∴ n = 11

প্রশ্ন: log5 + log25 + log125 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log5 + log25 + log125 + .............. + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5¹ + log5² + log5³ + ............... + log5¹⁰
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 + ............... + 10 log5
= log5 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}   [∵ 1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n + 1)/2]
= log5 (10 × 11/2)
= log5 (110/2)
= log5 (55)
= 55 log5

∴ প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো 55 log5

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r
∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r⁴ = (1/5)⁴
⇒ r = 1/5
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ a = ৩ সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪

ধরি,

n তম পদ = ২০৩

প্রশ্নমতে,
a + (n-1)d = ২০৩
⇒ ৩ + (n - ১)৪ = ২০৩
⇒ ৩ + ৪n - ৪ = ২০৩
⇒ ৪n - ১ = ২০৩
⇒ ৪n = ২০৪
∴ n = ৫১

∴ ৫১ টি পদের সমষ্টি S_n = (n/2) . (a + l)
= (৫১/২) × (৩ + ২০৩)
= (৫১/২) × ২০৬
= ৫১ × ১০৩
= ৫২৫৩

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a r^{(n - 1)}
∴ 9 - তম পদ = 3 × 2^{(9 - 1)}
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

প্রশ্ন: ০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.৬ + ০.০০৬+০.০০০০৬ +.................
= ০.৬ + ০.৬ × ০.০১ + ০.৬ × (০.০১)^২....................

এখানে,
a = ০.৬, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(১ - r)
= ০.৬/(১ - ০.০১)
= ০.৬/০.৯৯
= ৬০/৯৯
= ২০/৩৩

১ + ৩ = ৪,
৪ + ৯ = ১৩,
১৩ + ২৭ = ৪০,
৪০ + ৮১ = ১২১,
১২১ + ২৪৩ = ৩৬৪

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৮ এবং সাধারণ অন্তর ৫ হলে ধারার ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৫
= ৮ + (৯৯ × ৫)
= ৮ + ৪৯৫
= ৫০৩

∴ ধারার ১০০তম পদ হলো ৫০৩

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
আমরা জানি,
৮ম পদ = ar^{(8 - 1)}
= ar⁷
= 1 × (1/2)⁷
= 1 / 128

প্রশ্ন: 5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = (- 10)/5 = - 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n টি পদের সমষ্টি,
S_n = {a (1 - rⁿ)}/(1 - r)

∴ S₅ = [5{1 - (- 2)⁵ }]/{1 - (- 2)}
= {5 × (1 + 32)}/3
= 165/3
= 55

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
১ম পদ = a 
৪র্থ পদ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ২৭

সাধারণ অন্তর, d = ২৩ - ১৯  = ৪

আমরা জানি,
৪ তম পদ = a + (৪ - ১)d 
বা, ১৯ = a  + ৩ × ৪
বা, ১৯ = a + ১২
বা, a = ১৯ - ১২
∴ a = ৭

২য় পদ = a + (২ - ১)d 
= ৭ + ৪
= ১১

প্রশ্ন: গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং চতুর্থ পদ 40 হয়, তবে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ = a 
সাধারণ অনুপাত, r

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}

চতুর্থ পদ a₄ = 40 এর মান বসিয়ে পাই, 
a₄ = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = a × r^{4 - 1}
⇒ 40 = 5 × r³
⇒ r³ = 40/5
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো = 2

এখানে, প্রথম পদ, a = ১৫, সাধারণ অন্তর, d = ৫ এবং শেষ পদ = ১৬৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= {(১৬৫ - ১৫)/৫} + ১
= (১৫০/৫) + ১
= ৩০ + ১
= ৩১

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2×1 + (n - 1)×2]
= n/2 [2 + 2n - 2]
= n/2 × 2n
= n²
সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n²।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১০ম পদ ৫৮ হলে, তার প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d = a + ৯d

প্রশ্নমতে,
a + ৯d = ৫৮

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ প্রথম ১৯টি পদের সমষ্টি, S_১৯ = (১৯/২){২a + (১৯ - ১)d}
= (১৯/২)(২a + ১৮d)
= (১৯/২) × ২(a + ৯d)
= ১৯ × (a + ৯d)
= ১৯ × ৫৮
= ১১০২

∴ প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি হলো ১১০২

প্রশ্ন: 3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এবং z এর সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 3
ধরি, 
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, 
ar⁴ = 243
⇒ r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3

এখন, 
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ y, z এর সমষ্টি = 27 + 81 = 108

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং তৃতীয় পদ 7 হলে, ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 3
৩য় পদ = 7
২য় পদ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){(2 × 3) + (12 - 1)2}
= 6{6 + (11 × 2}
= 6(6 + 22)
= 6 × 28
= 168

ধারাটির প্রথম পদ a = ২
সাধারণ অন্তর d = -৫ - ২ = -৭
∴ ১২ তম পদ
= a+(n-1)d
= ২ +(১২ -১)(-৭)
= -৭৫

প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।

4 + 8 + 16 + -----------
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2
সুতরাং ধারাটির সাধারণ তথা n তম পদ = ar^n-1
= 4.2^n-1
= 2².2^n-1
= 2^2+n-1
= 2ⁿ⁺¹

১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে,
৫ম পদ = a + ৪d = ২৮ … (১)

∴ ১ম ৫টি পদের সমষ্টি = (৫/২){২a + (৫ - ১)d}
বা, (৫/২){২a+৪d} = ১০০
বা, ৫{a + (a + ৪d)} = ২০০
বা, a + ২৮ = ৪০
∴ a = ১২
(১) নং থেকে পাই,
a + ৪d = ২৮
বা, ১২ + ৪d = ২৮
বা, ৪d = ১৬
∴ d = ৪

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 + ...... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/√2) ÷ (1/2) = √2 
∴ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 8√2
⇒ ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
∴ n = 10

∴ 10 তম পদ = 8√2

১ম পদ (a) = ১২৮,
সাধারণ অনুপাত (r) = ৬৪/১২৮ = ১/২
∴ নবম পদ = a.r^{n - 1}
= ১২৮ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১২৮ × (১/২)^৮
= ১২৮/২৫৬
= ১/২

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + .............. ধারাটির কততম পদের মান 512 হবে? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +..............
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4\2 = 2 
∴ n তম পদ = ar^{n- 1} 

প্রশ্নমতে, 
ar^{n- 1} = 512 
বা, 2 × 2^{n- 1} = 512 
বা, 2^{n - 1} = 256 
বা, 2^{n - 1} = 2⁸ 
বা, n - 1 = 8 
বা, n = 8 + 1
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9ম পদের মান 512 হবে। 

প্রশ্ন: (১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) = কত?

সমাধান: 
(১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) 
= {১০(১০ + ১)/২}^২/{(১০ × (১০ + ১)/২}
= {(১০ × ১১)/২}^২/{(১০ × (১১/২)}
= (৫৫)^২/৫৫ 
= (৫৫ × ৫৫)/৫৫
= ৫৫ 

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/8 হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/8

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1} 

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1/8
⇒ 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/8
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(8 × 128)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/1024
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1 
⇒ n = 11

সুতরাং, ধারাটির 11 তম পদ = 1/8

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৩০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৩০ - ২০)/৫ + ১
= ১১০/৫ + ১
= ২২ + ১
= ২৩

প্রশ্ন: 213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1 = 1/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.01/0.1 = 1/10

গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/10)/{1 - (1/10)}
= (1/10)/{(10 - 1)/10}
= (1/10)/(9/10)
= (1/10) × (10/9)
= 1/9 

২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ....... + ২০^২
= ২^২.১^২ + ২^২.২^২ + ২^২.৩^২ +........+২^২.১০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ৩^২ +.......+ ১০^২)
= ৪[১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)]
= ৪ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৯২৪০/৬
= ১৫৪০