ধারা

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3
ধরি, n তম পদ = 3645

ধরি,
n তম পদ = 3645
⇒ ar^{n - 1} = 3645
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 3645 হবে।

প্রশ্ন: (1/2) ​+ (1/4)​ + (1/8) ​+................. ধারাটির 7 তম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ সূত্র,
a_n​ = a × r^n-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)^7-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)⁶
⇒ a₇ = (1/2)⁷
⇒ a₇ = 1/128
 
∴ 7 তম পদ 1/128

প্রশ্ন: 1, 3, 5, 7,.....অনুক্রমটির 15 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
1, 3, 5, 7, ...
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ ১৫তম পদ = 1 + (15 - 1) × 2
= 1 + 14 × 2
= 1 + 28
= 29

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ...... + 972 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12 ÷ 4 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 972
⇒ ar^{n - 1} = 972
⇒ 4 × 3^{n - 1} = 972
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 4 × (3⁶ - 1)/(3 - 1)
= 4 × (729 - 1)/2
= 4 × 364
= 1456

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1456

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৯
বা, ৬০ = a + ৫৪
বা, a = ৬
সুতরাং ১২তম পদ = ৬ + (১২-১) ৯
= ৬ + ১১ × ৯
= ৬ + ৯৯
= ১০৫

1 + 8 + 27 +.....
= 1 + 2³ + 3³ +.....+ 9³
= [9(9 + 1)/2]²
= {(9 × 10)/2}²
= (45)²
= 2025

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং, 
সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d
সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে, 
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2) × {2a + 14d}
= (15/2) × 20   ; [(1) নং হতে]
= 15 × 10
= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৭৭+১)/২ x ((৭৭-১)/২) +১
= ৩৯ x ৩৯
= ১৫২১

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a(1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4 
⇒ a × (1/4) = 4 
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

এখানে,
a = 19, d = 24-19 = 5
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(144 - 19)/5} + 1
= 26
∴ সমষ্টি = n/2 × (144 + 19)
= 26/2 × 163
= 13 × 163
= 2119

a = ৫,
d = ৪,
শেষ পদ = ৮০৯
∴ পদসংখ্যা = {(৮০৯ - ৫)/৪} + ১
= ২০১ + ১
= ২০২

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির 1001 তম পদ কোনটি?

সমাধান: 
ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদসংখ্যা, n = 1001

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 1 + (1001 - 1) × 3
= 1 + 3000
= 3001

∴ ধারাটির 1001 তম পদ 3001

প্রশ্ন: 15 + 22 + 29 + 36 + ......... ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অন্তর, d = 22 - 15 = 7
পদসংখ্যা, n = 35

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1) × d}
∴ S₃₅ = 35/2 × {2 × 15 + (35 - 1) × 7}
= 35/2 × {30 + (34 × 7)}
= 35/2 × (30 + 238)
= 35/2 × 268
= 35 × 134
= 4690

∴ ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি হলো 4690

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ............. + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
12 + 24 + 48 + ............. + 768
ধারাটির প্রথম পদ, a = 12
সাধারন অনুপাত, r = 24/12 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1
⇒ 768 = 12.2^n-1
⇒ 64 = 2^n-1
⇒ 2^n-1 = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1) 
= 12 × (128 - 1)
= 12 × 127
= 1524

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ......... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3 > 1
পদ সংখ্যা, n = 14

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1) / (r - 1) ; [যখন r > 1]

∴ প্রথম 14টি পদের সমষ্টি = 3(3¹⁴ - 1) / (3 - 1)
= (3/2) × (3¹⁴ - 1) 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= 16 × (1/2)⁶
= 16 × (1/64)
= 16/64
= 1/4

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + …......... + 21³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 21
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21(21 + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21 × 22/2}²
⇒ S₂₁ = (21 × 11)²
⇒ S₂₁ = (231)²
∴ S₂₁ = 53361

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = ar
= 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 5 = 5
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 250
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 5 + (n - 1) × 5 = 250
বা, 5(n - 1) = 250 - 5
বা, 5(n - 1) = 245
বা, n - 1 = 245/5
বা, n - 1 = 49
∴ n = 49 + 1 = 50

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₅₀ = (50/2){(2 × 5) + (50 - 1) × 5}
= 25{10 + (49 × 5)}
= 25{10 + 245}
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: ১৫ + ১৯ + ২৩ + ২৭ + ............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৯ - ১৫) = ৪
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৪
= ১৫ + (২৪ × ৪)
= ১৫ + ৯৬
= ১১১

৯ + ৩৬ + ৮১ + ১৪৪ + ... + ৯০০
= ৩^২ + ৬^২ + ৯^২ + ১২^২ + … + ৩০^২
= ৩^২(১^২ + ২^২ +৩^২ + … + ১০^২)
= ৯ × {১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)}
= ৯ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৩৪৬৫

প্রশ্ন: 4 + (4/7) + (4/49) + ....... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
২য় পদ = 4/7

∴ সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ / ১ম পদ
= (4/7) / 4
= (4/7) × (1/4)
= 1/7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 17 তম পদ = a + (17 - 1) d = a + 16d

প্রশ্নমতে,
a + 16d = - 20 ...... (i)

আবার, 
n পদের সমষ্টি , S_n= (n/2){2a + (n - 1)d}
S₃₃ = (33/2){2a + (33 - 1)d}
=  (33/2) (2a + 32d)
= 33 × (a + 16d)
= 33 × (- 20) [ (i) হতে]
= - 660

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) =0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = ৮১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, n - ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= ২০/২{২×৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০(১০ + ৭৬)
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + 135 +............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15 ÷ 5 = 3

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদের সূত্র হলো,
n-তম পদ = a × r^{(n - 1)}
সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ হবে:
7- তম পদ = 5 × 3^{(7 - 1)}
= 5 × 3⁶
= 5 × 729
= 3645
অতএব, ধারাটির সপ্তম পদ 3645।

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 + ………. ধারাটির ১ম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
=  log8 + log64 + log512 + ……….
= log8 + log8² + log8³ + ……….
= log8 + 2log8 + 3log8 + ……….
= (1 + 2 + 3 +.....)log8

এখন,
1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = n(n + 1)/2
= 9(9 + 1)/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 45log8

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + .......... ধারাটির 8তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n = 8

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = 5 + (8 - 1)3
= 5 + (7 × 3)
= 26

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৪২ - ৬)/৩ + ১
= ১২ + ১
= ১৩
এবং গড় = (৪২ + ৬)/২
= ২৪
সুতরাং সমষ্টি = ১৩ × ২৪
= ৩১২

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৩৬-৩)/৩ + ১
= ১১ + ১
= ১২
এবং গড় = (৩৬+৩)/২
= ৩৯/২
সুতরাং সমষ্টি = ১২ × ৩৯/২
= ৬ × ৩৯
= ২৩৪

দেখা যাচ্ছে যে, তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + প্রথম পদ = ১+১ =২
আবার, চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + দ্বিতীয় পদ = ২+১ = ৩
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + তৃতীয় পদ = ৩+২ = ৫
সুতরাং নবম পদ = অষ্টম পদ + সপ্তম পদ = ২১+১৩ = ৩৪